В астродинамики и небесной механике радиальной траектории является Кеплер орбиты с нулевым угловым моментом . Два объекта по радиальной траектории движутся прямо навстречу друг другу или от них по прямой.
Часть серии по |
Астродинамика |
---|
Классификация [ править ]
Есть три типа радиальных траекторий (орбит). [1]
- Радиальная эллиптическая траектория : орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента, когда тела касаются друг друга и удаляются друг от друга, пока они снова не коснутся друг друга. Относительная скорость двух объектов меньше скорости убегания . Это эллиптическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Если коэффициент восстановления двух тел равен 1 (идеально упругий), эта орбита является периодической. Если коэффициент восстановления меньше 1 (неупругий), эта орбита непериодична.
- Радиальная параболическая траектория , непериодическая орбита, где относительная скорость двух объектов всегда равна скорости убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу.
- Радиальная гиперболическая траектория : непериодическая орбита, на которой относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.
В отличие от стандартных орбит, которые классифицируются по их орбитальному эксцентриситету , радиальные орбиты классифицируются по их удельной орбитальной энергии , постоянной сумме полной кинетической и потенциальной энергии, деленной на приведенную массу :
где x - расстояние между центрами масс, v - относительная скорость, а - стандартный гравитационный параметр .
Другая константа определяется выражением:
- Для эллиптических траекторий w положительно. Это величина, обратная апоапсису (максимальное расстояние).
- Для параболических траекторий w равно нулю.
- Для гиперболических траекторий w отрицательно, это где скорость на бесконечном расстоянии.
Время как функция от расстояния [ править ]
Учитывая разделение и скорость в любой момент, а также общую массу, можно определить положение в любое другое время.
Первый шаг - определить постоянную w. Используйте знак w, чтобы определить тип орбиты.
где и - расстояние и относительная скорость в любой момент времени.
Параболическая траектория [ править ]
где t - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а x - расстояние.
Это уравнение применяется только к радиальным параболическим траекториям, для общих параболических траекторий см . Уравнение Баркера .
Эллиптическая траектория [ править ]
где t - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а x - расстояние.
Это радиальное уравнение Кеплера . [2]
См. Также уравнения для падающего тела .
Гиперболическая траектория [ править ]
где t - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, а x - расстояние.
Универсальная форма (любая траектория) [ править ]
Радиальное уравнение Кеплера можно сделать «универсальным» (применимым ко всем траекториям):
или путем расширения в степенной ряд:
Радиальная проблема Кеплера (расстояние как функция времени) [ править ]
Проблема обнаружения разделения двух тел в данный момент времени, учитывая их разделение и скорость в другое время, известна как проблема Кеплера . В этом разделе решается проблема Кеплера для радиальных орбит.
Первый шаг - определить постоянную w. Используйте знак w, чтобы определить тип орбиты.
Где и есть разделение и скорость в любой момент.
Параболическая траектория [ править ]
См. Также положение как функцию времени на прямой орбите выхода .
Универсальная форма (любая траектория) [ править ]
Используются две промежуточные величины: w и расстояние между телами в момент t, если бы они находились на параболической траектории, p.
Где t - время, - начальное положение, - начальная скорость, и .
Обратное радиальное уравнение Kepler является решением радиальной задачи Кеплера:
Оценка этого урожая:
Силовые ряды легко дифференцировать по срокам. Повторное дифференцирование дает формулы для скорости, ускорения, рывка, рывка и т. Д.
Орбита внутри радиального вала [ править ]
Орбита внутри радиального вала в однородном сферическом теле [3] была бы простым гармоническим движением , потому что сила тяжести внутри такого тела пропорциональна расстоянию до центра. Если маленькое тело входит и / или выходит из большого тела на его поверхности, орбита меняется с или на одну из обсуждаемых выше. Например, если вал проходит от поверхности к поверхности, возможна замкнутая орбита, состоящая из частей двух циклов простого гармонического движения и частей двух различных (но симметричных) радиально-эллиптических орбит.
См. Также [ править ]
- Уравнение Кеплера
- Проблема Кеплера
- Список орбит
Ссылки [ править ]
- Коуэлл, Питер (1993), Решение уравнения Кеплера за три столетия, Уильям Белл.
- ^ Томсон, Уильям Тиррелл; Введение в космическую динамику , Дувр, 1986 г.
- ^ Браун, Кевин; MathPages
- ^ Строго говоря, это противоречие. Однако предполагается, что вал оказывает незначительное влияние на силу тяжести.
Внешние ссылки [ править ]
- Уравнение Кеплера в Mathworld [1]