Переходная орбита Хомана

Орбита перехода Хомана, обозначенная 2, с орбиты (1) на более высокую орбиту (3)

Пример орбиты перехода Хомана между Землей и Марсом, используемой зондом НАСА InSight .
   Хоманн  ·   Земля  ·   Марс

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В орбитальной механике , то орбита переноса Хохман ( / ч oʊ м ə п / ) является эллиптической орбите используется для передачи между двумя круговыми орбитами разных радиусов вокруг центрального тела в одной и той же плоскости . При передаче Хомана часто используется наименьшее возможное количество топлива при перемещении между этими орбитами, но в некоторых случаях для биэллиптических передач может использоваться меньшее количество топлива .

Орбитальный маневр , чтобы выполнить передачу Хохмана использует два импульса двигателя, один для перемещения космического аппарата на орбиту и секунды , чтобы перейти от него. Этот маневр был назван в честь Вальтера Хоманна , немецкого ученого, который опубликовал его описание в своей книге 1925 года Die Erreichbarkeit der Himmelskörper ( Достижимость небесных тел ). ^{[1] На} Хомана отчасти повлиял немецкий писатель-фантаст Курд Лассвиц и его книга 1897 года « Две планеты» .

Эллиптические орбиты перехода между различными телами (планетами, лунами и т. Д.) Часто называют орбитами перехода Хомана. При использовании для перемещения между небесными телами переходная орбита Хомана требует, чтобы начальная и конечная точки находились в определенных местах на их орбитах относительно друг друга. Космические миссии с использованием передачи Хомана должны дождаться этого необходимого выравнивания, которое открывает так называемое окно запуска . Для космической миссии между Землей и Марсом, например, эти окна запуска происходят каждые 26 месяцев. Переходная орбита Хомана также определяет фиксированное время, необходимое для путешествия между начальной и конечной точками; для путешествия Земля-Марс это время в пути составляет около 9 месяцев. Когда перемещение осуществляется между орбитами, близкими к небесным телам со значительной гравитацией, обычно требуется гораздо меньше дельта-v , поскольку для ожогов может использоваться эффект Оберта .

Они также часто используются в этих ситуациях, но передача с низким энергопотреблением, учитывающая ограничения тяги реальных двигателей и использующая преимущества гравитационных колодцев обеих планет, может быть более экономичной. ^{[2] [3] [4]}

Объяснение [ править ]

На схеме показана переходная орбита Хомана для перевода космического корабля с нижней круговой орбиты на более высокую. Это половина эллиптической орбиты, которая касается как нижней круговой орбиты, которую космический аппарат желает покинуть (зеленая и обозначена цифрой 1 на диаграмме), так и более высокой круговой орбиты, которую он желает достичь (красной и обозначенной 3 на диаграмме). Передача (желтая и обозначенная цифрой 2 на схеме) инициируется запуском двигателя космического корабля, чтобы разогнать его так, чтобы он двигался по эллиптической орбите. Это добавляет энергии на орбиту космического корабля. Когда космический корабль достиг своей целевой орбиты, его орбитальная скорость (и, следовательно, его орбитальная энергия) должна быть снова увеличена, чтобы изменить эллиптическую орбиту на большую круговую.

Из-за обратимости орбит орбиты перехода Хомана также работают для перевода космического корабля с более высокой орбиты на более низкую; в этом случае двигатель космического корабля запускается в направлении, противоположном его текущему пути, замедляя космический корабль и заставляя его упасть на эллиптическую орбиту перехода с более низкой энергией. Затем двигатель снова запускается на меньшем расстоянии, чтобы замедлить космический корабль на нижней круговой орбите.

Переходная орбита Хомана основана на двух мгновенных изменениях скорости. Дополнительное топливо требуется, чтобы компенсировать то, что взрывы требуют времени; это сводится к минимуму за счет использования двигателей большой тяги для минимизации продолжительности всплесков. Для переводов на орбите Земли, два ожоги маркировали перигей ожог и апогей ожог (или ' «апогей удар^[5] ); в более общем виде они называютсяожогами периапсиса и апоапсиса . В качестве альтернативы, второй ожог для округления орбиты может называться кольцевым ожогом .

Тип I и Тип II [ править ]

Идеальная переходная орбита Хомана перемещается между двумя круговыми орбитами в одной плоскости и проходит точно на 180 ° вокруг первичной обмотки. В реальном мире орбита назначения может не быть круговой и не копланарна начальной орбите. В реальном мире переходные орбиты могут проходить немного больше или немного меньше 180 ° вокруг главного источника. Орбита, которая проходит менее 180 ° вокруг первичной обмотки, называется переходом Хомана «Типа I», а орбита, которая проходит более 180 °, называется переходом Хомана «Типа II». ^{[6] [7]}

Расчет [ править ]

Для небольшого тела, вращающегося вокруг другого гораздо более крупного тела, такого как спутник, вращающийся вокруг Земли, полная энергия меньшего тела является суммой его кинетической энергии и потенциальной энергии , и эта полная энергия также равна половине потенциала на среднем расстоянии ( большая полуось ):${\ displaystyle a}$

${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$

Решение этого уравнения для скорости приводит к уравнению vis-viva ,

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$

куда:

• ${\displaystyle v}$ скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle \mu =GM}$- стандартный гравитационный параметр первичного тела, предполагая, что он не намного больше (что составляет ), (для Земли это μ ~ 3.986E14 м ³ с ⁻² )${\displaystyle M+m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle v_{M}\ll v}$
• ${\displaystyle r}$ расстояние от орбитального тела до первичного фокуса,
• ${\displaystyle a}$- большая полуось орбиты тела.

Следовательно, дельта- v (Δv), необходимая для передачи Гомана, может быть вычислена следующим образом в предположении мгновенных импульсов:

${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$

выйти на эллиптическую орбиту в точке с круговой орбиты, и${\displaystyle r=r_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$

покинуть эллиптическую орбиту на к круговой орбите, где и являются соответственно радиусами вылета и прилета круговых орбит; меньшее (большее) значение и соответствует перицентрическому расстоянию ( апоапсисному расстоянию ) эллиптической переходной орбиты Гомана . Как правило, задается в единицах м ³ / с ² , как таковые обязательно метров использования, а не километров, по и . Итого тогда:${\displaystyle r=r_{2}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle \Delta v}$

${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$

Независимо от того, движетесь ли вы на более высокую или более низкую орбиту, согласно третьему закону Кеплера , время, необходимое для перехода между орбитами, равно

${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$

(половина орбитального периода для всего эллипса), где - длина большой полуоси переходной орбиты Гомана.${\displaystyle a_{\text{H}}}$

Применительно к путешествию от одного небесного тела к другому очень важно начинать маневр в то время, когда два тела правильно выровнены. Учитывая, что угловая скорость цели равна

${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$

угловое выравнивание α (в радианах ) во время старта между исходным объектом и целевым объектом должно быть

${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$

Пример [ править ]

Общий энергетический баланс во время перехода Хомана между двумя круговыми орбитами с первым и вторым радиусами${\displaystyle r_{p}}$${\displaystyle r_{a}}$

Рассмотрим геостационарную переходную орбиту , начиная с r ₁ = 6 678 км (высота 300 км) и заканчивая геостационарной орбитой с r ₂ = 42 164 км (высота 35 786 км).

На меньшей круговой орбите скорость составляет 7,73 км / с; в большем - 3,07 км / с. На эллиптической орбите между ними скорость изменяется от 10,15 км / с в перигее до 1,61 км / с в апогее.

Следовательно, Δv для первого пробега составляет 10,15 - 7,73 = 2,42 км / с, для второго горения 3,07 - 1,61 = 1,46 км / с и для обоих вместе 3,88 км / с.

Это больше, чем Δv, необходимая для выхода на орбиту : 10,93–7,73 = 3,20 км / с. Применение Δv на низкой околоземной орбите (НОО) только на 0,78 км / с больше (3,20–2,42) даст ракете скорость убегания , которая меньше, чем Δv 1,46 км / с, необходимая для создания окружности геосинхронной орбиты. Это иллюстрирует эффект Оберта, заключающийся в том, что на больших скоростях одно и то же Δv обеспечивает более удельную орбитальную энергию , а увеличение энергии максимизируется, если кто-то тратит Δv как можно быстрее, а не тратит часть, замедляясь под действием силы тяжести, а затем тратя еще немного для преодоления замедление (конечно, цель переходной орбиты Хомана другая).

В худшем случае максимальная дельта- v [ править ]

Как демонстрирует приведенный выше пример, Δ v, необходимое для выполнения перехода Хомана между двумя круговыми орбитами, не является наибольшим, когда радиус назначения бесконечен. (Скорость эвакуации в √ 2 раза больше орбитальной скорости, поэтому Δv, необходимая для побега, составляет √ 2  - 1 (41,4%) от орбитальной скорости.) Требуемая Δv является наибольшей (53,0% от меньшей орбитальной скорости), когда радиус большей орбита в 15.5817 ... раз больше, чем у меньшей орбиты. ^[8] Это число является положительным корнем из x ³  - 15 x ²  - 9 x - 1 = 0, то есть  . Для более высоких соотношений орбит Δ v, необходимого для второго горения, уменьшается быстрее, чем увеличивается при первом.${\displaystyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$

Приложение к межпланетным путешествиям [ править ]

Когда космический корабль используется для перемещения космического корабля с орбиты одной планеты на орбиту другой, ситуация становится несколько более сложной, но из-за эффекта Оберта требуется гораздо меньше дельта- v , чем сумма дельта- v, необходимая для ухода с первой планеты. плюс дельта- v, необходимая для перехода Хомана на вторую планету.

Например, рассмотрим космический корабль, путешествующий с Земли на Марс . В начале своего путешествия космический корабль уже будет иметь определенную скорость и кинетическую энергию, связанные с его орбитой вокруг Земли. Во время горения ракетный двигатель применяет свое дельта- v , но кинетическая энергия возрастает по квадратичному закону, пока не становится достаточной для выхода из гравитационного потенциала планеты , а затем горит еще больше, чтобы получить достаточно энергии, чтобы попасть на переходную орбиту Гомана. (вокруг Солнца ). Поскольку ракетный двигатель может использовать начальную кинетическую энергию топлива, гораздо меньше дельта- vтребуется сверх того, что необходимо для достижения космической скорости, и оптимальная ситуация - когда переносной ожог производится на минимальной высоте (малый перицентр ) над планетой. Дельта- v требуется всего 3,6 км / с, только около 0,4 км / с больше , чем нужно , чтобы избежать Земель, даже если это приводит к космическому аппарату собирается 2,9 км / с быстрее , чем на Земле , как он направляется от Марса (см таблицы ниже).

С другой стороны, космическому кораблю потребуется определенная скорость для орбиты Марса, которая на самом деле будет меньше скорости, необходимой для продолжения вращения Солнца по переходной орбите, не говоря уже о попытках обойти Солнце по орбите, подобной Марсу. Следовательно, космический корабль должен будет замедлиться, чтобы гравитация Марса захватила его. Этот захват должен оптимально выполняться на малой высоте, чтобы также наилучшим образом использовать эффект Оберта. Следовательно, для организации передачи требуются относительно небольшие значения тяги на обоих концах пути по сравнению с ситуацией свободного пространства.

Однако при любом перемещении Хомана выравнивание двух планет на их орбитах имеет решающее значение - планета назначения и космический корабль должны прибыть в одну и ту же точку на своих соответствующих орбитах вокруг Солнца в одно и то же время. Это требование к выравниванию дает начало концепции окон запуска .

Термин переходная орбита Луны (LTO) используется для Луны .

Можно применить приведенную выше формулу для расчета Δv в км / с, необходимого для выхода на переходную орбиту Хомана для достижения различных пунктов назначения с Земли (при условии круговых орбит планет). В этой таблице столбец, обозначенный «Δv для входа на орбиту Хомана с орбиты Земли», показывает изменение скорости Земли на скорость, необходимую для попадания на эллипс Хомана, другой конец которого будет на желаемом расстоянии от Солнца. В столбце с надписью «v при выходе с НОО» указана необходимая скорость (в невращающейся системе отсчета с центром на Земле) на высоте 300 км над поверхностью Земли. Это достигается путем добавления к удельной кинетической энергии квадрата скорости (7,73 км / с) этой низкой околоземной орбиты (то есть глубины гравитационного колодца Земли на этой низкой околоземной орбите). Колонка «Δv от НОО»это просто предыдущая скорость минус 7,73 км / с.

Обратите внимание, что в большинстве случаев Δ v с НОО меньше, чем Δ v для выхода на орбиту Гомана с орбиты Земли.

Чтобы добраться до Солнца, на самом деле нет необходимости использовать Δ v, равное 24 км / с. Можно использовать скорость 8,8 км / с, чтобы уйти очень далеко от Солнца, затем использовать пренебрежимо малое Δ v, чтобы уменьшить угловой момент до нуля, и затем упасть на Солнце. Это можно рассматривать как последовательность двух передач Хомана, одну вверх и одну вниз. Кроме того, в таблице не указаны значения, которые применимы при использовании Луны для помощи при гравитации . Существуют также возможности использования одной планеты, например Венеры, до которой легче всего добраться, чтобы помочь добраться до других планет или Солнца.

Сравнение с другими переводами [ править ]

Биэллиптический перенос [ править ]

Биэллиптический переход состоит из двух полуэллиптических орбит . Начиная с начальной орбиты, первый ожог расходует delta-v, чтобы вывести космический корабль на первую переходную орбиту с апоапсисом в некоторой точке вдали от центрального тела . В этот момент второй ожог отправляет космический аппарат на вторую эллиптическую орбиту с перицентром на радиусе конечной желаемой орбиты, где выполняется третий ожог, выводящий космический аппарат на желаемую орбиту. ^[9]${\displaystyle r_{b}}$

Хотя для них требуется на одно включение двигателя больше, чем для передачи Хомана, и, как правило, требуется большее время в пути, для некоторых биэллиптических передач требуется меньшее общее значение дельта-v, чем для передачи Хомана, когда отношение конечной полуоси к начальной составляет 11,94 или больше, в зависимости от выбранной промежуточной большой полуоси. ^[10]

Идея переноса траектории би-эллиптическую был первым ^{[ править ]} опубликованные Ары Sternfeld в 1934 году ^[11]

Передача малой тяги [ править ]

Двигатели малой тяги могут выполнять приближение переходной орбиты Хомана, создавая постепенное расширение начальной круговой орбиты за счет тщательно спланированных запусков двигателей. Это требует изменения скорости (дельта- v ) , которое больше, чем орбита двухимпульсного переноса ^[12], и требует больше времени для завершения.

Такие двигатели, как ионные двигатели , труднее анализировать с помощью дельта- v- модели. Эти двигатели предлагают очень низкую тягу и в то же время, гораздо выше , дельта- v бюджет, гораздо более высокий удельный импульс , меньшую массу топлива и двигателя. Маневр Хомана с двумя перерывами был бы непрактичен с такой низкой тягой; маневр в основном оптимизирует использование топлива, но в этой ситуации его относительно много.

Если в миссии запланированы только маневры с малой тягой, то непрерывная работа двигателя с малой тягой, но с очень высоким КПД могла бы генерировать более высокое дельта- v и в то же время использовать меньше топлива, чем обычный химический ракетный двигатель.

Переход от одной круговой орбиты к другой путем постепенного изменения радиуса просто требует того же дельта- v, что и разница между двумя скоростями. ^[12] Такой прием требует более дельты - V , чем 2-сгореть передачи маневр Hohmann, но делает это с непрерывной малой тягой , а не короткие применениями высокой тяги.

Количество использованного пороха измеряет эффективность маневра плюс оборудование, используемое для него. Используемая общая дельта- v измеряет только эффективность маневра. Для электрических силовых установок, которые, как правило, имеют низкую тягу, высокий КПД двигательной системы обычно компенсирует более высокое дельта-V по сравнению с более эффективным маневром Хомана.

Переходные орбиты с использованием электрических силовых установок или двигателей малой тяги оптимизируют время перехода для достижения конечной орбиты, а не дельта-v, как на переходной орбите Хомана. Для геостационарной орбиты начальная орбита устанавливается как суперсинхронная, и за счет непрерывной тяги в направлении скорости в апогее переходная орбита трансформируется в круговую геосинхронную. Однако для достижения этого метода требуется гораздо больше времени из-за низкой тяги, выводимой на орбиту. ^[13]

Межпланетная транспортная сеть [ править ]

В 1997 году был опубликован набор орбит, известный как Межпланетная транспортная сеть (ITN), обеспечивающий даже меньшую тяговую дельта- v (хотя и намного более медленную и длинную), чем переходные орбиты Хомана. ^[14] Межпланетная транспортная сеть отличается по своей природе от передач Хомана, потому что хомановские передачи предполагают только одно большое тело, а межпланетная транспортная сеть - нет. Транспортная сеть Межпланетной способна достичь использования менее пропульсивной дельта- против пути использования силы тяжести помощи от планет. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Биэллиптический перенос
• Бюджет Delta-v
• Геостационарная переходная орбита
• Гало орбита
• Орбита Лиссажу
• Список орбит
• Орбитальная механика

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

• Вальтер Хоманн (1925). Die Erreichbarkeit der Himmelskörper . Verlag Oldenbourg в Мюнхене. ISBN 3-486-23106-5.
• Торнтон, Стивен Т .; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-534-40896-6.
• Бейт, Р.Р., Мюллер, Д.Д., Уайт, Дж. Э. (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN 978-0-486-60061-1.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Валладо, Д.А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
• Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия. ISBN 978-1-56347-342-5.

Внешние ссылки [ править ]

• «Орбитальная механика» . Ракетно-космическая техника . Роберт А. Брауниг. Архивировано из оригинала на 2012-02-04 . Проверено 17 августа 2005 .
• «4. Межпланетные траектории» . Основы космических полетов . Лаборатория реактивного движения: НАСА .