Орбитальная механика

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Спутник, вращающийся вокруг Земли, имеет тангенциальную скорость и внутреннее ускорение .

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

Орбитальная механика или астродинамика - это приложение баллистики и небесной механики к практическим задачам, касающимся движения ракет и других космических аппаратов . Движение этих объектов обычно вычисляется из законов движения Ньютона и закона всемирного тяготения . Орбитальная механика - ключевая дисциплина при проектировании и управлении космическими полетами .

В небесной механике более широко рассматривается орбитальная динамика систем, находящихся под действием силы тяжести , включая как космические корабли, так и естественные астрономические тела, такие как звездные системы , планеты , луны и кометы . Орбитальная механика фокусируется на траекториях космических аппаратов , включая орбитальные маневры , изменения орбитальной плоскости и межпланетные переходы, и используется разработчиками миссий для прогнозирования результатов движущих маневров .

Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для вычисления орбит, и иногда необходима для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты около Солнца).

История [ править ]

До появления космических путешествий в двадцатом веке не существовало различий между орбитальной и небесной механикой. Во времена Спутника это поле называлось «космической динамикой». ^[1] Таким образом, фундаментальные методы, такие как те, которые используются для решения проблемы Кеплера (определение положения как функции времени), одинаковы в обеих областях. Кроме того, история полей почти полностью разделяется.

Иоганн Кеплер был первым, кто успешно смоделировал планетные орбиты с высокой степенью точности, опубликовав свои законы в 1605 году. Исаак Ньютон опубликовал более общие законы небесного движения в первом издании Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687), который дал метод для определение орбиты тела по параболическому пути из трех наблюдений. ^[2] Это было использовано Эдмундом Галлеем для определения орбит различных комет , включая ту, которая носит его имя. Метод последовательных приближений Ньютона был формализован Эйлером в аналитический метод.в 1744 г., работа которого, в свою очередь, была обобщена Ламбертом на эллиптические и гиперболические орбиты в 1761–1777 гг.

Другой важной вехой в определении орбиты стала помощь Карла Фридриха Гаусса в «восстановлении» карликовой планеты Церера в 1801 году . Метод Гаусса позволил использовать всего три наблюдения (в форме пар прямого восхождения и склонения ), чтобы найти шесть орбитальных элементов , полностью описывающих орбиту. Теория определения орбиты впоследствии была развита до такой степени, что сегодня она применяется в приемниках GPS, а также для отслеживания и каталогизации недавно обнаруженных малых планет.. Современные методы определения и прогнозирования орбиты используются для управления всеми типами спутников и космических зондов, поскольку необходимо знать их будущее положение с высокой степенью точности.

Астродинамика была разработана астрономом Сэмюэлем Херриком с 1930-х годов. Он проконсультировался с ученым-ракетчиком Робертом Годдардом, и его вдохновили продолжить его работу над методами космической навигации, поскольку Годдард считал, что они понадобятся в будущем. В 1960-х годах численные методы астродинамики были соединены с новыми мощными компьютерами, и человек был готов отправиться на Луну и вернуться.

Практические методы [ править ]

Эмпирические правила [ править ]

Следующие практические правила полезны для ситуаций, приближенных к классической механике при стандартных предположениях астродинамики, изложенных ниже правил. В конкретном обсуждаемом примере речь идет о спутнике, вращающемся вокруг планеты, но практические правила могут также применяться к другим ситуациям, например, орбитам малых тел вокруг звезды, такой как Солнце.

• Законы движения планет Кеплера :
  • Орбиты имеют эллиптическую форму , более тяжелое тело находится в одном фокусе эллипса. Частным случаем этого является круговая орбита (круг - это особый случай эллипса) с планетой в центре.
  • Линия, проведенная от планеты к спутнику, сметает равные области в равное время независимо от того, какая часть орбиты измеряется.
  • Квадрат периода обращения спутника пропорционален кубу его среднего расстояния от планеты.
• Без приложения силы (например, запуска ракетного двигателя) период и форма орбиты спутника не изменятся.
• Спутник на низкой орбите (или нижней части эллиптической орбиты) движется быстрее относительно поверхности планеты, чем спутник на более высокой орбите (или высокой части эллиптической орбиты), из-за более сильного гравитационного притяжения. ближе к планете.
• Если тяга применяется только в одной точке орбиты спутника, он будет возвращаться в эту же точку на каждой последующей орбите, хотя остальная часть его пути изменится. Таким образом, невозможно перейти с одной круговой орбиты на другую с помощью только одного краткого приложения тяги.
• С круговой орбиты тяга, приложенная в направлении, противоположном движению спутника, изменяет орбиту на эллиптическую; спутник опустится и достигнет самой низкой точки орбиты ( периапса ) под углом 180 градусов от точки стрельбы; тогда он поднимется обратно. Тяга, приложенная в направлении движения спутника, создает эллиптическую орбиту с высшей точкой ( апоапс ) на 180 градусов от точки стрельбы.

Последствия правил орбитальной механики иногда противоречат интуиции. Например, если два космических корабля находятся на одной круговой орбите и хотят состыковаться, если они не находятся очень близко, ведомый корабль не может просто запустить свои двигатели, чтобы двигаться быстрее. Это изменит форму его орбиты, в результате чего он наберет высоту и фактически замедлится относительно ведущего корабля, не попав в цель. Стыковка перед стыковкой обычно занимает несколько раз вычисленных стрельб двигателя в нескольких орбитальных периодов , требующих часов или даже дней , чтобы закончить.

В той степени, в которой стандартные предположения астродинамики не выполняются, фактические траектории будут отличаться от рассчитанных. Например, простое атмосферное сопротивление является еще одним осложняющим фактором для объектов на низкой околоземной орбите . Эти практические правила явно неточны при описании двух или более тел одинаковой массы, таких как двойная звездная система (см. Задачу n тел ). Небесная механикаиспользует более общие правила, применимые к большему количеству ситуаций. Законы движения планет Кеплера, которые математически можно вывести из законов Ньютона, строго соблюдаются только при описании движения двух гравитирующих тел в отсутствие негравитационных сил; они также описывают параболические и гиперболические траектории. В непосредственной близости от крупных объектов, таких как звезды, различия между классической механикой и общей теорией относительности также становятся важными.

Законы астродинамики [ править ]

Основные законы астродинамике являются закон Ньютона всемирного тяготения и законы движения Ньютона , в то время как фундаментальный математический инструмент дифференциального исчисления .

Каждая орбита и траектория вне атмосферы в принципе обратимы, т. Е. В функции пространства-времени время обращено вспять . Скорости поменялись местами, а ускорения остались прежними, в том числе от ракетных взрывов. Таким образом, если взрыв ракеты происходит в направлении скорости, в обратном случае он противоположен скорости. Конечно, в случае ракетных взрывов нет полного разворота событий, в обоих случаях используется одна и та же дельта-v и одинаковое соотношение масс .

Стандартные допущения в астродинамике включают невмешательство со стороны внешних тел, пренебрежимо малую массу одного из тел и пренебрежимо малые другие силы (такие как солнечный ветер, сопротивление атмосферы и т. Д.). Более точные вычисления могут быть выполнены без этих упрощающих предположений, но они более сложные. Повышенная точность часто не оказывает существенного влияния на расчеты.

Законы движения планет Кеплера могут быть выведены из законов Ньютона, когда предполагается, что вращающееся тело подчиняется только гравитационной силе центрального аттрактора. Когда присутствует тяга двигателя или движущая сила, законы Ньютона все еще применяются, но законы Кеплера недействительны. Когда тяга прекратится, результирующая орбита будет другой, но снова будет описана законами Кеплера. Вот эти три закона:

1. Орбита каждой планеты есть эллипс с Солнцем в одном из фокусов .
2. Линии присоединения планеты и солнце заметает равные площади в равные промежутки времени.
3. Эти квадраты этих орбитальных периодов планета прямо пропорционально к кубам в большой полуоси орбит.

Скорость побега [ править ]

Формула для убегающей скорости выводится следующим образом. Энергия удельная (энергия на единицу массы ) любого космического аппарата состоит из двух компонентов, удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии . Удельная потенциальная энергия, связанная с планетой массы M , определяется выражением

${\ displaystyle \ epsilon _ {p} = - {\ frac {GM} {r}} \,}$

в то время как удельная кинетическая энергия объекта определяется выражением

${\ displaystyle \ epsilon _ {k} = {\ frac {v ^ {2}} {2}} \,}$

и поэтому полная удельная орбитальная энергия равна

${\ displaystyle \ epsilon = \ epsilon _ {k} + \ epsilon _ {p} = {\ frac {v ^ {2}} {2}} - {\ frac {GM} {r}} \,}$

Поскольку энергия сохраняется , она не может зависеть от расстояния, от центра центрального тела до рассматриваемого космического корабля, т.е. v должен изменяться вместе с r, чтобы удельная орбитальная энергия оставалась постоянной. Следовательно, объект может достичь бесконечности только в том случае, если эта величина неотрицательна, что означает${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle v \ geq {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}}.}$

Скорость убегания от поверхности Земли составляет около 11 км / с, но этого недостаточно, чтобы отправить тело на бесконечное расстояние из-за гравитационного притяжения Солнца. Чтобы покинуть Солнечную систему из места на расстоянии, равном расстоянию от Солнца до Земли, но не близко к Земле, требуется скорость около 42 км / с, но будет «частичная заслуга» в орбитальной скорости Земли. для космических аппаратов, запускаемых с Земли, если их дальнейшее ускорение (за счет двигательной установки) переносит их в том же направлении, что и Земля движется по своей орбите.

Формулы для свободных орбит [ править ]

Орбиты представляют собой конические сечения , поэтому формула расстояния до тела для заданного угла соответствует формуле для этой кривой в полярных координатах , а именно:

${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {р} {1 + е \ соз \ тета}}}$

${\ Displaystyle \ му = г (м_ {1} + м_ {2}) \,}$

${\ Displaystyle р = ч ^ {2} / \ му \,}$

${\ displaystyle \ mu}$называется гравитационным параметром . и - массы объектов 1 и 2, и - удельный угловой момент объекта 2 по отношению к объекту 1. Параметр , известный как истинная аномалия , представляет собой полу-латусную прямую кишку , а представляет собой эксцентриситет орбиты , все можно получить из различные формы шести независимых орбитальных элементов .${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e}$

Круговые орбиты [ править ]

Все ограниченные орбиты, на которых преобладает гравитация центрального тела, имеют эллиптическую природу. Частным случаем этого является круговая орбита, представляющая собой эллипс с нулевым эксцентриситетом. Формула для скорости тела на круговой орбите на расстоянии r от центра тяжести массы M может быть получена следующим образом:

Центробежное ускорение соответствует ускорению свободного падения.

Так, ${\ displaystyle v ^ {2} / r = GM / r ^ {2}}$

Следовательно,

${\ displaystyle \ v = {\ sqrt {{\ frac {GM} {r}} \}}}$

где - гравитационная постоянная , равная${\ displaystyle G}$

6,673 84 × 10 ⁻¹¹ м ³ / (кг · с ² )

Чтобы правильно использовать эту формулу, единицы должны быть согласованы; например, должно быть в килограммах и должно быть в метрах. Ответ будет в метрах в секунду.${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$

Величину часто называют стандартным гравитационным параметром , который имеет разное значение для каждой планеты или луны в Солнечной системе .${\displaystyle GM}$

После того, как круговая орбитальная скорость известна, скорость истечения легко найти путем умножения на квадратном корне из 2 :

${\displaystyle \ v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}{r}}\ }}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Чтобы избежать гравитации, кинетическая энергия должна как минимум соответствовать отрицательной потенциальной энергии. Итак, а значит,${\displaystyle 1/2mv^{2}=GMm/r}$

${\displaystyle v={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\ }}.}$

Эллиптические орбиты [ править ]

Если , то знаменатель уравнения свободных орбит изменяется в зависимости от истинной аномалии , но остается положительным и никогда не становится нулем. Следовательно, вектор относительного положения остается ограниченным, имея наименьшую величину в перицентре , которая определяется как:${\displaystyle 0<e<1}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r_{p}}$

${\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}$

Максимальное значение достигается, когда . Эта точка называется апоапсисом, а ее радиальная координата, обозначенная как${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$${\displaystyle r_{a}}$

${\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}$

Пусть будет расстояние, измеренное вдоль линии апсиды от перицентра до апоапсиса , как показано в уравнении ниже:${\displaystyle 2a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

Подставляя приведенные выше уравнения, получаем:

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

а - большая полуось эллипса. Решая и подставляя результат в формулу кривой конического сечения выше, мы получаем:${\displaystyle p}$

${\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

Орбитальный период [ править ]

При стандартных предположениях орбитальный период ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислен как:${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

куда:

• ${\displaystyle \mu \,}$является гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle a\,\!}$- длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду круговой орбиты с радиусом орбиты, равным большой полуоси ( ),${\displaystyle a\,\!}$
• Для данной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. Также: третий закон Кеплера ).

Скорость [ править ]

При стандартных предположениях орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислена из уравнения Висвивы как:${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

куда:

• ${\displaystyle \mu \,}$- стандартный гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle r\,}$ расстояние между вращающимися телами.
• ${\displaystyle a\,\!}$- длина большой полуоси .

Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо + , либо то же самое с условием, что в этом случае a отрицательно.${\displaystyle {1 \over {a}}}$

Энергия [ править ]

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) эллиптической орбиты отрицательна, и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Висвивы ) для этой орбиты может иметь вид:${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

куда:

• ${\displaystyle v\,}$ скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$расстояние орбитального тела от центра масс центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,}$является большой полуосью ,
• ${\displaystyle \mu \,}$- стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, находим:

• среднее по времени удельной потенциальной энергии равно 2ε
  • среднее по времени из г ^-1 является ^-1
• среднее по времени удельной кинетической энергии равно -ε

Параболические орбиты [ править ]

Если эксцентриситет равен 1, то уравнение орбиты принимает следующий вид:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+\cos \theta }}}$

куда:

• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центра масс центрального тела ,
• ${\displaystyle h\,}$- удельный угловой момент движущегося на орбите тела ,
• ${\displaystyle \theta \,}$это истинная аномалия орбитального тела,
• ${\displaystyle \mu \,}$- стандартный гравитационный параметр .

Когда истинная аномалия θ приближается к 180 °, знаменатель приближается к нулю, так что r стремится к бесконечности. Следовательно, энергия траектории, для которой e = 1, равна нулю и определяется выражением:

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0}$

куда:

• ${\displaystyle v\,}$ скорость движущегося по орбите тела.

Другими словами, скорость в любом месте параболической траектории равна:

${\displaystyle v={\sqrt {2\mu \over {r}}}}$

Гиперболические орбиты [ править ]

Если формула орбиты,${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}{{1} \over {1+e\cos \theta }}}$

описывает геометрию гиперболической орбиты. Система состоит из двух симметричных кривых. Вращающееся тело занимает одно из них; другой - пустой математический образ. Ясно, что знаменатель приведенного выше уравнения стремится к нулю, когда . обозначим это значение истинной аномалии${\displaystyle \cos \theta =-1/e}$

${\displaystyle \theta _{\infty }=\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$

поскольку радиальное расстояние приближается к бесконечности по мере приближения истинной аномалии , известной как истинная аномалия асимптоты . Обратите внимание на то, что он находится между 90 ° и 180 °. Из тригонометрического тождества следует, что:${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \theta _{\infty }}$${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

${\displaystyle \sin \theta _{\infty }={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}}$

Энергия [ править ]

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) гиперболической траектории больше нуля, и уравнение сохранения орбитальной энергии для такой траектории принимает вид:${\displaystyle \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}}$

куда:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,}$является отрицательной большой полуосью на орбите «s гиперболы ,
• ${\displaystyle \mu \,}$является гравитационный параметр .

Гиперболическая избыточная скорость [ править ]

При стандартных предположениях тело, движущееся по гиперболической траектории, на бесконечности достигнет орбитальной скорости, называемой гиперболической избыточной скоростью ( ), которую можно вычислить как:${\displaystyle r=}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

куда:

• ${\displaystyle \mu \,\!}$является гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle a\,\!}$является отрицательной большой полуосью на орбиту «s гиперболы .

Гиперболическая избыточная скорость связана с удельной орбитальной энергией или характеристической энергией соотношением

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

Расчет траекторий [ править ]

Уравнение Кеплера [ править ]

Один из подходов к вычислению орбит (в основном используемый исторически) заключается в использовании уравнения Кеплера :

${\displaystyle M=E-\epsilon \cdot \sin E}$.

где M - средняя аномалия , E - эксцентричная аномалия , а - эксцентриситет .${\displaystyle \displaystyle \epsilon }$

С помощью формулы Кеплера определение времени пролета для достижения угла ( истинная аномалия ) от перицентра разбивается на два этапа:${\displaystyle \theta }$

1. Вычислить эксцентрическую аномалию по истинной аномалии${\displaystyle E}$${\displaystyle \theta }$
2. Вычислить время пролета от эксцентрической аномалии${\displaystyle t}$${\displaystyle E}$

Обнаружить эксцентрическую аномалию в данный момент времени ( обратная задача ) сложнее. Уравнение Кеплера трансцендентное в , то есть она не может быть решена алгебраически . Уравнение Кеплера можно решить аналитически путем обращения.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Решение уравнения Кеплера, действительное для всех реальных значений :${\displaystyle \textstyle \epsilon }$

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}^{n}\right)\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$

Оценка этого дает:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}$

В качестве альтернативы уравнение Кеплера можно решить численно. Сначала нужно угадать значение и вычислить время пролета; затем при необходимости отрегулируйте, чтобы приблизить вычисленное время пролета к желаемому значению, пока не будет достигнута требуемая точность. Обычно для достижения относительно быстрой сходимости используется метод Ньютона .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Основная трудность этого подхода состоит в том, что для схождения на экстремальных эллиптических орбитах может потребоваться слишком много времени. Для почти параболических орбит эксцентриситет составляет около 1, и, подставляя в формулу для средней аномалии , мы обнаруживаем, что вычитаем два почти равных значения, и точность страдает. Для почти круговых орбит трудно найти перицентр (а на истинно круговых орбитах перицентр вообще отсутствует). Кроме того, уравнение было выведено на основе предположения об эллиптической орбите, поэтому оно не выполняется для параболических или гиперболических орбит. Эти трудности и привели к разработке универсальной формулировки переменных , описанной ниже.${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle E-\sin E}$

Конические орбиты [ править ]

Для простых процедур, таких как вычисление дельта-v для копланарных эллипсов переноса, традиционные подходы ^{[ требуется пояснение ]} довольно эффективны. Другие, такие как время пролета, намного сложнее, особенно для почти круговых и гиперболических орбит.

Аппроксимация конической формы [ править ]

Сама по себе переходная орбита Хомана является плохим приближением для межпланетных траекторий, поскольку не учитывает собственную гравитацию планет. Планетарная гравитация доминирует в поведении космического корабля в непосредственной близости от планеты, и в большинстве случаев Хоманн сильно переоценивает дельта-v и дает очень неточные предписания для времени сгорания.

Относительно простой способ получить аппроксимацию первого порядка для delta-v основан на методе "аппроксимации конической формы с исправлениями". Нужно выбрать одно доминирующее гравитирующее тело в каждой области пространства, через которую будет проходить траектория, и смоделировать эффекты только этого тела в этой области. Например, на траектории от Земли к Марсу можно было бы начать с рассмотрения только гравитации Земли, пока траектория не достигнет расстояния, на котором гравитация Земли больше не будет преобладать над гравитацией Солнца. Космическому кораблю будет дана космическая скоростьчтобы отправить его в межпланетное пространство. Далее, можно было бы рассматривать только гравитацию Солнца, пока траектория не достигнет окрестностей Марса. На этом этапе уместна модель переходной орбиты. Наконец, только гравитация Марса учитывается на последнем участке траектории, где гравитация Марса определяет поведение космического корабля. Космический корабль приблизится к Марсу по гиперболической орбите, и окончательное ретроградное горение замедлит космический корабль настолько, чтобы он был захвачен Марсом.

Размер «кварталов» (или сфер влияния ) зависит от радиуса :${\displaystyle r_{SOI}}$

${\displaystyle r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}}\right)^{2/5}}$

где - большая полуось орбиты планеты относительно Солнца ; и - массы планеты и Солнца соответственно.${\displaystyle a_{p}}$${\displaystyle m_{p}}$${\displaystyle m_{s}}$

Этого упрощения достаточно для вычисления приблизительных оценок потребностей в топливе и приблизительных оценок времени полета, но, как правило, оно недостаточно точно для направления космического корабля к месту назначения. Для этого требуются численные методы.

Формулировка универсальной переменной [ править ]

Чтобы устранить вычислительные недостатки традиционных подходов к решению задачи двух тел, была разработана формулировка универсальной переменной . Он одинаково хорошо работает для кругового, эллиптического, параболического и гиперболического случаев, дифференциальные уравнения хорошо сходятся при интегрировании для любой орбиты. Он также хорошо обобщается на задачи, включающие теорию возмущений.

Возмущения [ править ]

Рецептура универсальная переменная хорошо работает с изменением методики параметров, за исключением того, теперь вместо шести кеплеровских орбитальных элементов, мы используем другой набор орбитальных элементов , а именно: начальные положения и скорость векторы спутника и в данной эпохе . В моделировании двух тел этих элементов достаточно для вычисления положения и скорости спутника в любое время в будущем, используя формулировку универсальной переменной. С другой стороны , в любой момент на орбите спутника, мы можем измерить положение и скорость, а затем использовать универсальный переменный подход для определения того, что ее начальное положение и скорость были бы${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle t=0}$в эпоху. В идеальном движении двух тел эти орбитальные элементы были бы инвариантными (как и кеплеровские элементы).

Однако возмущения заставляют элементы орбиты со временем изменяться. Следовательно, мы пишем элемент положения как и элемент скорости как , показывая, что они меняются со временем. Методика вычисления влияния возмущений сводится к поиску выражений, точных или приближенных, для функций и .${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$${\displaystyle x_{0}(t)}$${\displaystyle v_{0}(t)}$

Ниже приведены некоторые эффекты, которые отличают реальные орбиты от простых моделей, основанных на сферической Земле. Большинство из них можно обработать в коротких временных масштабах (возможно, менее нескольких тысяч витков) с помощью теории возмущений, потому что они малы по сравнению с соответствующими эффектами двух тел.

• Экваториальные выпуклости вызывают прецессию узла и перигея
• Тессеральные гармоники ^[3] гравитационного поля вносят дополнительные возмущения
• Возмущения лунной и солнечной гравитации изменяют орбиты
• Атмосферное сопротивление уменьшает большую полуось, если не используется тяга подпитки.

В очень длительных временных масштабах (возможно, миллионы орбит) могут преобладать даже небольшие возмущения, и поведение может стать хаотичным . С другой стороны, различные возмущения могут быть организованы умными астродинамиками для помощи в выполнении задач по поддержанию орбиты, таких как поддержание станции , обслуживание или корректировка наземного пути или фазирование перигея для покрытия выбранных целей на малой высоте.

Орбитальный маневр [ править ]

В космическом полете , орбитального маневра является использование двигательных систем , чтобы изменить орбиту в виде космического корабля . Для космических аппаратов, далеких от Земли, например, находящихся на орбитах вокруг Солнца, орбитальный маневр называется маневром в дальнем космосе (DSM) . ^{[ не проверено в теле ]}

Орбитальный переход [ править ]

Переходные орбиты обычно представляют собой эллиптические орбиты, которые позволяют космическим аппаратам перемещаться с одной (обычно круговой) орбиты на другую. Обычно они требуют ожога в начале, ожога в конце, а иногда и одного или нескольких ожогов посередине.

• Передача Хохман орбита требует минимального дельта-V .
• Би-эллиптическая передача может потребовать меньше энергии , чем передача Hohmann, если отношение орбит 11,94 или выше, ^[4] , но происходит за счет увеличения времени поездки по передаче Хохмана.
• Более быстрые передачи могут использовать любую орбиту, которая пересекает как исходную, так и конечную орбиты, за счет более высокого значения delta-v.
• При использовании двигателей малой тяги (таких как электрическая тяга ), если начальная орбита сверхсинхронна с конечной желаемой круговой орбитой, тогда оптимальная переходная орбита достигается за счет непрерывной тяги в направлении скорости в апогее. Однако этот метод занимает гораздо больше времени из-за низкой тяги. ^[5]

В случае перехода по орбите между некопланарными орбитами тяга при изменении плоскостидолжен быть выполнен в точке пересечения орбитальных плоскостей («узел»). Поскольку цель состоит в том, чтобы изменить направление вектора скорости на угол, равный углу между плоскостями, почти вся эта тяга должна создаваться, когда космический корабль находится в узле вблизи апоапса, когда величина вектора скорости равна на самом низком уровне. Однако небольшая часть изменения наклона орбиты может быть произведена в узле вблизи периапса, слегка наклонив тягу инжекции переходной орбиты в направлении желаемого изменения наклона. Это работает, потому что косинус малого угла очень близок к единице, что приводит к тому, что небольшое изменение плоскости фактически "свободное", несмотря на высокую скорость космического корабля вблизи периапса, так как эффект Оберта из-за увеличенияслегка наклонная тяга превышает стоимость тяги по оси орбиты.

Ассистент гравитации и эффект Оберта [ править ]

При помощи гравитации космический корабль пролетает мимо планеты и улетает в другом направлении с другой скоростью. Это полезно для ускорения или замедления космического корабля вместо того, чтобы нести больше топлива.

Этот маневр можно представить как упругое столкновение на больших расстояниях, хотя пролет не требует физического контакта. Согласно третьему закону Ньютона (равная и противоположная реакция) любой импульс, набранный космическим кораблем, должен быть потерян планетой, или наоборот. Однако, поскольку планета намного массивнее космического корабля, влияние на орбиту планеты незначительно.

Эффект Оберта может быть использован, особенно во время операции гравитации. Этот эффект заключается в том, что использование двигательной установки лучше работает на высоких скоростях, и, следовательно, изменение курса лучше всего производить, когда оно приближается к гравитирующему телу; это может умножить эффективную дельта-v .

Межпланетная транспортная сеть и нечеткие орбиты [ править ]

Теперь можно использовать компьютеры для поиска маршрутов, используя нелинейности гравитации планет и лун Солнечной системы. Например, можно построить орбиту от высокой околоземной орбиты к Марсу, проходящую близко к одной из троянских точек Земли . ^{[ Необходимая цитата ] В} совокупности именуемые Межпланетной транспортной сетью , эти крайне пертурбативные, даже хаотические орбитальные траектории в принципе не нуждаются в топливе, кроме того, которое необходимо для достижения точки Лагранжа (на практике сохранение траектории требует некоторых корректировок курса). Самая большая проблема с ними в том, что они могут работать очень медленно и занимать много лет. Кроме того, окна запуска могут быть очень далеко друг от друга.

Однако они были задействованы в таких проектах, как Genesis . Этот космический корабль посетил точку L 1 Земля-Солнце и вернулся с очень небольшим количеством топлива.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кертис, Ховард Д. (2009). Орбитальная механика для студентов инженерных специальностей, 2д . Нью-Йорк: Эльзевир. ISBN 978-0-12-374778-5.
• Бейт, Роджер Р .; Мюллер, Дональд Д .; Уайт, Джерри Э. (1971). Основы астродинамики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-60061-0.

• Продавцы, Джерри Дж .; Астор, Уильям Дж .; Гиффен, Роберт Б .; Ларсон, Уайли Дж. (2004). Киркпатрик, Дуглас Х. (ред.). Понимание космоса: введение в космонавтику (2-е изд.). Макгроу Хилл. п. 228. ISBN 0-07-242468-0.

• "Учебник по космосу в Воздушном университете, Глава 8 - Орбитальная механика" (PDF) . USAF. Архивировано из оригинального (PDF) 14 февраля 2013 года . Проверено 13 октября 2007 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Многие варианты, процедуры и вспомогательная теория описаны в стандартных работах, таких как:

• Бейт, Р.Р .; Мюллер, DD; Уайт, JE (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN 978-0-486-60061-1.
• Валладо, Д.А. (2001). Основы астродинамики и приложений (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
• Баттин, Р.Х. (1999). Введение в математику и методы астродинамики . Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN 978-1-56347-342-5.
• Чоботов В.А., изд. (2002). Орбитальная механика (3-е изд.). Американский институт аэронавтики и астрономии, Вашингтон, округ Колумбия ISBN 978-1-56347-537-5.
• Херрик, С. (1971). Астродинамика: определение орбиты, космическая навигация, небесная механика, Том 1 . Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN 978-0-442-03370-5.
• Херрик, С. (1972). Астродинамика: коррекция орбиты, теория возмущений, интегрирование, том 2 . Ван Ностранд Рейнхольд, Лондон. ISBN 978-0-442-03371-2.
• Каплан, MH (1976). Динамика и управление современных космических аппаратов . Вили, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-45703-9.
• Том Логсдон (1997). Орбитальная механика . Wiley-Interscience, Нью-Йорк. ISBN 978-0-471-14636-0.
• Джон Э. Пруссинг и Брюс А. Конвей (1993). Орбитальная механика . Издательство Оксфордского университета, Нью-Йорк. ISBN 978-0-19-507834-3.
• MJ Сиди (2000). Динамика и управление космическими аппаратами . Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк. ISBN 978-0-521-78780-2.
• В.Е. Визель (1996). Динамика космического полета (2-е изд.). Макгроу-Хилл, Нью-Йорк. ISBN 978-0-07-070110-6.
• Дж. П. Винти (1998). Орбитальная и небесная механика . Американский институт аэронавтики и астрономии, Рестон, Вирджиния. ISBN 978-1-56347-256-5.
• П. Гурфил (2006). Современная астродинамика . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-12-373562-1.

Внешние ссылки [ править ]

• ОРБИТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА (Ракетно-космическая техника)
• Набор инструментов Java Astrodynamics
• График знаний о космическом движении и событиях на основе астродинамики