Уравнение Vis-viva

Астродинамика
Часть серии по

Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В астродинамике , то Vis-виват уравнение , называют также орбитальной энергии инвариантность закона , является одним из уравнений, моделирующие движение по орбите тела. Это прямой результат принципа сохранения механической энергии, который применяется, когда единственной силой, действующей на объект, является его собственный вес.

Vis viva (лат. «Живая сила») - термин из истории механики, и он выживает в этом единственном контексте. Она представляет собой принципчто разница между общей работой из ускоряющих сил одного системы и тормозящей силы равна одной половины визави виват накопили или теряются в системето время как работа ведется.

Уравнение [ править ]

Для любой кеплеровской орбиты ( эллиптической , параболической , гиперболической или радиальной ) уравнение vis-viva ^[1] выглядит следующим образом: ^[2]

{\ displaystyle v ^ {2} = GM \ left ({2 \ over r} - {1 \ over a} \ right)}

куда:

v - относительная скорость двух тел
r - расстояние между двумя телами
a - длина большой полуоси ( a > 0 для эллипсов , a = ∞ или 1 / a = 0 для парабол и a <0 для гипербол )
G - гравитационная постоянная
M - масса центрального тела

Произведение GM также можно выразить как стандартный гравитационный параметр, используя греческую букву μ.

Вывод для эллиптических орбит (0 ≤ эксцентриситет <1) [ править ]

В уравнении vis-viva масса m вращающегося тела (например, космического корабля) считается незначительной по сравнению с массой M центрального тела (например, Земли). Центральное тело и вращающееся тело также часто называют первичным и частицей соответственно. В конкретных случаях эллиптической или круговой орбиты уравнение vis-viva может быть легко выведено из закона сохранения энергии и количества движения.

Удельная полная энергия постоянна на всей орбите. Таким образом, используя индексы a и p для обозначения апоапсиса (апогея) и периапсиса (перигея), соответственно,

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {v_ {a} ^ {2}} {2}} - {\ frac {GM} {r_ {a}}} = {\ frac {v_ {p} ^ {2} } {2}} - {\ frac {GM} {r_ {p}}}}

Перестановка,

{\ displaystyle {\ frac {v_ {a} ^ {2}} {2}} - {\ frac {v_ {p} ^ {2}} {2}} = {\ frac {GM} {r_ {a} }} - {\ frac {GM} {r_ {p}}}}

Напоминая, что для эллиптической орбиты (и, следовательно, также круговой орбиты) векторы скорости и радиуса перпендикулярны в апоаксисе и перицентре, сохранение углового момента требует определенного углового момента , таким образом : $h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}$ $v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}$

{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}

{\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}

Выделение кинетической энергии при апоапсисе и упрощение,

{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}

{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}

{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}

Из геометрии эллипса, где а - длина большой полуоси. Таким образом, $2a=r_{p}+r_{a}$

{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}

Подставляя это в наше исходное выражение для удельной орбитальной энергии,

\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}

Таким образом, и уравнение vis-viva может быть записано $\varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}$

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}

или же

v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)

Следовательно, сохраняющийся угловой момент L = mh может быть получен с помощью и , $r_{a}+r_{p}=2a$ $r_{a}r_{p}=b^{2}$

где a - большая полуось, а b - малая полуось эллиптической орбиты, как показано ниже:

v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}

и поочередно,

v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}

Следовательно, удельный угловой момент и $h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}$

Полный угловой момент $L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}$

Практическое применение [ править ]

Учитывая общую массу и скаляры r и v в одной точке орбиты, можно вычислить r и v в любой другой точке орбиты. ^{[примечания 1]}

Учитывая общую массу и скаляры r и v в одной точке орбиты, можно вычислить удельную орбитальную энергию , что позволяет классифицировать объект, вращающийся вокруг более крупного объекта, как имеющий недостаточно энергии, чтобы оставаться на орбите, следовательно, являющийся « суборбитальным». "(баллистическая ракета, например), имеющая достаточно энергии, чтобы быть" орбитальной ", но без возможности в любом случае завершить полный оборот по орбите, потому что она в конечном итоге сталкивается с другим телом, или имеющая достаточно энергии для выхода и / или перехода к бесконечность (например, как метеор). $\varepsilon \,\!$

Формулу для скорости убегания можно получить из уравнения Висвивы, взяв предел как подходы : $a$ $\infty$

v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}

Примечания [ править ]

^ Для задачи трех тел вряд ли существует сопоставимое уравнение vis-viva: сохранение энергии уменьшает большее количество степеней свободы только на одну.

Ссылки [ править ]

^ Том Логсдон (1998). Орбитальная механика: теория и приложения . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14636-0.
^ Лиссауэр, Джек Дж .; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. С. 29–31. ISBN 9781108411981.

Внешние ссылки [ править ]

Калькуляторы Vis-viva уравнения

[3] Для задачи трех тел вряд ли существует сопоставимое уравнение vis-viva: сохранение энергии уменьшает большее количество степеней свободы только на одну.

[1] Том Логсдон (1998). Орбитальная механика: теория и приложения . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-14636-0.

[lissauer2019-2] Лиссауэр, Джек Дж .; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. С. 29–31. ISBN 9781108411981.