Истинная аномалия

Истинная аномалия точки P - это угол f . Центр эллипса точки C , а фокус точки F .

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В небесной механике , истинная аномалия является угловым параметром , который определяет положение тела , двигающееся по кеплеровской орбите . Это угол между направлением перицентра и текущим положением тела, если смотреть из основного фокуса эллипса (точки, вокруг которой вращается объект).

Истинная аномалия обычно обозначается греческими буквами ν или θ или латинской буквой f и обычно ограничивается диапазоном 0–360 ° (0–2π ^c ).

Как показано на изображении, истинная аномалия f - это один из трех угловых параметров ( аномалий ), которые определяют положение на орбите, два других - эксцентрическая аномалия и средняя аномалия .

Формулы [ править ]

Из векторов состояний [ править ]

Для эллиптических орбит истинная аномалия ν может быть вычислена по векторам орбитального состояния как:

${\ displaystyle \ nu = \ arccos {{\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | e \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}} }$

(если r ⋅ v <0, заменить ν на 2 π - ν )

куда:

• v - вектор орбитальной скорости движущегося по орбите тела,
• e - вектор эксцентриситета ,
• r - вектор орбитальной позиции (отрезок FP на рисунке) орбитального тела.

Круговая орбита [ править ]

Для круговых орбит истинная аномалия не определена, потому что круговые орбиты не имеют однозначно определенного перицентра. Вместо этого используется аргумент широты u :

${\ displaystyle u = \ arccos {{\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {r}} \ over {\ mathbf {\ left | n \ right |} \ mathbf {\ left | r \ right |}}}}$

(если r _z <0, заменить u на 2 π - u )

куда:

• n - вектор, указывающий на восходящий узел (т. е. z -компонент n равен нулю).
• r _z - z -компонента вектора орбитальной позиции r

Круговая орбита с нулевым наклоном [ править ]

Для круговых орбит с нулевым наклоном аргумент широты также не определен, потому что не существует однозначно определенной линии узлов. Вместо этого используется истинная долгота :

${\ displaystyle l = \ arccos {r_ {x} \ over {\ mathbf {\ left | r \ right |}}}}$

(если v _x > 0, заменим l на 2 π - l )

куда:

• r _x - x -компонента вектора орбитальной позиции r
• v _x - x -компонент вектора орбитальной скорости v .

От эксцентрической аномалии [ править ]

Связь между истинной аномалией ν и эксцентрической аномалией E следующая :

${\ displaystyle \ cos {\ nu} = {{\ cos {E} -e} \ over {1-e \ cos {E}}}}$

или используя синус ^[1] и касательную :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin {\ nu} & = {{{\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ over {1-e \ cos {E }}} \\ [4pt] \ tan {\ nu} = {{\ sin {\ nu}} \ over {\ cos {\ nu}}} & = {{{\ sqrt {1-e ^ {2} \,}} \ sin {E}} \ over {\ cos {E} -e}} \ end {align}}}$

или эквивалентно:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

так

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

Эквивалентная форма избегает сингулярности при e  → 1, однако она не дает правильного значения для :${\displaystyle \nu \,}$

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arg} \left({\sqrt {1-e\,}}\,\cos {\frac {E}{2}},\;{\sqrt {1+e\,}}\sin {\frac {E}{2}}\right)}$

или, с той же проблемой, что и e  → 1,

${\displaystyle \nu =\operatorname {arg} \left(\cos {E}-e,\;{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}\right)}$.

В обоих вышеупомянутых функциях arg ( x ,  y ) является полярным аргументом вектора ( x  y ), доступным во многих языках программирования как библиотечная функция с именем atan2 ( y , x ) (обратите внимание на обратный порядок x и у ).

От средней аномалии [ править ]

Истинную аномалию можно рассчитать непосредственно из средней аномалии с помощью разложения Фурье : ^[2]

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {O} \left(e^{4}\right)}$

где означает, что все пропущенные члены имеют порядок e ⁴ или выше. Обратите внимание, что из соображений точности это приближение обычно ограничивается орбитами с небольшим эксцентриситетом (e).${\displaystyle \operatorname {O} \left(e^{4}\right)}$

Выражение известно как уравнение центра .${\displaystyle \nu -M}$

Радиус от истинной аномалии [ править ]

Радиус (расстояние между фокусом притяжения и движущимся телом) связан с истинной аномалией формулой

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

где а - большая полуось орбиты .

См. Также [ править ]

• Законы движения планет Кеплера
• Эксцентрическая аномалия
• Средняя аномалия
• Эллипс
• Гипербола

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Мюррей, С.Д. и Дермотт, С.Ф., 1999, динамика солнечной системы , издательство Кембриджского университета, Кембридж. ISBN 0-521-57597-4 
• Пламмер, ХК, 1960, Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк. OCLC 1311887 (Перепечатка издания Cambridge University Press 1918 г.) 

Внешние ссылки [ править ]

• Федеральное управление гражданской авиации - Описание орбит