Гиперболическая траектория

Синий путь на этом изображении - пример гиперболической траектории.

Гиперболическая траектория изображена в правом нижнем квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия гиперболической траектории показана красным. Высота кинетической энергии уменьшается с уменьшением скорости и увеличением расстояния согласно законам Кеплера. Часть кинетической энергии, которая остается выше нуля полной энергии, связана с гиперболической избыточной скоростью.

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В астродинамике или небесной механике , гиперболической траектории является траектория любого объекта вокруг центрального тела с более чем достаточной скоростью , чтобы избежать гравитационного притяжения центрального объекта. Название происходит от того факта, что согласно теории Ньютона такая орбита имеет форму гиперболы . В более технических терминах это можно выразить условием, что эксцентриситет орбиты больше единицы.

При упрощенных предположениях тело, движущееся по этой траектории, будет двигаться к бесконечности, достигая конечной избыточной скорости относительно центрального тела. Как и параболические траектории , все гиперболические траектории также являются траекториями ухода . Энергия конкретной гиперболической траектории орбиты положительна.

Полеты планет, используемые для гравитационных рогаток , можно описать в пределах сферы влияния планеты с помощью гиперболических траекторий.

Параметры, описывающие гиперболическую траекторию [ править ]

Подобно эллиптической орбите, гиперболическая траектория для данной системы может быть определена (без учета ориентации) ее большой полуосью и эксцентриситетом. Однако для гиперболической орбиты другие параметры могут быть более полезными для понимания движения тела. В следующей таблице перечислены основные параметры, описывающие путь тела, следующего по гиперболической траектории вокруг другого при стандартных предположениях, и формулы, связывающие их.

Эти уравнения могут быть неточными. Нужны дополнительные ссылки.

Уравнения гиперболической траектории

Элемент	Символ	Формула	используя (или ), и${\ displaystyle v _ {\ infty}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$
Стандартный гравитационный параметр	${\ displaystyle \ mu \,}$	${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {(2 / r-1 / a)}}}$	${\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }}$
Эксцентриситет (> 1)	${\displaystyle e}$	${\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}}$
Большая полуось (<0)	${\displaystyle a\,\!}$	${\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}$	${\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2}}$
Гиперболическая избыточная скорость	${\displaystyle v_{\infty }}$	${\displaystyle {\sqrt {-\mu /a}}}$
(Внешний) Угол между асимптотами	${\displaystyle 2\theta _{\infty }}$	${\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}$	${\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)}$[1]
Угол между асимптотами и сопряженной осью гиперболической траектории сближения	${\displaystyle 2\nu }$	${\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }$	${\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}$
Параметр удара ( малая полуось )	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -a{\sqrt {e^{2}-1}}}$
Полу-латусная прямая кишка	${\displaystyle \ell }$	${\displaystyle a(e^{2}-1)}$	${\displaystyle -b^{2}/a=h^{2}/\mu }$
Расстояние периапсиса	${\displaystyle r_{p}}$	${\displaystyle a(1-e)}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}$
Удельная орбитальная энергия	${\displaystyle \varepsilon }$	${\displaystyle -\mu /2a}$	${\displaystyle v_{\infty }^{2}/2}$
Удельный угловой момент	${\displaystyle h}$	${\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}$	${\displaystyle bv_{\infty }}$

Большая полуось, энергия и гиперболическая избыточная скорость [ править ]

Большая полуось ( ) не сразу видна с гиперболической траекторией, но может быть построена, поскольку это расстояние от перицентра до точки, где две асимптоты пересекаются. Обычно, по соглашению, он отрицательный, чтобы различные уравнения согласовывались с эллиптическими орбитами.${\displaystyle a\,\!}$

Большая полуось напрямую связана с удельной орбитальной энергией ( ) или характеристической энергией орбиты, а также со скоростью, которой тело достигает, когда расстояние стремится к бесконечности, гиперболической избыточной скоростью ( ). ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ или же ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

где: - стандартный гравитационный параметр, а - характерная энергия, обычно используемая при планировании межпланетных миссий.${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$${\displaystyle C_{3}}$

Обратите внимание, что полная энергия положительна в случае гиперболической траектории (тогда как она отрицательна для эллиптической орбиты).

Эксцентриситет и угол между заходом на посадку и вылетом [ править ]

При гиперболической траектории эксцентриситет орбиты ( ) больше 1. Эксцентриситет напрямую связан с углом между асимптотами. С эксцентриситетом чуть больше 1 гипербола имеет острую форму буквы «v». На асимптоты под прямым углом. При этом асимптоты разнесены более чем на 120 °, а расстояние между ними больше, чем большая полуось. По мере дальнейшего увеличения эксцентриситета движение приближается к прямой.${\displaystyle e\,}$${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$${\displaystyle e>2}$

Угол между направлением перицентра и асимптотой от центрального тела является истинной аномалией, поскольку расстояние стремится к бесконечности ( ), так же как и внешний угол между направлениями приближения и отъезда (между асимптотами). потом${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$ или же ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Параметр удара и дальность максимального сближения [ редактировать ]

Прицельное расстояние , по которому тело, если оно продолжается на невозмущенном пути, будет не хватать центральное тело в его ближайшем подходе . Для тел, испытывающих гравитационные силы и следующих по гиперболическим траекториям, он равен малой полуоси гиперболы.

В ситуации, когда космический корабль или комета приближается к планете, прицельный параметр и избыточная скорость будут известны точно. Если центральное тело известно, то теперь можно определить траекторию, включая то, насколько близко приближающееся тело будет в перицентре. Если это меньше радиуса планеты, следует ожидать удара. Расстояние наибольшего сближения или перицентрическое расстояние определяется по формуле:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}$

Таким образом, если комета приближается к Земле (эффективный радиус ~ 6400 км) со скоростью 12,5 км / с (приблизительная минимальная скорость приближения тела, выходящего из внешней Солнечной системы ), чтобы избежать столкновения с Землей, потребуется параметр удара быть не менее 8600 км, или на 34% больше радиуса Земли. Тело, приближающееся к Юпитеру (радиус 70000 км) из внешней Солнечной системы со скоростью 5,5 км / ч, потребует, чтобы параметр удара был не менее 770 000 км или в 11 раз больше радиуса Юпитера, чтобы избежать столкновения.

Если масса центрального тела неизвестна, его стандартный гравитационный параметр и, следовательно, его масса могут быть определены по отклонению меньшего тела вместе с параметром удара и скоростью приближения. Поскольку обычно все эти переменные можно определить точно, пролет космического корабля дает хорошую оценку массы тела.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$где - угол, на который меньшее тело отклоняется от прямой на своем пути.${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Уравнения движения [ править ]

Должность [ править ]

В гиперболической траектории истинная аномалия связана с расстоянием между вращающимися телами ( ) уравнением орбиты :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Связь между истинной аномалией θ и эксцентрической аномалией E (альтернативно гиперболической аномалией H ) следующая: ^[2]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     или         или   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

Эксцентрическая аномалия Е связана с средней аномалии М по уравнению Кеплера :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

Средняя аномалия пропорциональна времени

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$где μ - гравитационный параметр, а a - большая полуось орбиты.

Угол траектории полета [ править ]

Угол траектории полета (φ) - это угол между направлением скорости и перпендикуляром к радиальному направлению, поэтому он равен нулю в перицентре и стремится к 90 градусам на бесконечности.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Скорость [ править ]

При стандартных предположениях орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по гиперболической траектории, может быть вычислена из уравнения vis-viva как:${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

куда:

• ${\displaystyle \mu \,}$является гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,\!}$- (отрицательная) большая полуось .

При стандартных предположениях, в любом месте на орбите выполняется следующее соотношение для орбитальной скорости ( ), локальной скорости убегания ( ) и гиперболической избыточной скорости ( ):${\displaystyle v\,}$${\displaystyle {v_{esc}}\,}$${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Обратите внимание, что это означает, что относительно небольшая дополнительная дельта- v выше, которая необходима для ускорения до скорости ухода, приводит к относительно большой скорости на бесконечности. Например, в месте, где скорость эвакуации составляет 11,2 км / с, прибавление 0,4 км / с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км / с.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Это пример эффекта Оберта . Верно и обратное - тело не нужно сильно замедлять по сравнению с его гиперболической избыточной скоростью (например, за счет сопротивления атмосферы около перицентра), чтобы скорость упала ниже скорости убегания и, таким образом, тело могло быть захвачено.

Радиальная гиперболическая траектория [ править ]

Радиальная гиперболическая траектория - это непериодическая траектория на прямой, где относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания . Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

Релятивистская проблема двух тел [ править ]

В контексте проблемы двух тел в общей теории относительности траектории объектов с достаточной энергией, чтобы избежать гравитационного притяжения другого, больше не имеют формы гиперболы. Тем не менее, термин «гиперболическая траектория» все еще используется для описания орбит этого типа.

См. Также [ править ]

• Орбита
• Орбитальное уравнение
• Орбита Кеплера
• Список орбит
• Планетарный пролет
• Гиперболический астероид
• Гиперболическая комета

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• https://web.archive.org/web/20050316084931/http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html
• https://web.archive.org/web/20120204054322/http://www.braeunig.us/space/orbmech.htm#hyperbolic