Полу-большие и полу-малые оси

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Большие и полу-малые оси»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение шаблона )

Большая полуось ( а ) и малая полуось ( б ) эллипса

Часть серии по
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент периапсиса Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Истинная аномалия
Типы двухчастичных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Переходная орбита ( Переходная орбита Хомана Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Орбитальный период Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
N-тела орбиты Лагранжевые точки ( Орбиты гало ) Орбиты Лиссажу Ляпуновские орбиты
Инженерия и эффективность
Предполетная инженерия Соотношение масс Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры эффективности Помощь гравитации Эффект Оберта
v т е

В геометрии большая ось эллипса - это его самый длинный диаметр : отрезок линии , проходящий через центр и оба фокусных расстояния , с концами в самых широких точках периметра .

Большая полуось составляет половину от главной оси, и , таким образом , идет от центра, через фокус , и по периметру. Малая полуось эллипса или гипербола представляет собой отрезок линии , которая находится под прямым углом с большой полуосью и имеет один конец в центре конического сечения. В частном случае круга длины полуосей равны радиусу круга.

Длина большой полуоси a эллипса связана с длиной малой полуоси b через эксцентриситет е и прямую полуось следующим образом:${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle {\ begin {align} b & = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}, \\\ ell & = a \ left (1-e ^ {2} \ right), \, \ \ a \ ell & = b ^ {2}. \ end {align}}}$

Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями. Таким образом, это расстояние от центра до любой вершины гиперболы.

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .${\ displaystyle \ ell}$

Большая и малая оси являются осями симметрии кривой: в эллипсе малая ось является более короткой; в гиперболе это тот, который не пересекает гиперболу.

Эллипс [ править ]

Уравнение эллипса:

${\ displaystyle {\ frac {\ left (xh \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ left (yk \ right) ^ {2}} {b ^ {2} }} = 1.}$

где (h, k) - центр эллипса в декартовых координатах , в котором произвольная точка задается как (x, y).

Большая полуось - это среднее значение максимального и минимального расстояний и эллипса от фокуса, то есть расстояний от фокуса до конечных точек большой оси. ^{[ необходимая цитата ]} В астрономии эти крайние точки называются апсидами . ^[1]${\ displaystyle r _ {\ max}}$${\ displaystyle r _ {\ min}}$

${\displaystyle a={\frac {r_{\max }+r_{\min }}{2}}.}$

Малая полуось эллипса - это среднее геометрическое этих расстояний:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\max }r_{\min }}}.}$

Эксцентриситет эллипса определяется как

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$так что .${\displaystyle r_{\min }=a(1-e),r_{\max }=a(1+e)}$

Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах , с одним фокусом в начале, а другой в направлении,${\displaystyle (\theta =\pi )-}$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .\,}$

Среднее значение и для и равно${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\ell \over 1-e^{2}}.\,}$

В эллипсе большая полуось - это среднее геометрическое расстояние от центра до любого фокуса и расстояние от центра до любой директрисы.

Малая полуось эллипса проходит от центра эллипса (точка на полпути между фокусами и на линии, проходящей между фокусами ) до края эллипса. Малая полуось - это половина малой оси. Малая ось - это самый длинный отрезок прямой, перпендикулярный большой оси, который соединяет две точки на краю эллипса.

Малая полуось b связана с большой полуосью а через эксцентриситет е и прямую полуось :${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!\\a\ell &=b^{2}.\,\!\end{aligned}}}$

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов , где один фокус сохраняется фиксированными , как другие могут двигаться сколь угодно далека в одном направлении, сохраняя фиксированным. Таким образом, a и b стремятся к бесконечности, а быстрее, чем b .${\displaystyle \ell }$

Длину малой полуоси можно также найти по следующей формуле ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}}}$

где f - расстояние между фокусами, p и q - расстояния от каждого фокуса до любой точки эллипса.

Гипербола [ править ]

Большая полуось гиперболы составляет, в зависимости от соглашения, плюс или минус половина расстояния между двумя ветвями; если это в направлении оси х уравнение: ^{[ править ]}

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

Поперечная ось гиперболы совпадает с большой осью. ^[3]

В гиперболе сопряженная ось или малая ось длины , соответствующая малой оси эллипса, может быть проведена перпендикулярно поперечной оси или большой оси, последняя соединяет две вершины (точки поворота) гиперболы с две оси, пересекающиеся в центре гиперболы. Концы малой оси лежат на высоте асимптот над / под вершинами гиперболы. Любая половина малой оси называется малой полуосью длиной b . Обозначая длину большой полуоси (расстояние от центра до вершины) как a , длины малой и большой полуосей появляются в уравнении гиперболы относительно этих осей следующим образом:${\displaystyle 2b}$${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Малая полуось - это также расстояние от одного из фокусов гиперболы до асимптоты. Часто называемый прицельным параметром , он важен в физике и астрономии и измеряет расстояние, на которое частица не попадает в фокус, если ее путешествие не нарушается телом в фокусе. ^{[ необходима цитата ]}

Малая полуось и большая полуось связаны через эксцентриситет следующим образом:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[4]

Обратите внимание, что в гиперболе b может быть больше, чем a . ^[5]

Астрономия [ править ]

Орбитальный период [ править ]

В астродинамике период обращения T малого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over \mu }}}$

куда:

${\displaystyle \mu }$является гравитационный параметр центрального тела

Обратите внимание, что для всех эллипсов с данной большой полуосью период обращения один и тот же, без учета их эксцентриситета.

Удельный момент ч небольшого тела на орбите центрального тела по круговой или эллиптической орбите: ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu \left(1-e^{2}\right)}}}$

куда:

a и определены выше${\displaystyle \mu }$

В астрономии , то большая полуось является одним из наиболее важных элементов орбиты в качестве орбиты , наряду с ее орбитальным периодом . Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем) ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}\,}$

где T - период, а a - большая полуось. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел , определенной Ньютоном : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}\,}$

где G - гравитационная постоянная , M - масса центрального тела, а m - масса движущегося по орбите тела. Обычно масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что m можно не учитывать. Это предположение и использование типичных астрономических единиц приводит к более простой форме, которую открыл Кеплер.

Путь движущегося по орбите тела вокруг центра масс и его путь относительно его первичного элемента являются эллипсами. ^[1] Большая полуось иногда используется в астрономии как расстояние от первичного к вторичному, когда отношение масс первичного к вторичному элементу значительно ( ); таким образом, параметры орбит планет даны в гелиоцентрических терминах. Разницу между примоцентрической и «абсолютной» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля – Луна. Отношение масс в этом случае равно${\displaystyle M\gg m}$81,300 59 . Характерное расстояние Земля – Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты, составляет 384 400 км. (Учитывая эксцентриситет лунной орбиты e = 0,0549, ее малая полуось составляет 383 800 км. Таким образом, орбита Луны почти круговая.) Барицентрическая лунная орбита, с другой стороны, имеет большую полуось 379 730 км, земную. встречная орбита, принимающая разницу, 4670 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км / с, а у Земли - 0,012 км / с. Сумма этих скоростей дает геоцентрическую среднюю орбитальную скорость Луны 1,022 км / с; такое же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси. ^{[ необходима цитата ]}

Среднее расстояние [ править ]

Часто говорят, что большая полуось - это «среднее» расстояние между основным фокусом эллипса и движущимся по орбите телом. Это не совсем точно, потому что это зависит от того, какое среднее значение берется за основу.

• усреднение расстояния по эксцентрической аномалии действительно приводит к большой полуоси.
• усреднение по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе) дает малую полуось .${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшего с перицентра, выраженная в виде угла) дает среднее значение по времени .${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

Усредненное по времени значение обратной величины радиуса,, равно .${\displaystyle r^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния [ править ]

В астродинамике большая полуось a может быть вычислена по векторам орбитального состояния :

${\displaystyle a=-{\mu \over {2\varepsilon }}\,}$

для эллиптической орбиты и, в зависимости от соглашения, то же или

${\displaystyle a={\mu \over {2\varepsilon }}\,}$

для гиперболической траектории и

${\displaystyle \varepsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}}$

( удельная орбитальная энергия ) и

${\displaystyle \mu =GM\,}$

( стандартный гравитационный параметр ), где:

• v - орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,
• r - декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например, геоцентрическая экваториальная линия для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),
• G - гравитационная постоянная ,
• M - масса гравитирующего тела, а
• ${\displaystyle \varepsilon }$ - удельная энергия движущегося по орбите тела.

Обратите внимание, что для данного количества общей массы удельная энергия и большая полуось всегда одинаковы, независимо от эксцентриситета или соотношения масс. И наоборот, для данной общей массы и большой полуоси полная удельная орбитальная энергия всегда одинакова. Это утверждение всегда будет верным при любых условиях. ^{[ необходима цитата ]}

Полуглавные и малые полуоси орбит планет [ править ]

Орбиты планет всегда приводятся в качестве ярких примеров эллипсов ( первый закон Кеплера ). Однако минимальная разница между большой и малой полуосями показывает, что они практически круглые по внешнему виду. Эта разница (или отношение) основывается на эксцентриситете и вычисляется как то, что для типичных эксцентриситетов планет дает очень маленькие результаты.${\displaystyle {{a} \over {b}}={1 \over {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Причина предположения о выдающихся эллиптических орбитах, вероятно, кроется в гораздо большей разнице между афелием и перигелием. Эта разница (или соотношение) также зависит от эксцентриситета и рассчитывается как . Из-за большой разницы между афелием и перигелием второй закон Кеплера легко визуализировать. ${\displaystyle {{r_{\text{a}}} \over {r_{\text{p}}}}={{1+e} \over {1-e}}}$

См. Также [ править ]

• Полудиаметр

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Большая и полу-малая оси эллипса с интерактивной анимацией