Орбита Кеплера

Эллиптическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 0,7, параболическая орбита Кеплера и гиперболическая орбита Кеплера с эксцентриситетом 1,3. Расстояние до фокальной точки является функцией полярного угла относительно горизонтальной линии, как определяется уравнением ( 13 )

В небесной механике , А орбита Кеплер (или кеплеровская орбиты , названный в честь немецкого астронома Иоганна Кеплера ) является движение одного тела относительно другого, как эллипса , параболы или гиперболы , который образует двухмерную плоскость орбиты в трех- пространственное пространство. Орбита Кеплера также может образовывать прямую линию . Он учитывает только точечное гравитационное притяжение двух тел, пренебрегая возмущениями, вызванными гравитационным взаимодействием с другими объектами, атмосферным сопротивлением , давлением солнечного излучения , не-сферическое центральное тело и т. д. Таким образом, говорят, что это решение частного случая проблемы двух тел , известной как проблема Кеплера . Как теория классической механики , она также не принимает во внимание эффекты общей теории относительности . Кеплеровские орбиты можно параметризовать на шесть орбитальных элементов различными способами.

В большинстве случаев используется большое центральное тело, центр масс которого считается центром масс всей системы. Путем разложения орбиты двух объектов одинаковой массы можно описать как орбиты Кеплера вокруг их общего центра масс, их барицентра .

Введение [ править ]

С древних времен до 16-17 веков считалось, что движения планет следуют идеально круговым геоцентрическим траекториям, как учили древнегреческие философы Аристотель и Птолемей . Вариации в движении планет объяснялись меньшими круговыми траекториями, наложенными на больший путь (см. Эпицикл ). По мере того как измерения планет становились все более точными, были предложены поправки к теории. В 1543 году Николай Коперник опубликовал гелиоцентрическую модель Солнечной системы , хотя он все еще считал, что планеты движутся по идеально круговым траекториям с центром на Солнце. ^[1]

История Кеплера и телескопа [ править ]

Кеплер переехал в Прагу и начал работать с Тихо Браге . Тихо поручил ему просмотреть всю информацию, которую Тихо имел о Марсе. Кеплер отметил, что положение Марса было подвержено большим ошибкам и создавало проблемы для многих моделей. Это заставило Кеплера сконфигурировать 3 закона движения планет.

Первый закон: планеты движутся по эллипсу с Солнцем в одном фокусе

Закон изменил бы эксцентриситет на 0,0. и фокусировка больше эксцентриситета 0,8. которые показывают, что круговая и эллиптическая орбиты имеют одинаковый период и фокус, но разные размеры области, определяемой Солнцем.

Это приводит ко второму закону: радиус-вектор описывает равные площади в равное время.

Эти два закона были опубликованы в книге Кеплера Astronomia Nova в 1609 году.

Для кругового движения равномерное, однако для эллиптического, чтобы охватить область с равномерной скоростью, объект перемещается быстро, когда радиус-вектор короткий, и медленнее, когда радиус-вектор длинный.

Кеплер опубликовал свой Третий закон движения планет в 1619 году в своей книге Harmonices Mundi . Ньютон использовал третий закон для определения своих законов тяготения.

Третий закон: квадраты периодических времен относятся друг к другу как кубы средних расстояний. ^[2]

Развитие законов [ править ]

В 1601 году Иоганн Кеплер получил обширные и тщательные наблюдения за планетами, сделанные Тихо Браге . Кеплер потратит следующие пять лет, пытаясь подогнать наблюдения планеты Марс к различным кривым. В 1609 году Кеплер опубликовал первые два из трех своих законов движения планет . Первый закон гласит:

« Орбита каждой планеты представляет собой эллипс с Солнцем в фокусе ».

В более общем смысле, путь объекта, претерпевающего кеплеровское движение, может также следовать параболе или гиперболе , которые, наряду с эллипсами, принадлежат к группе кривых, известных как конические сечения . Математически расстояние между центральным телом и вращающимся телом можно выразить как:

${\ Displaystyle г (\ тета) = {\ гидроразрыва {а (1-е ^ {2})} {1 + е \ соз (\ тета)}}}$

куда:

• ${\ displaystyle r}$ это расстояние
• ${\ displaystyle a}$- большая полуось , определяющая размер орбиты
• ${\ displaystyle e}$это эксцентриситет , который определяет форму орбиты
• ${\ displaystyle \ theta}$- истинная аномалия , представляющая собой угол между текущим положением орбитального объекта и положением на орбите, в котором он находится ближе всего к центральному телу (называемому перицентром ).

В качестве альтернативы уравнение может быть выражено как:

${\ Displaystyle г (\ тета) = {\ гидроразрыва {р} {1 + е \ соз (\ тета)}}}$

Где называется полу-латусная прямая кишка кривой. Эта форма уравнения особенно полезна при работе с параболическими траекториями, у которых большая полуось бесконечна.${\ displaystyle p}$

Несмотря на то, что эти законы были разработаны на основе наблюдений, Кеплер так и не смог разработать теорию, объясняющую эти движения. ^[3]

Исаак Ньютон [ править ]

Между 1665 и 1666 годами Исаак Ньютон разработал несколько концепций, связанных с движением, гравитацией и дифференциальным исчислением. Однако эти концепции не были опубликованы до 1687 г. в « Началах» , в которых он изложил свои законы движения и закон всемирного тяготения . Его второй из трех законов движения гласит:

Ускорение тела параллельно и прямо пропорциональна чистой силы , действующей на тело, находится в направлении результирующей силы, и обратно пропорциональна массе тела:

${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}$

Где:

• ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ вектор силы
• ${\ displaystyle m}$ масса тела, на которое действует сила
• ${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$ - вектор ускорения, вторая производная по времени вектора положения ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Строго говоря, эта форма уравнения применима только к объекту постоянной массы, что верно на основе упрощающих предположений, сделанных ниже.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит:

Каждая точечная масса притягивает любую другую точечную массу силой, направленной вдоль линии, пересекающей обе точки. Сила пропорциональна произведению двух масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между точечными массами:

${\ displaystyle F = G {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

куда:

• ${\ displaystyle F}$ величина силы тяжести между двумя точечными массами
• ${\ displaystyle G}$является гравитационным постоянным
• ${\ displaystyle m_ {1}}$ масса первой точечной массы
• ${\displaystyle m_{2}}$ масса второй точечной массы
• ${\displaystyle r}$ это расстояние между двумя точечными массами

Из законов движения и закона всемирного тяготения Ньютон смог вывести законы Кеплера, характерные для орбитального движения в астрономии. Поскольку законы Кеплера были хорошо подтверждены данными наблюдений, эта последовательность обеспечила сильную поддержку справедливости обобщенной теории Ньютона и единой небесной и обычной механики. Эти законы движения легли в основу современной небесной механики, пока Альберт Эйнштейн не представил концепции специальной и общей теории относительности в начале 20 века. Для большинства приложений кеплеровское движение приближает движения планет и спутников с относительно высокой степенью точности и широко используется в астрономии иастродинамика .

Упрощенная проблема двух тел [ править ]

См. Также анализ орбиты

Чтобы решить проблему движения объекта в системе двух тел , можно сделать два упрощающих предположения:

1. Тела сферически симметричны и могут рассматриваться как точечные массы.

2. На тела не действуют никакие внешние или внутренние силы, кроме их взаимного тяготения.

По форме крупные небесные тела близки к сферам. По симметрии чистая гравитационная сила, притягивающая материальную точку к однородной сфере, должна быть направлена ​​к ее центру. Теорема оболочек (также доказанная Исааком Ньютоном) утверждает, что величина этой силы такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в середине сферы, даже если плотность сферы меняется с глубиной (как это происходит для большинства небесных тел). тела). Отсюда сразу следует, что притяжение между двумя однородными сферами происходит так, как если бы масса обоих была сосредоточена в центре.

Более мелкие объекты, такие как астероиды или космические корабли, часто имеют форму, сильно отличающуюся от сферы. Но гравитационные силы, создаваемые этими неоднородностями, обычно малы по сравнению с силой тяжести центрального тела. Разница между неправильной формой и идеальной сферой также уменьшается с расстоянием, и большинство орбитальных расстояний очень большие по сравнению с диаметром небольшого орбитального тела. Таким образом, для некоторых приложений неравномерностью формы можно пренебречь без значительного влияния на точность. Этот эффект весьма заметен для искусственных спутников Земли, особенно на низких орбитах.

Планеты вращаются с разной скоростью и поэтому могут принимать слегка сжатую форму из-за центробежной силы. При такой сжатой форме гравитационное притяжение будет несколько отличаться от притяжения однородной сферы. На больших расстояниях эффект сжатия становится незначительным. Движение планет в Солнечной системе можно вычислить с достаточной точностью, если рассматривать их как точечные массы.

Два точечных объекта с массами и векторами положения и относительно некоторой инерциальной системы отсчета испытывают гравитационные силы:${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

где - вектор относительного положения массы 1 относительно массы 2, выраженный как:${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

и - единичный вектор в этом направлении, и - длина этого вектора.${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$${\displaystyle r}$

Деление на их соответствующие массы и вычитание второго уравнения из первого дает уравнение движения для ускорения первого объекта по отношению ко второму:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

( 1 )

где - гравитационный параметр, равный${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$

Во многих приложениях можно сделать третье упрощающее предположение:

3. По сравнению с центральным телом масса вращающегося тела незначительна. Математически m ₁ >> m ₂ , поэтому α = G ( m ₁  +  m ₂ ) ≈ Gm ₁ .

Это предположение не является необходимым для решения упрощенной задачи двух тел, но оно упрощает вычисления, особенно со спутниками на орбите Земли и планетами, вращающимися вокруг Солнца. Даже масса Юпитера меньше массы Солнца в 1047 раз ^[4], что составляет ошибку 0,096% в значении α. Заметные исключения включают систему Земля-Луна (отношение масс 81,3), систему Плутон-Харон (отношение масс 8,9) и двойные звездные системы.

При этих предположениях дифференциальное уравнение для случая двух тел может быть полностью решено математически, а результирующая орбита, которая следует законам движения планет Кеплера, называется «орбитой Кеплера». Орбиты всех планет с высокой точностью соответствуют орбитам Кеплера вокруг Солнца. Небольшие отклонения вызваны гораздо более слабым гравитационным притяжением между планетами, а в случае Меркурия - общей теорией относительности.. Орбиты искусственных спутников вокруг Земли в хорошем приближении представляют собой орбиты Кеплера с небольшими возмущениями из-за гравитационного притяжения Солнца, Луны и сжатия Земли. В приложениях с высокой точностью, для которых уравнение движения должно быть численно интегрировано с учетом всех гравитационных и негравитационных сил (таких как давление солнечного излучения и сопротивление атмосферы ), концепции орбиты Кеплера имеют первостепенное значение и широко используются.

Кеплеровские элементы [ править ]

Любую кеплеровскую траекторию можно определить шестью параметрами. Движение объекта, движущегося в трехмерном пространстве, характеризуется вектором положения и вектором скорости. Каждый вектор состоит из трех компонентов, поэтому общее количество значений, необходимых для определения траектории в пространстве, равно шести. Орбита обычно определяется шестью элементами (известными как кеплеровские элементы ), которые можно вычислить по положению и скорости, три из которых уже обсуждались. Эти элементы удобны тем, что их шесть, пять неизменны для невозмущенной орбиты (резкий контраст с двумя постоянно меняющимися векторами). Будущее местоположение объекта на его орбите может быть предсказано, а его новое положение и скорость могут быть легко получены с помощью элементов орбиты.

Два определяют размер и форму траектории:

• Большая полуось ( )${\displaystyle a}$
• Эксцентриситет ( )${\displaystyle e}$

Три определяют ориентацию плоскости орбиты :

• Наклон ( ) определяет угол между плоскостью орбиты и плоскостью отсчета.${\displaystyle i}$
• Долгота восходящего узла ( ) определяет угол между опорным направлением и восходящим пересечением орбиты на опорной плоскости (восходящий узел).${\displaystyle \Omega }$
• Аргумент перицентра ( ) определяет угол между восходящим узлом и перицентром.${\displaystyle \omega }$

И наконец:

• Истинная аномалия ( ) определяет положение движущегося по орбите тела вдоль траектории, измеренное от перицентра. Вместо истинной аномалии можно использовать несколько альтернативных значений, наиболее распространенными из которых являются средняя аномалия и время, прошедшее после перицентра.${\displaystyle \nu }$${\displaystyle M}$${\displaystyle T}$

Так , и просто угловые измерения , определяющие ориентацию траектории в системе отсчета, они не являются строго необходимыми при обсуждении движения объекта в плоскости орбиты. Они были упомянуты здесь для полноты, но не требуются для доказательства ниже.${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$

Математическое решение дифференциального уравнения ( 1 ) выше [ править ]

Для движения под действием любой центральной силы, т. Е. Силы, параллельной r , удельный относительный угловой момент остается постоянным:${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Поскольку векторное произведение вектора положения и его скорости остается постоянным, они должны лежать в одной плоскости, ортогональной к . Это означает, что вектор-функция является плоской кривой .${\displaystyle \mathbf {H} }$

Поскольку уравнение симметрично относительно его источника, его легче решить в полярных координатах. Однако важно отметить, что уравнение ( 1 ) относится к линейному ускорению, а не к угловому или радиальному ускорению. Поэтому при преобразовании уравнения нужно соблюдать осторожность. Введение декартовой системы координат и полярных единичных векторов в плоскости, ортогональной к :${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}$${\displaystyle \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}}$

Теперь мы можем переписать вектор-функцию и ее производные как:${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =r(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }})=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {q} }}}$

(см. « Векторное исчисление »). Подставляя их в ( 1 ), находим:

${\displaystyle ({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$

Это дает необычное полярное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

( 2 )

Чтобы решить это уравнение, необходимо исключить все производные по времени. Это приносит:

${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=|(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ),0)\times ({\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }},{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }},0)|=|(0,0,r^{2}{\dot {\theta }})|=r^{2}{\dot {\theta }}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {H}{r^{2}}}}$

( 3 )

Взяв производную по времени от ( 3 ), получаем

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}}$

( 4 )

Уравнения ( 3 ) и ( 4 ) позволяют исключить производные по времени от . Чтобы исключить производные по времени , используется цепное правило для поиска подходящих замен:${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\dot {\theta }}}$

( 5 )

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}}$

( 6 )

Используя эти четыре подстановки, можно исключить все производные по времени в ( 2 ), получив обыкновенное дифференциальное уравнение для как функцию${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta .}$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{r^{4}}}\cdot \left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-2\cdot {\frac {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}{r}}-r\right)=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$

( 7 )

Дифференциальное уравнение ( 7 ) может быть решено аналитически заменой переменной

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}}$

( 8 )

Используя цепное правило для дифференциации, получаем:

${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}=-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {ds}{d\theta }}}$

( 9 )

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{s^{3}}}\cdot \left({\frac {ds}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{s^{2}}}\cdot {\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}}$

( 10 )

Используя выражения ( 10 ) и ( 9 ) для и получаем${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle H^{2}\cdot \left({\frac {d^{2}s}{d\theta ^{2}}}+s\right)=\alpha }$

( 11 )

с общим решением

${\displaystyle s={\frac {\alpha }{H^{2}}}\cdot \left(1+e\cdot \cos(\theta -\theta _{0})\right)}$

( 12 )

где e и - постоянные интегрирования, зависящие от начальных значений s и${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

Вместо явного использования константы интегрирования вводится соглашение о том, что единичные векторы, определяющие систему координат в орбитальной плоскости, выбираются так, что принимает значение ноль, а e положительно. Тогда это означает, что он равен нулю в точке максимума и, следовательно , минимума. Определив параметр p как один,${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$${\displaystyle \theta _{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$

${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Альтернативное происхождение [ править ]

Другой способ решить это уравнение без использования полярных дифференциальных уравнений:

Определите единичный вектор так , чтобы и . Следует, что${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$

Теперь рассмотрим

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$

(см. Векторное тройное произведение ). Заметь

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$

Подстановка этих значений в предыдущее уравнение дает:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$

Объединение обеих сторон:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$

где c - постоянный вектор. Обозначение этого символа r дает интересный результат:

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$

где угол между и . Решение для r :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}.}$

Обратите внимание, что это фактически полярные координаты векторной функции. Делая замены и , снова приходим к уравнению${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$

( 13 )

Это уравнение в полярных координатах для конического сечения с началом в фокальной точке. Аргумент называется «истинная аномалия».${\displaystyle \theta }$

Свойства уравнения траектории [ править ]

Ибо это круг радиуса p .${\displaystyle e=0}$

Для этого является эллипсом с${\displaystyle 0<e<1,}$

${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}$

( 14 )

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2}}}}=a\cdot {\sqrt {1-e^{2}}}}$

( 15 )

Ибо это парабола с фокусным расстоянием${\displaystyle e=1}$${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

Ибо это гипербола с${\displaystyle e>1}$

${\displaystyle a={\frac {p}{e^{2}-1}}}$

( 16 )

${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {e^{2}-1}}}=a\cdot {\sqrt {e^{2}-1}}}$

( 17 )

На следующем изображении показаны круг (серый), эллипс (красный), парабола (зеленый) и гипербола (синий).

Точка на горизонтальной линии, идущей вправо от фокальной точки, является точкой, для которой расстояние до фокуса принимает минимальное значение перицентра. Для эллипса также существует апоцентр, для которого расстояние до фокуса принимает максимальное значение. Для гиперболы диапазон для составляет${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]}$

а для параболы диапазон равен

${\displaystyle \left[-\pi <\theta <\pi \right]}$

Используя цепное правило для дифференцирования ( 5 ), уравнение ( 2 ) и определение p, как можно получить, что компонент лучевой скорости равен${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$

${\displaystyle V_{r}={\dot {r}}={\frac {H}{p}}\cdot e\cdot \sin \theta ={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$

( 18 )

и что тангенциальная составляющая (составляющая скорости, перпендикулярная к ) равна${\displaystyle V_{r}}$

${\displaystyle V_{t}=r\cdot {\dot {\theta }}={\frac {H}{r}}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$

( 19 )

Связь между полярным аргументом и временем t немного отличается для эллиптических и гиперболических орбит.${\displaystyle \theta }$

Для эллиптической орбиты переходят к « эксцентрической аномалии » E, для которой

${\displaystyle x=a\cdot \cos E}$

( 20 )

${\displaystyle y=b\cdot \sin E}$

( 21 )

и следовательно

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sin E\cdot {\dot {E}}}$

( 22 )

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cos E\cdot {\dot {E}}}$

( 23 )

а угловой момент H равен

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (1-e\cdot \cos E)\cdot {\dot {E}}}$

( 24 )

Интегрирование по времени t дает

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (E-e\cdot \sin E)}$

( 25 )

в предположении, что время выбрано таким, что постоянная интегрирования равна нулю.${\displaystyle t=0}$

Поскольку по определению p имеется

${\displaystyle H={\sqrt {\alpha \cdot p}}}$

( 26 )

это можно написать

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(E-e\cdot \sin E)}$

( 27 )

Для гиперболической орбиты используются гиперболические функции для параметризации

${\displaystyle x=a\cdot (e-\cosh E)}$

( 28 )

${\displaystyle y=b\cdot \sinh E}$

( 29 )

для чего есть

${\displaystyle {\dot {x}}=-a\cdot \sinh E\cdot {\dot {E}}}$

( 30 )

${\displaystyle {\dot {y}}=b\cdot \cosh E\cdot {\dot {E}}}$

( 31 )

а угловой момент H равен

${\displaystyle H=x\cdot {\dot {y}}-y\cdot {\dot {x}}=a\cdot b\cdot (e\cdot \cosh E-1)\cdot {\dot {E}}}$

( 32 )

Интегрируя по времени t, получаем

${\displaystyle H\cdot t=a\cdot b\cdot (e\cdot \sinh E-E)}$

( 33 )

т.е.

${\displaystyle t=a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}(e\cdot \sinh E-E)}$

( 34 )

Чтобы найти время t, соответствующее определенной истинной аномалии, вычисляют соответствующий параметр E, связанный со временем соотношением ( 27 ) для эллиптической орбиты и соотношением ( 34 ) для гиперболической орбиты.${\displaystyle \theta }$

Отметим, что соотношения ( 27 ) и ( 34 ) определяют отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Некоторые дополнительные формулы [ править ]

Для эллиптической орбиты из ( 20 ) и ( 21 ) получаем

${\displaystyle r=a\cdot (1-e\cdot \cos E)}$

( 35 )

и поэтому

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}$

( 36 )

Тогда из ( 36 ) следует, что

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cdot \cos E}}}}={\frac {1-e\cdot \cos E-\cos E+e}{1-e\cdot \cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$

Из геометрической конструкции, определяющей эксцентрическую аномалию, ясно, что векторы и находятся по одну сторону от оси x . Отсюда следует, что векторы и находятся в одном квадранте. Следовательно, есть${\displaystyle (\cos E,\sin E)}$${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}$${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

( 37 )

и это

${\displaystyle \theta =2\cdot \arg \left({\sqrt {1-e}}\cdot \cos {\frac {E}{2}},{\sqrt {1+e}}\cdot \sin {\frac {E}{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

( 38 )

${\displaystyle E=2\cdot \arg \left({\sqrt {1+e}}\cdot \cos {\frac {\theta }{2}},{\sqrt {1-e}}\cdot \sin {\frac {\theta }{2}}\right)+n\cdot 2\pi }$

( 39 )

где " " - полярный аргумент вектора, а n выбрано так, чтобы${\displaystyle \arg(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle |E-\theta |<\pi }$

Для численного вычисления стандартной функции ATAN2 (y, x) (или DATAN2 (y, x) с двойной точностью ), доступной, например, в языке программирования FORTRAN, можно использовать.${\displaystyle \arg(x,y)}$

Обратите внимание, что это отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

Для гиперболической орбиты из ( 28 ) и ( 29 ) получаем

${\displaystyle r=a\cdot (e\cdot \cosh E-1)}$

( 40 )

и поэтому

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}={\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}$

( 41 )

В качестве

${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$

а так как и имеют тот же знак, то${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$

( 42 )

Это соотношение удобно для перехода между «истинной аномалией» и параметром E , который связан со временем соотношением ( 34 ). Обратите внимание, что это отображение между диапазонами

${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$

и это можно вычислить, используя соотношение${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$

${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Из соотношения ( 27 ) следует, что орбитальный период P для эллиптической орбиты равен

${\displaystyle P=2\pi \cdot a\cdot {\sqrt {\frac {a}{\alpha }}}}$

( 43 )

Поскольку потенциальная энергия, соответствующая силовому полю соотношения ( 1 ), равна

${\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}$

из ( 13 ), ( 14 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии

${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}$

для эллиптической орбиты

${\displaystyle -{\frac {\alpha }{2\cdot a}}}$

( 44 )

и из ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что сумма кинетической и потенциальной энергии для гиперболической орбиты равна

${\displaystyle {\frac {\alpha }{2\cdot a}}}$

( 45 )

Относительно инерциальной системы координат

${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

в плоскости орбиты по направлению к перицентру из ( 18 ) и ( 19 ) получаем, что компоненты скорости равны${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle V_{x}=\cos \theta \cdot V_{r}-\sin \theta \cdot V_{t}=-{\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot \sin \theta }$

( 46 )

${\displaystyle V_{y}=\sin \theta \cdot V_{r}+\cos \theta \cdot V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}\cdot (e+\cos \theta )}$

( 47 )

См. Также Уравнение центра - Аналитические разложения

Уравнение центра связывает среднюю аномалию с истинной аномалией для эллиптических орбит при небольшом числовом эксцентриситете.

Определение кеплеровской орбиты, соответствующей заданному начальному состоянию [ править ]

Это « задача начального значения » для дифференциального уравнения ( 1 ), которое является уравнением первого порядка для 6-мерного «вектора состояния», записанного как${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$

${\displaystyle {\dot {\bar {v}}}=-\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$

( 48 )

${\displaystyle {\dot {\bar {r}}}={\bar {v}}}$

( 49 )

Для любых значений начального «вектора состояния» орбита Кеплера, соответствующая решению этой начальной задачи, может быть найдена с помощью следующего алгоритма:${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$

Определите ортогональные единичные векторы через${\displaystyle ({\hat {r}},{\hat {t}})}$

${\displaystyle {\bar {r_{0}}}=r\cdot {\hat {r}}}$

( 50 )

${\displaystyle {\bar {v_{0}}}=V_{r}\cdot {\hat {r}}+V_{t}\cdot {\hat {t}}}$

( 51 )

с и${\displaystyle r>0}$${\displaystyle V_{t}>0}$

Из ( 13 ), ( 18 ) и ( 19 ) следует, что, полагая

${\displaystyle p={\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}$

( 52 )

и определив и таким образом, что${\displaystyle e\geq 0}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle e\cdot \cos \theta ={\frac {V_{t}}{V_{0}}}-1}$

( 53 )

${\displaystyle e\cdot \sin \theta ={\frac {V_{r}}{V_{0}}}}$

( 54 )

куда

${\displaystyle V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}}$

( 55 )

один получает орбиту Kepler , что для истинная аномалия имеет тот же г , и значения , как те , которые определены формулой ( 50 ) и ( 51 ).${\displaystyle \theta }$${\displaystyle V_{r}}$${\displaystyle V_{t}}$

Если эта кеплеровская орбита также имеет те же векторы для этой истинной аномалии, что и те, которые определены формулами ( 50 ) и ( 51 ), то вектор состояния кеплеровой орбиты принимает желаемые значения для истинной аномалии .${\displaystyle ({\hat {r}},{\hat {t}})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$${\displaystyle \theta }$

Стандартная инерционно закрепленная система координат в плоскости орбиты ( направленная от центра однородной сферы к перицентру), определяющая ориентацию конического сечения (эллипса, параболы или гиперболы), затем может быть определена с помощью соотношения${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}})}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {x}}=\cos \theta \cdot {\hat {r}}-\sin \theta \cdot {\hat {t}}}$

( 56 )

${\displaystyle {\hat {y}}=\sin \theta \cdot {\hat {r}}+\cos \theta \cdot {\hat {t}}}$

( 57 )

Отметим, что соотношения ( 53 ) и ( 54 ) имеют особенность, когда и${\displaystyle V_{r}=0}$

${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$

т.е.

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\alpha }{r}}}}$

( 58 )

это тот случай, когда это круговая орбита, которая соответствует начальному состоянию ${\displaystyle ({\bar {r_{0}}},{\bar {v_{0}}})}$

Оскулирующая орбита Кеплера [ править ]

Для любого вектора состояния орбита Кеплера, соответствующая этому состоянию, может быть вычислена с помощью алгоритма, определенного выше. Сначала определяются параметры , а затем ортогональные единичные векторы в плоскости орбиты с использованием соотношений ( 56 ) и ( 57 ).${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$${\displaystyle p,e,\theta }$${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

Если теперь уравнение движения

${\displaystyle {\ddot {\bar {r}}}=\operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

( 59 )

куда

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

это функция, отличная от

${\displaystyle -\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}}$

итоговые параметры

${\displaystyle p,e,\theta ,{\hat {x}},{\hat {y}}}$

определяется, будет все меняться со временем, в отличие от случая орбиты Кеплера, для которой будет изменяться только параметр${\displaystyle {\bar {r}},{\dot {\bar {r}}}}$${\displaystyle \theta }$

Вычисленная таким образом орбита Кеплера, имеющая тот же «вектор состояния», что и решение «уравнения движения» ( 59 ) в момент времени t, в это время называется «соприкасающейся».

Эта концепция, например, полезна в случае, если

${\displaystyle \operatorname {\bar {F}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)=-\alpha \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}+\operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

куда

${\displaystyle \operatorname {\bar {f}} ({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}},t)}$

представляет собой небольшую "возмущающую силу", вызванную, например, слабым гравитационным притяжением других небесных тел. В этом случае параметры оскулирующей орбиты Кеплера будут изменяться только медленно, а оскулирующая орбита Кеплера является хорошим приближением к реальной орбите в течение значительного периода времени до и после времени осколивания.

Эта концепция также может быть полезна для ракеты во время полета с двигателем, поскольку затем она сообщает, по какой орбите Кеплера ракета продолжит движение в случае отключения тяги.

Для орбиты "близкой к круговой" полезно определение " вектора эксцентриситета " . Из ( 53 ), ( 54 ) и ( 56 ) следует, что${\displaystyle {\bar {e}}=e\cdot {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\bar {e}}={\frac {(V_{t}-V_{0})\cdot {\hat {r}}-V_{r}\cdot {\hat {t}}}{V_{0}}}}$

( 60 )

т.е. является гладкой дифференцируемой функцией вектора состояния, даже если это состояние соответствует круговой орбите.${\displaystyle {\bar {e}}}$${\displaystyle ({\bar {r}},{\bar {v}})}$

См. Также [ править ]

• Проблема двух тел
• Гравитационная задача двух тел
• Проблема Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Эллиптическая орбита
• Гиперболическая траектория
• Параболическая траектория
• Радиальная траектория
• Моделирование орбиты

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эль-Ясберг "Теория полета искусственных спутников Земли", Израильская программа научных переводов (1967)
• Бейт, Роджер; Мюллер, Дональд; Белый, Джерри (1971). Основы астродинамики . Dover Publications, Inc., Нью-Йорк. ISBN 0-486-60061-0.
• Коперник, Николай (1952), «Книга I, глава 4, Движение небесных тел является регулярным, круговым и вечным - или еще одним составным из круговых движений», О вращении небесных сфер , Великие книги западного мира , 16 , перевод Чарльза Гленна Уоллиса, Чикаго: Уильям Бентон, стр. 497–838.CS1 maint: ref=harv (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Апплет JAVA, анимирующий орбиту спутника по эллиптической орбите Кеплера вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.