Проблема Кеплера

В классической механики , то задача Кеплера является частным случаем задачи двух тел , в котором два тела взаимодействуют посредством центральной силы F , которая изменяется по силе как обратно пропорционально квадрату от расстояния г между ними. Сила может быть как притягивающей, так и отталкивающей. Проблема состоит в том, чтобы определить положение или скорость двух тел с течением времени с учетом их массы , положения и скорости . Используя классическую механику, решение может быть выражено в виде орбиты Кеплера с использованием шести орбитальных элементов .

Проблема Кеплера названа в честь Иоганна Кеплера , который предложил законы движения планет Кеплера (которые являются частью классической механики и решили проблему для орбит планет) и исследовал типы сил, которые приведут к орбитам, подчиняющимся этим законам (называемым Обратная задача Кеплера ). ^[1]

Для обсуждения проблемы Кеплера, специфичной для радиальных орбит, см. Радиальная траектория . Общая теория относительности дает более точные решения проблемы двух тел, особенно в сильных гравитационных полях .

Приложения [ править ]

Проблема Кеплера возникает во многих контекстах, некоторые из которых выходят за рамки физики, изучаемой самим Кеплером. Проблема Кеплера важна в небесной механике , поскольку ньютоновская гравитация подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают спутник, движущийся вокруг планеты, планету вокруг своего солнца или две двойные звезды друг относительно друга. Задача Кеплера также имеет важное значение в движении двух заряженных частиц, так как закон Кулона в электростатике также подчиняется закону обратных квадратов . Примеры включают атом водорода , позитроний и мюоний., которые сыграли важную роль в качестве модельных систем для проверки физических теорий и измерения констант природы. ^{[ необходима цитата ]}

Проблема Кеплера и проблема простого гармонического осциллятора - две наиболее фундаментальные проблемы классической механики . Это единственные две задачи, которые имеют замкнутые орбиты для всех возможных наборов начальных условий, т. Е. Возвращаются в исходную точку с той же скоростью ( теорема Бертрана ). Проблема Кеплера часто использовалась для разработки новых методов в классической механике, таких как лагранжева механика , гамильтонова механика , уравнение Гамильтона – Якоби и координаты действие-угол . ^{[ необходима цитата ]} Проблема Кеплера также сохраняетВектор Лапласа – Рунге – Ленца , который с тех пор был обобщен для включения других взаимодействий. Решение проблемы Кеплера позволило ученым показать, что движение планет можно полностью объяснить классической механикой и законом всемирного тяготения Ньютона ; Научное объяснение движения планет сыграло важную роль в начале Просвещения .

Математическое определение [ править ]

Центральная сила F , которая изменяется в силе как обратно пропорционально квадрату от расстояния г между ними:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

где k - постоянная величина, представляющая единичный вектор вдоль линии между ними. ^[2] Сила может быть притягивающей ( k <0) или отталкивающей ( k > 0). Соответствующий скалярный потенциал ( потенциальная энергия нецентрального тела) равен:${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle V(r)={\frac {k}{r}}}$

Решение проблемы Кеплера [ править ]

Уравнение движения радиуса частицы массы, движущейся в центральном потенциале , дается уравнениями Лагранжа${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V(r)}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$и угловой момент сохраняется. Для иллюстрации первый член слева равен нулю для круговых орбит, а приложенная внутрь сила равна требованию центростремительной силы , как и ожидалось.${\displaystyle L=mr^{2}\omega }$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$ ${\displaystyle mr\omega ^{2}}$

Если L не равно нулю, определение углового момента допускает замену независимой переменной с на${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}$

давая новое уравнение движения, которое не зависит от времени

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}}$

Расширение первого члена есть

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)=-{\frac {2L^{2}}{mr^{5}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {L^{2}}{mr^{4}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных и умножении обеих частей на${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}={\frac {-1}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}={\frac {2}{r^{3}}}\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$

После замены и перестановки:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)}$

Для закона обратных квадратов силы, такого как гравитационный или электростатический потенциал , потенциал можно записать

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {k}{r}}=ku}$

Орбита может быть получена из общего уравнения${\displaystyle u(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V\left({\frac {1}{u}}\right)=-{\frac {km}{L^{2}}}}$

решение которой представляет собой константу плюс простую синусоиду${\displaystyle -{\frac {km}{L^{2}}}}$

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}=-{\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right]}$

где ( эксцентриситет ) и ( фазовый сдвиг ) - постоянные интегрирования.${\displaystyle e}$${\displaystyle \theta _{0}}$

Это общая формула для конического сечения с одним фокусом в начале координат; соответствует кругу , соответствует эллипсу, соответствует параболе и соответствует гиперболе . Эксцентриситет связан с полной энергией (ср. Вектор Лапласа – Рунге – Ленца )${\displaystyle e=0}$${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}}$

Сравнение этих формул показывает, что соответствует эллипсу (все решения, которые являются замкнутыми орбитами, являются эллипсами), соответствует параболе и соответствует гиперболе . В частности, для идеально круговых орбит (центральная сила в точности равна требуемой центростремительной силе , которая определяет требуемую угловую скорость для данного кругового радиуса).${\displaystyle E<0}$${\displaystyle E=0}$${\displaystyle E>0}$${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

Для силы отталкивания ( k  > 0)  применимо только e > 1.

Решение в координатах педали [ править ]

Если ограничиться плоскостью орбиты, есть простой способ получить приблизительную форму орбиты (без информации о параметризации) в координатах педали . Помните, что данная точка на кривой в координатах педали задается двумя числами , где - расстояние от начала координат и - расстояние от начала координат до касательной в точке (символ обозначает вектор, перпендикулярный к - точная ориентация не имеет значения. здесь).${\displaystyle x}$${\displaystyle (r,p)}$${\displaystyle r:=|x|}$${\displaystyle p:={\frac {x\cdot {\dot {x}}^{\perp }}{|{\dot {x}}|}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\dot {x}}^{\perp }}$${\displaystyle {\dot {x}}}$

Задача Кеплера на плоскости требует решения системы дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x,\qquad x\in \mathbb {R} ^{2},}$

где - произведение массы гравитационного тела на гравитационную постоянную. Произведя скалярное произведение уравнения на, получим${\displaystyle M}$${\displaystyle {\dot {x}}}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {|{\dot {x}}|^{2}}{2}}={\ddot {x}}\cdot {\dot {x}}=-{\frac {M}{|x|^{3}}}x\cdot {\dot {x}}={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\frac {M}{|x|}}.}$

Интегрируя, получаем первую сохраняемую величину :${\displaystyle c}$

${\displaystyle |{\dot {x}}|^{2}={\frac {2M}{|x|}}+c,}$

что соответствует энергии орбитального объекта. Точно так же, составляя скалярное произведение с, мы получаем${\displaystyle x^{\perp }}$

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\dot {x}}\cdot x^{\perp }={\ddot {x}}\cdot x^{\perp }=0,}$

с интегралом

${\displaystyle {\dot {x}}\cdot x^{\perp }=L,}$

соответствующий угловому моменту объекта. С

${\displaystyle p^{2}={\frac {(x\cdot {\dot {x}}^{\perp })^{2}}{|{\dot {x}}|^{2}}},}$

подставляя указанные выше сохраняющиеся величины, сразу получаем:

${\displaystyle p^{2}={\frac {L^{2}}{{\frac {2M}{r}}+c}},\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {L^{2}}{p^{2}}}={\frac {2M}{r}}+c,}$

что является уравнением конического сечения (с началом в фокусе) в координатах педали (см. уравнение педали ). Обратите внимание, что для получения формы орбиты необходимы только 2 (из 4 возможных) сохраняющихся величин. Это возможно, поскольку координаты педали не описывают кривую во всех деталях. Обычно они безразличны к параметризации, а также к повороту кривой вокруг начала координат - что является преимуществом, если вы заботитесь только об общей форме кривой и не хотите отвлекаться на детали.

Этот подход может быть применен к широкому кругу задач о центральной силе и силе лоренцевского типа, обнаруженных П. Блашке в 2017 г. ^[3]

См. Также [ править ]

• Координаты действие-угол
• Теорема Бертрана
• Уравнение Бине
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.
• Орбита Кеплера
• Проблема Кеплера в общей теории относительности
• Уравнение Кеплера
• Законы движения планет Кеплера
• Уравнение педали

Ссылки [ править ]

• П. Блашке (2017). «Педальные координаты, темный Кеплер и другие силовые проблемы» (PDF) . Журнал математической физики . 58 (6): 063505. arXiv : 1704.00897 . Bibcode : 2017JMP .... 58f3505B . DOI : 10.1063 / 1.4984905 .