Позиция (геометрия)

Радиус-вектор представляет положение точки относительно начала O. В декартовой системе координат .

{\ displaystyle {\ vec {r}}}

{\ Displaystyle \ mathrm {P} (х, у, г)}

{\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}

В геометрии , A положение или положение вектор , также известный как вектор местоположения или радиус - вектор , является евклидовом вектора , который представляет положение точки Р в пространстве по отношению к произвольной опорному происхождению O . Как правило , обозначаемые х , г , или ей , она соответствует сегменту прямой от O до P . Другими словами, это смещение или перенос, который отображает начало координат в P :^[1]

\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}

Термин «вектор положения» используется в основном в области дифференциальной геометрии , механики и иногда в векторном исчислении .

Часто это используется в двумерном или трехмерном пространстве , но его можно легко обобщить на евклидовы пространства и аффинные пространства любой размерности . ^[2]

Определение [ править ]

Три измерения [ править ]

Кривая пространства в 3D. - Вектор г параметризуются скалярным т . При r = a красная линия является касательной к кривой, а синяя плоскость перпендикулярна кривой.

В трехмерном пространстве любой набор трехмерных координат и соответствующих им базисных векторов может использоваться для определения местоположения точки в пространстве - может использоваться то, что является наиболее простым для данной задачи.

Обычно используется знакомая декартова система координат , иногда сферические полярные координаты или цилиндрические координаты :

{\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}

где t - параметр из-за их прямоугольной или круговой симметрии. Эти разные координаты и соответствующие базисные векторы представляют один и тот же вектор положения. Вместо этого могут использоваться более общие криволинейные координаты, которые используются в контексте механики сплошной среды и общей теории относительности (в последнем случае требуется дополнительная временная координата).

n измерений [ править ]

Линейная алгебра позволяет абстрагировать n- мерный вектор положения. Вектор положения может быть выражен как линейная комбинация базисных векторов: ^[3]^[4]

\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.

Множество всех векторов положения образует положение пространства (в векторном пространство , элементы которого являются векторами положения), так как позиции могут быть добавлены ( векторное сложение ) и масштабирования в длине ( скалярное умножение ) , чтобы получить другой вектор положения в пространстве. Понятие «пространство» интуитивно понятно, поскольку каждый x _i ( i = 1, 2,…, n ) может иметь любое значение, совокупность значений определяет точку в пространстве.

Размер от положения пространства п (также обозначается тусклый ( R ) = п ). В координатах вектора г относительно базисных векторов е _я являюсь х _I . Вектор координат образует координатный вектор или n - кортеж ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ).

Каждой координате x _i может быть задано несколько параметров t . Один параметр x _i ( t ) описывает изогнутую одномерную траекторию, два параметра x _i ( t ₁ , t ₂ ) описывают изогнутую 2D-поверхность, три x _i ( t ₁ , t ₂ , t ₃ ) описывают изогнутый трехмерный объем пространство и так далее.

Линейная оболочка базиса множества B = { е ₁ , е ₂ , ..., е _п } равна позиции пространства R , обозначенный диапазон ( B ) = R .

Приложения [ править ]

Дифференциальная геометрия [ править ]

Поля вектора положения используются для описания непрерывных и дифференцируемых пространственных кривых, и в этом случае независимым параметром не обязательно должно быть время, но может быть (например) длина дуги кривой.

Механика [ править ]

В любом уравнении движения вектор положения r ( t ) обычно является наиболее востребованной величиной, поскольку эта функция определяет движение частицы (то есть точечной массы ) - ее положение относительно данной системы координат в некоторый момент времени t .

Чтобы определить движение с точки зрения положения, каждая координата может быть параметризована временем; поскольку каждое последующее значение времени соответствует последовательности последовательных пространственных местоположений, заданных координатами, непрерывный предел многих последовательных местоположений - это путь, по которому движется частица.

В случае одного измерения позиция имеет только один компонент, поэтому она эффективно вырождается в скалярную координату. Это может быть, скажем, вектор в направлении x или радиальном направлении r . Эквивалентные обозначения включают

\mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).

Производные от позиции [ править ]

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a

Для вектора положения r, который является функцией времени t , производные по времени могут быть вычислены по t . Эти производные широко используются при изучении кинематики , теории управления , инженерии и других наук.

Скорость: $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},$

где d r - бесконечно малое смещение (вектор) .

Ускорение: $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.$

Придурок: $\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.$

Эти названия первой, второй и третьей производной от позиции обычно используются в базовой кинематике. ^[5] В более широком смысле производные высшего порядка могут быть вычислены аналогичным образом. Изучение этих производных более высокого порядка может улучшить приближение исходной функции смещения. Такие члены высшего порядка необходимы для точного представления функции смещения в виде суммы бесконечной последовательности , что позволяет использовать несколько аналитических методов в технике и физике.

См. Также [ править ]

Аффинное пространство
Система координат
Горизонтальное положение
Элемент линии
Параметрическая поверхность
Определение положения
Шесть степеней свободы
Вертикальное положение

Примечания [ править ]

^ Термин « смещение» в основном используется в механике, а « перенос» - в геометрии.
^ Keller, F.J, Gettys, WE et al. (1993), стр. 28–29.
^ Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенце, SJ (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ Lipschutz, S .; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.
^ Стюарт, Джеймс (2001). «§2.8. Производная как функция». Исчисление (2-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-37718-1.

Ссылки [ править ]

Keller, F.J, Gettys, WE et al. (1993). «Физика: классика и современность» 2-е изд. McGraw Hill Publishing.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с позицией (геометрией) на Викискладе?

[1] Термин « смещение» в основном используется в механике, а « перенос» - в геометрии.

[phys_keller-2] Keller, F.J, Gettys, WE et al. (1993), стр. 28–29.

[3] Райли, KF; Хобсон, депутат; Бенце, SJ (2010). Математические методы для физики и техники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.

[4] Lipschutz, S .; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра . Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-154352-1.

[stewart-5] Стюарт, Джеймс (2001). «§2.8. Производная как функция». Исчисление (2-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-534-37718-1.

[1]