Закон обратных квадратов

S представляет собой источник света, а r представляет собой измеренные точки. Линии представляют поток, исходящий от источников и потоков. Общее количество линий потока зависит от силы источника света и остается постоянным с увеличением расстояния, где большая плотность линий потока (линий на единицу площади) означает более сильное энергетическое поле. Плотность силовых линий обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника, потому что площадь поверхности сферы увеличивается пропорционально квадрату радиуса. Таким образом, напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника.

В науке , закон обратных квадратов является любой научный закон о том , что указанная физическая величина является обратно пропорциональной к площади на расстоянии от источника этой физической величины. Основную причину этого можно понять как геометрическое растворение, соответствующее излучению точечного источника, в трехмерном пространстве.

Энергия радара увеличивается как во время передачи сигнала, так и во время отраженного отражения , поэтому обратный квадрат для обоих путей означает, что радар будет получать энергию в соответствии с обратной четвертой степенью дальности.

Чтобы предотвратить разбавление энергии при распространении сигнала, можно использовать определенные методы, такие как волновод , который действует как канал для воды, или то, как ствол пистолета ограничивает расширение горячего газа одним измерением , чтобы предотвратить потерю передачи энергии в пуля .

Формула [ править ]

Математические обозначения (см. ∝ ):

${\ displaystyle {\ text {интенсивность}} \ \ propto \ {\ frac {1} {{\ text {distance}} ^ {2}}} \,}$

Математически это также можно выразить как:

${\ displaystyle {\ frac {{\ text {интенсивность}} _ {1}} {{\ text {интенсивность}} _ {2}}} = {\ frac {{\ text {distance}} _ {2} ^ {2}} {{\ text {distance}} _ {1} ^ {2}}}}$

или как формулировка постоянной величины:

${\ displaystyle {\ text {интенсивность}} _ {1} \ times {\ text {distance}} _ {1} ^ {2} = {\ text {интенсивность}} _ {2} \ times {\ text {distance }} _ {2} ^ {2}}$

Расходимости из векторного поля , которая является результирующей радиальным обратными квадратами полого права в отношении одного или нескольких источников всюду пропорциональны силы локальных источников, и , следовательно , равен нуля внешних источников. Закон всемирного тяготения Ньютона следует закону обратных квадратов, как и эффекты электрических , магнитных , световых , звуковых и радиационных явлений.

Обоснование [ править ]

Закон обратных квадратов обычно применяется, когда некоторая сила, энергия или другая сохраняющаяся величина равномерно излучается наружу от точечного источника в трехмерном пространстве . Поскольку площадь поверхности из сферы (который является 4π г ² ) пропорциональна квадрату радиуса, так как испускаемое излучение попадает дальше от источника, оно было распространено на площади , которая увеличивается пропорционально квадрату удаленность от источника. Следовательно, интенсивность излучения, проходящего через любую единицу площади (прямо напротив точечного источника), обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника. Закон Гаусса для гравитации аналогичным образом применимо и может использоваться с любой физической величиной, которая действует в соответствии с соотношением обратных квадратов.

События [ править ]

Гравитация [ править ]

Гравитация - это притяжение между объектами, имеющими массу. Закон Ньютона гласит:

Сила гравитационного притяжения между двумя точечными массами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила всегда притягательна и действует по соединяющей их линии. ^{[ необходима цитата ]}

Если распределение материи в каждом теле сферически симметрично, то объекты можно рассматривать как точечные массы без приближения, как показано в теореме об оболочке . В противном случае, если мы хотим вычислить притяжение между массивными телами, нам нужно сложить все силы притяжения точка-точка векторно, и результирующее притяжение может не быть точным обратным квадратом. Однако, если расстояние между массивными телами намного больше по сравнению с их размерами, то с хорошим приближением разумно рассматривать массы как точечную массу, расположенную в центре масс объекта, при вычислении силы тяжести.

Как закон всемирного тяготения этот закон был предложен в 1645 году Исмаэлем Буллиалдусом . Но Буллиальдус не принимал второй и третий законы Кеплера и не ценил решение Христиана Гюйгенса для кругового движения (движение по прямой, оттесненное центральной силой). Действительно, Буллиальдус утверждал, что сила солнца притягивает в афелии и отталкивает в перигелии. Роберт Гук и Джованни Альфонсо Борелли оба истолковали гравитацию в 1666 году как силу притяжения ^[1] (лекция Гука «О гравитации» в Королевском обществе, Лондон, 21 марта; ^[2] Борелли «Теория планет»,опубликовано позже, в 1666 г. ^[3]). Лекция Гука 1670 года Грешема объяснила, что гравитация применима ко «всем небесным телам», и добавила принципы, согласно которым сила гравитации уменьшается с расстоянием, и что при отсутствии такой силы тела движутся по прямым линиям. К 1679 году Гук подумал, что гравитация имеет обратную квадратичную зависимость, и сообщил об этом в письме Исааку Ньютону : ^[4] я предполагаю, что притяжение всегда пропорционально расстоянию от центра обратного взаимодействия . ^[5]

Гук по-прежнему с горечью относился к Ньютону, заявлявшему об изобретении этого принципа, хотя в Принципах Ньютона 1686 года признавалось, что Гук, наряду с Реном и Галлеем, отдельно оценивал закон обратных квадратов в солнечной системе ^[6], а также отдавал должное Буллиальдусу. . ^[7]

Электростатика [ править ]

Сила притяжения или отталкивания между двумя электрически заряженными частицами, помимо того, что она прямо пропорциональна произведению электрических зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними; это известно как закон Кулона . Отклонение показателя степени от 2 составляет менее одной части из 10 ¹⁵ . ^[8]

F знак равно k е q 1 q 2 р 2 {\ displaystyle F = k _ {\ text {e}} {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {r ^ {2}}}}

Свет и другое электромагнитное излучение [ править ]

Интенсивности (или освещенности или освещенности ) от света или других линейных волн , исходящих от точечного источника (энергии на единицу площади , перпендикулярной к источнику) обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника; таким образом, объект (того же размера), находящийся вдвое дальше, получает только четверть энергии (за тот же период времени).

В более общем плане освещенность, то есть интенсивность (или мощность на единицу площади в направлении распространения ) сферического волнового фронта изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника (при условии отсутствия потерь, вызванных поглощением или рассеянием ) .

Например, интенсивность излучения Солнца составляет 9126 Вт на квадратный метр на расстоянии Меркурия (0,387 а.е. ); но всего 1367 ватт на квадратный метр на расстоянии от Земли (1 а.е.) - приблизительное трехкратное увеличение расстояния приводит к приблизительно девятикратному уменьшению интенсивности излучения.

Для неизотропных излучателей, таких как параболические антенны , фары и лазеры , эффективное начало находится далеко за апертурой луча. Если вы находитесь близко к исходной точке, вам не нужно далеко уходить, чтобы удвоить радиус, поэтому сигнал быстро падает. Когда вы находитесь далеко от исходной точки и по-прежнему имеете сильный сигнал, как в случае с лазером, вам нужно пройти очень далеко, чтобы удвоить радиус и уменьшить сигнал. Это означает, что у вас более сильный сигнал или усиление антенны в направлении узкого луча относительно широкого луча во всех направлениях изотропной антенны .

В фотографии и сценическом освещении закон обратных квадратов используется для определения «спада» или разницы в освещении объекта, когда он приближается к источнику света или дальше от него. Для быстрого приближения достаточно помнить, что удвоение расстояния уменьшает освещенность на четверть; ^[9] или аналогично, чтобы уменьшить вдвое освещенность, увеличьте расстояние в 1,4 раза ( квадратный корень из 2 ), а для удвоения освещенности уменьшите расстояние до 0,7 (квадратный корень из 1/2). Когда источник света не является точечным источником, правило обратных квадратов часто по-прежнему является полезным приближением; когда размер источника света составляет менее одной пятой расстояния до объекта, ошибка вычисления составляет менее 1%.^[10]

Относительное уменьшение плотности энергии электромагнитного излучения (Φ) для косвенно ионизирующего излучения с увеличением расстояния от точечного источника может быть рассчитано с использованием закона обратных квадратов. Поскольку выбросы точечного источника имеют радиальное направление, они пересекаются перпендикулярно. Площадь такой оболочки равна 4π r ^2, где r - радиальное расстояние от центра. Закон особенно важен при планировании диагностической рентгенографии и лучевой терапии, хотя эта пропорциональность не соблюдается в практических ситуациях, если только размеры источника не намного меньше расстояния. Как сказано в теории Фурье тепла «поскольку точечный источник увеличивается на расстояние, его излучение ослаблено пропорционально греху угла увеличивающейся окружной дуги от точки происхождения».

Пример [ править ]

Пусть P   будет полной мощностью, излучаемой точечным источником (например, всенаправленным изотропным излучателем ). На больших расстояниях от источника (по сравнению с размером источника) эта мощность распределяется по все большим сферическим поверхностям по мере увеличения расстояния от источника. Поскольку площадь поверхности сферы радиуса r равна A  = 4 πr  ² , интенсивность I (мощность на единицу площади) излучения на расстоянии r равна

${\ displaystyle I = {\ frac {P} {A}} = {\ frac {P} {4 \ pi r ^ {2}}}. \,}$

Энергия или интенсивность уменьшаются (делятся на 4) по мере удвоения расстояния r ; при измерении в дБ уменьшится на 3,01 дБ при удвоении расстояния. При обращении к измерениям мощности величин, соотношение может быть выражено как уровень в децибелах путем оценки в десять раз по основанию 10 логарифм отношения измеряемой величины к опорному значению.

Звук в газе [ править ]

В акустике , то звуковое давление из сферического волнового фронта излучающего от точечного источника уменьшается на 50% , как расстояние г удваивается; измеренное в дБ , уменьшение все еще составляет 6,02 дБ, поскольку дБ представляет собой отношение интенсивностей. Отношение давлений (в отличие от отношения мощностей) не обратно квадратично, а обратно пропорционально (закон обратных расстояний):

${\ displaystyle p \ \ propto \ {\ frac {1} {r}} \,}$

То же самое верно и для составляющей скорости частицы, которая синфазна с мгновенным звуковым давлением :${\ displaystyle v \,}$${\ displaystyle p \,}$

${\ displaystyle v \ \ propto {\ frac {1} {r}} \ \,}$

В ближнем поле находится квадратурная составляющая скорости частицы, которая на 90 ° не совпадает по фазе со звуковым давлением и не влияет на усредненную по времени энергию или интенсивность звука. Интенсивность звука является продуктом RMS звукового давления , а в фазе компонентах RMS скорости частицы, оба из которых являются обратными-пропорционально. Соответственно, интенсивность следует обратно квадратичной зависимости:

${\ Displaystyle I \ = \ pv \ \ propto \ {\ frac {1} {r ^ {2}}}. \,}$

Интерпретация теории поля [ править ]

Для безвихревого векторного поля в трехмерном пространстве закон обратных квадратов соответствует тому свойству, что расходимость равна нулю вне источника. Это можно обобщить на более высокие измерения. Как правило, для безвихревого векторного поля в n- мерном евклидовом пространстве , интенсивность "I" векторного поля спадает с расстоянием "r" по закону обратной ( n  - 1) ^-й степени.

${\ displaystyle I \ propto {\ frac {1} {r ^ {n-1}}},}$

при условии, что пространство за пределами источника не имеет расхождений. ^{[ необходима цитата ]}

История [ править ]

Джон Дамблтон из Oxford Calculators XIV века был одним из первых, кто выразил функциональные взаимосвязи в графической форме. Он представил доказательство теоремы о средней скорости, в которой говорится, что «широта равномерно дифференцированного движения соответствует степени средней точки», и использовал этот метод для изучения количественного уменьшения интенсивности освещения в своей « Summa logicæ et Философский натуралист» (ок. 1349), заявив, что оно не было линейно пропорционально расстоянию, но не смогло выявить закон обратных квадратов. ^[11]

В предложении 9 книги 1 в своей книге Ad Vitellionem paralipomen, quibus astronomiae pars optica traditur (1604 г.) астроном Иоганн Кеплер утверждал, что распространение света от точечного источника подчиняется закону обратных квадратов: ^{[12] [13]}

Оригинал: Sicut se habent spharicae superificies, quibus origo lucis pro centro est, ampior ad angustiorem: ita se habet fortitudo seu densitas lucis radiorum in angustiori, ad illamin in laxiori sphaerica, hoc est, converim. Nam per 6. 7. tantundem lucis est in angustiori sphaerica superficie, Quantum in fusiore, tanto ergo illie stipatior & densior quam hic.

Перевод : Подобно тому, как [соотношение] сферических поверхностей, для которых источником света является центр, [является] от более широкого к более узкому, так и плотность или стойкость лучей света в более узком [пространстве] по направлению к более просторные сферические поверхности, то есть наоборот. Поскольку согласно [предложениям] 6 и 7, в более узкой сферической поверхности столько же света, сколько в более широкой, поэтому здесь он гораздо более сжат и плотнее, чем там.

В 1645 году в своей книге Astronomia Philolaica ... французский астроном Исмаэль Буллиальдус (1605–1694) опроверг предположение Иоганна Кеплера о том, что «гравитация» ^[14] ослабевает как величина, обратная расстоянию; вместо этого, утверждал Буллиалдус, «гравитация» ослабевает как обратный квадрат расстояния: ^{[15] [16]}

Оригинал: Virtus autem illa, qua Sol prehendit seu harpagat planetas, corporalis quae ipsi pro manibus est, lineis rectis in omnem mundi ampitudinem emissa quasi views solis cum illius corpore rotatur: cum ergo sit corporalis imminuitur, & extenuatur in maiorlo sp. autem huius imminutionis eadem est, ac luminus, in ratione nempe dupla intervallorum, sed eversa.

Перевод : Что касается силы, с помощью которой Солнце захватывает или удерживает планеты и которая, будучи материальной, функционирует как руки, то она излучается прямыми линиями по всему миру, как и виды Солнца. , вращается вместе с телом Солнца; теперь, видя, что он телесный, он становится слабее и ослабевает на большем расстоянии или интервале, и отношение его уменьшения силы такое же, как и в случае со светом, а именно двойная пропорция, но обратно пропорциональная расстоянию [то есть 1 / д²].

В Англии англиканский епископ Сет Уорд (1617–1689) опубликовал идеи Буллиалдуса в своей критике в «Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae Fundmenta inquisitio brevis» (1653) и опубликовал планетарную астрономию Кеплера в своей книге Astronomia geometrya (1656).

В 1663–1664 годах английский ученый Роберт Гук писал свою книгу « Микрография».(1666), в котором он обсуждал, среди прочего, связь между высотой атмосферы и барометрическим давлением на поверхности. Поскольку атмосфера окружает Землю, которая сама по себе является сферой, объем атмосферы, имеющий отношение к любой единице площади земной поверхности, представляет собой усеченный конус (который простирается от центра Земли до космического вакуума; очевидно, только часть конуса от земной поверхности до космических медведей на земной поверхности). Хотя объем конуса пропорционален кубу его высоты, Гук утверждал, что давление воздуха у поверхности земли вместо этого пропорционально высоте атмосферы, потому что сила тяжести уменьшается с высотой. Хотя Гук прямо об этом не заявлял,соотношение, которое он предложил, будет верным только в том случае, если сила тяжести уменьшается как обратный квадрат расстояния от центра Земли.^{[17] [18]}

См. Также [ править ]

• Поток
• Антенна (радио)
• Закон Гаусса
• Законы движения планет Кеплера
• Проблема Кеплера
• Телекоммуникации , в частности:
  • Уильям Томсон, первый барон Кельвин
  • Протоколы маршрутизации с поддержкой энергопотребления
• Обратная пропорциональность
• Мультипликативный обратный
• Распад расстояния
• Парадокс Ферми

Ссылки [ править ]

 Эта статья включает  материалы, являющиеся общественным достоянием, из документа Управления общих служб : «Федеральный стандарт 1037C» .

Внешние ссылки [ править ]

• Демпфирование уровня звука с расстоянием
• Звуковое давление p и закон обратной зависимости 1 / r