Часть серии по |
Классическая механика |
---|
В классической механике , действие-угол координата представляет собой набор канонических координат , используемых в решении многих интегрируемых систем . Метод углов действия полезен для получения частот колебательного или вращательного движения без решения уравнений движения . Координаты действие-угол в основном используются, когда уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы. (Следовательно, гамильтониан не зависит явно от времени, т. Е. Энергия сохраняется .) Переменные действие-угол определяют инвариантный тор, так называемый, потому что постоянное действие определяет поверхность тора , в то время как угловые переменные параметризуют координаты на торе.
В квантования Бора-Зоммерфельда условия, используемые для разработки квантовой механики до появления волновой механики , утверждают , что действие должно быть целым кратным постоянной Планка ; аналогичным образом , Эйнштейн озарение «s в EBK квантование было высказано и трудность квантовании без интегрируемых систем в терминах инвариантных торов действия угловых координат.
Действие угловые координаты могут быть также использованы в теории возмущений в гамильтоновой механике , особенно при определении адиабатических инвариантов . Одним из первых результатов теории хаоса для нелинейных возмущений динамических систем с малым числом степеней свободы является теорема КАМ , которая утверждает, что инвариантные торы устойчивы по отношению к малым возмущениям.
Использование переменных действие-угол было центральным для решения цепочки Тоды и для определения пар Лакса или, в более общем смысле, идеи изоспектральной эволюции системы.
Вывод [ править ]
Углы действия являются результатом канонического преобразования типа 2, в котором производящая функция является характеристической функцией Гамильтона (а не главной функцией Гамильтона ). Поскольку исходный гамильтониан не зависит явно от времени, новый гамильтониан - это просто старый гамильтониан, выраженный через новые канонические координаты , которые мы обозначаем как ( углы действия , которые являются обобщенными координатами ) и их новые обобщенные импульсы . Здесь нам не нужно решать саму производящую функцию ; вместо этого мы будем использовать его просто как средство связи нового и старого канонические координаты .
Вместо прямого определения углов действия мы определяем их обобщенные импульсы, которые напоминают классическое действие для каждой исходной обобщенной координаты.
где путь интегрирования неявно задается функцией постоянной энергии . Поскольку фактическое движение не участвует в этом интегрировании, эти обобщенные импульсы являются константами движения, что означает, что преобразованный гамильтониан не зависит от сопряженных обобщенных координат
где задаются типичным уравнением для канонического преобразования типа 2
Следовательно, новый гамильтониан зависит только от новых обобщенных импульсов .
Динамика углов действия задается уравнениями Гамильтона
Правая часть - это константа движения (так как все "есть"). Следовательно, решение дается формулой
где - постоянная интегрирования. В частности, если исходная обобщенная координата подвергается колебаниям или повороту периода , соответствующий угол действия изменяется на .
Это частоты колебаний / вращения для исходных обобщенных координат . Чтобы показать это, мы интегрируем чистое изменение угла действия ровно по одному полному изменению (т. Е. Колебания или вращение) его обобщенных координат.
Приравнивая два выражения к равенству, получаем искомое уравнение
Углы действия представляют собой независимый набор обобщенных координат . Таким образом, в общем случае каждая исходная обобщенная координата может быть выражена в виде ряда Фурье по всем углам действия
где - коэффициент ряда Фурье. Однако в большинстве практических случаев исходная обобщенная координата может быть выражена в виде ряда Фурье только с ее собственными углами действия.
Резюме основного протокола [ править ]
Общая процедура состоит из трех этапов:
- Вычислить новые обобщенные импульсы
- Выразите исходный гамильтониан целиком через эти переменные.
- Возьмите производные гамильтониана по этим импульсам, чтобы получить частоты
Вырождение [ править ]
В некоторых случаях частоты двух разных обобщенных координат идентичны, т. Е. Для . В таких случаях движение называется вырожденным .
Вырожденное движение сигнализирует о наличии дополнительных общих сохраняющихся величин; например, частоты задачи Кеплера вырождены, что соответствует сохранению вектора Лапласа – Рунге – Ленца .
Вырожденное движение также сигнализирует о том, что уравнения Гамильтона – Якоби полностью разделимы более чем в одной системе координат; например, проблема Кеплера полностью разделима как в сферических координатах, так и в параболических координатах .
См. Также [ править ]
- Интегрируемая система
- Тавтологическая одноформа
- Суперинтегрируемая гамильтонова система
- Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера.
Ссылки [ править ]
- Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, (1976) Механика , 3-е. изд., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (твердая обложка) и ISBN 0-08-029141-4 ( мягкая обложка ).
- Х. Гольдштейн, (1980) Классическая механика , 2-е. изд., Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9
- Г. Сарданашвили , (2015) Справочник по интегрируемым гамильтоновым системам , УРСС. ISBN 978-5-396-00687-4
- Превиато, Эмма (2003), Словарь прикладной математики для инженеров и ученых , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book ..... P , ISBN 978-1-58488-053-0