Центральная сила

В классической механике , А центральная сила на объекте является силой , которая направлена в сторону или в сторону от точки называется центром силы . ^{[а] [1]}

${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\left\vert F(\mathbf {r} )\right\vert {\hat {\mathbf {r} }}}$

где - сила, F - векторная силовая функция , F - скалярная силовая функция, r - вектор положения , || г || - его длина, а = r / || г || - соответствующий единичный вектор .${\displaystyle \scriptstyle {\vec {\text{ F }}}}$${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

Не все центральные силовые поля консервативны или сферически симметричны . Однако центральная сила консервативна тогда и только тогда, когда она сферически симметрична или инвариантна относительно вращения. ^[2]

Свойства [ править ]

Центральные силы, которые консервативны всегда могут быть выражены в виде отрицательного градиента в виде потенциальной энергии : -

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} ){\text{, where }}V(\mathbf {r} )=\int _{|\mathbf {r} |}^{+\infty }F(r)\,\mathrm {d} r}$

(верхняя граница интегрирования произвольна, так как потенциал определен с точностью до аддитивной постоянной).

В консервативном поле полная механическая энергия ( кинетическая и потенциальная) сохраняется:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m|\mathbf {\dot {r}} |^{2}+V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$

(где R обозначает производную от г по времени, то есть скорость ), так и в центральном силовом поле, так что это угловой момент :

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {\dot {r}} ={\text{constant}}}$

потому что крутящий момент, создаваемый силой, равен нулю. Как следствие, тело движется по плоскости, перпендикулярной вектору углового момента и содержащей начало координат, и подчиняется второму закону Кеплера . (Если угловой момент равен нулю, тело движется по линии, соединяющей его с началом координат.)

Также можно показать, что объект, который движется под действием любой центральной силы, подчиняется второму закону Кеплера. Однако первый и третий законы зависят от природы обратных квадратов закона всемирного тяготения Ньютона и не выполняются в целом для других центральных сил.

Вследствие консервативности эти специфические центральные силовые поля являются безвихревыми, то есть их ротор равен нулю, за исключением начала координат :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {0} {\text{.}}}$

Примеры [ править ]

Гравитационная сила и кулоновская сила - два знакомых примера , пропорциональные только 1 / r ² . Объект в таком силовом поле с отрицательным (соответствующим силе притяжения) подчиняется законам движения планет Кеплера .${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$

Силовое поле пространственного гармонического осциллятора является центральным с пропорциональным только r и отрицательным.${\displaystyle F(\mathbf {r} )}$

По теореме Бертрана эти два, и , являются единственно возможными центральными силовыми полями, в которых все ограниченные орбиты являются устойчивыми замкнутыми орбитами. Однако существуют и другие силовые поля, у которых есть замкнутые орбиты.${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-k/r^{2}}$${\displaystyle F(\mathbf {r} )=-kr}$

Заметки [ править ]

^{a В} этой статье используется определение центральной силы, данное у Тейлора. ^[1]Другое общее определение (используемое вScienceWorld^[3]) добавляет ограничение, согласно которому сила должна быть сферически симметричной, т. Е.${\displaystyle {\vec {F}}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(||\mathbf {r} ||){\hat {\mathbf {r} }}}$

См. Также [ править ]

• Классическая проблема центральной силы
• Частица в сферически-симметричном потенциале

Ссылки [ править ]