Закон Кулона

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в том, что исходный код этой статьи все еще может содержать несогласованное форматирование, что требует дальнейшего изучения. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Март 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Величина электростатической силы F между двумя точечными зарядами q ₁ и q ₂ прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Одинаковые заряды отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды взаимно притягиваются.

Закон Кулона или закон обратных квадратов Кулона , является экспериментальным законом ^[1] по физике , которая количественно величины силы между двумя стационарными, электрический заряженными частицами. Электрическая сила между заряженными телами в состоянии покоя условно называется электростатической силой или кулоновской силой . ^[2] Закон был впервые открыт в 1785 году французским физиком Шарлем-Огюстеном де Кулоном , отсюда и название. Закон Кулона был необходим для развития теории электромагнетизма , возможно, даже для ее отправной точки ^[1].поскольку это позволило осмысленно обсудить количество электрического заряда. ^[3]

Закон гласит, что величина электростатической силы притяжения или отталкивания между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними ^[4].

${\ displaystyle | F | = k _ {\ text {e}} {\ frac {| q_ {1} q_ {2} |} {r ^ {2}}}}$

Здесь k _e - постоянная Кулона ( k _e ≈8,988 × 10 ⁹  Н⋅м ² C ⁻² ), ^[1] q ₁ и q ₂ - величины зарядов со знаком, а скаляр r - расстояние между зарядами.

Сила действует по прямой линии, соединяющей два заряда. Если заряды имеют одинаковый знак, электростатическая сила между ними отталкивающая; если у них разные знаки, сила между ними притягательна.

Будучи закон обратных квадратов , закон аналогичен Isaac Newton обратных квадратов «s закон всемирного тяготения , но гравитационные силы всегда являются привлекательными, в то время как электростатические силы могут быть привлекательными или отталкивающими. ^[2] Закон Кулона можно использовать для вывода закона Гаусса и наоборот. В случае одного стационарного точечного заряда эти два закона эквивалентны, выражая один и тот же физический закон по-разному. ^[5] Закон был тщательно проверен , и наблюдения подтвердили его в масштабе от 10 ^-16 м до 10 ⁸ м. ^[5]

История [ править ]

Древние культуры Средиземноморья знали, что определенные предметы, такие как янтарные стержни , можно натирать кошачьей шерстью, чтобы привлечь легкие предметы, такие как перья и бумага. Фалес Милетский сделал первое записанное описание статического электричества около 600 г. до н.э. ^[6], когда заметил, что трение может сделать кусок янтаря магнитным. ^{[7] [8]}

В 1600 году английский ученый Уильям Гилберт провел тщательное исследование электричества и магнетизма, отличив магнитный эффект от статического электричества, возникающего при трении янтаря. ^[7] Он придумал новое латинское слово « electricus» («янтарь» или «подобный янтарь», от ἤλεκτρον [ электрон ], греческое слово «янтарь») для обозначения свойства притягивать мелкие предметы после того, как их потерли. ^[9] Это объединение породило английские слова «электрический» и «электричество», что сделало их первое появление в печати в Thomas Browne 's Pseudodoxia Epidemica 1646 г.^[10]

Ранние исследователи 18 - го века , который подозревал , что электрическая сила уменьшается с расстоянием , как сила от тяжести сделала (т.е. обратно пропорционально квадратом расстояния) , включенной Даниил Бернулли ^[11] и Алессандро Вольта , оба из которых измеряли силы между пластинами из конденсатора и Эпинуса , который должен в закон обратных квадратов в 1758 году ^[12]

Основываясь на экспериментах с электрически заряженными сферами, Джозеф Пристли из Англии был одним из первых, кто предположил, что электрическая сила подчиняется закону обратных квадратов , подобному закону всемирного тяготения Ньютона . Однако он не стал обобщать и подробно останавливаться на этом. ^[13] В 1767 году он предположил, что сила между зарядами изменяется пропорционально квадрату расстояния. ^{[14] [15]}

В 1769 году шотландский физик Джон Робисон объявил, что, согласно его измерениям, сила отталкивания между двумя сферами с зарядами одного знака изменяется как x ^−2,06 . ^[16]

В начале 1770-х годов зависимость силы между заряженными телами как от расстояния, так и от заряда уже была обнаружена, но не опубликована Генри Кавендишем из Англии. ^[17]

Наконец, в 1785 году французский физик Шарль-Огюстен де Кулон опубликовал свои первые три отчета об электричестве и магнетизме, в которых изложил свой закон. Эта публикация сыграла важную роль в развитии теории электромагнетизма . ^[4] Он использовал торсионные весы для изучения сил отталкивания и притяжения заряженных частиц и определил, что величина электрической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния. между ними.

Торсионные весы состоят из стержня, подвешенного к середине на тонкой нити. Волокно действует как очень слабая пружина кручения . В эксперименте Кулона крутильные весы представляли собой изолирующий стержень с шариком с металлическим покрытием, прикрепленным к одному концу, подвешенным на шелковой нити. Шар был заряжен известным зарядом статического электричества , и второй заряженный шар той же полярности был поднесен к нему. Два заряженных шара отталкивались друг от друга, закручивая волокно на определенный угол, который можно было определить по шкале на приборе.. Зная, сколько силы требуется, чтобы скрутить волокно на заданный угол, Кулон смог вычислить силу между шариками и получить свой закон пропорциональности обратных квадратов.

Скалярная форма закона [ править ]

Закон Кулона можно сформулировать как простое математическое выражение. Скалярная форма дает величину вектора электростатической силы F между двумя точечными зарядами д ₁ и д ₂ , но не его направление. Если r - расстояние между зарядами, величина силы равна

| F | знак равно k е | q 1 q 2 | р 2 {\displaystyle |\mathbf {F} |=k_{\text{e}}{\frac {|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}}}

Постоянная k _e называется постоянной Кулона и равна1/4πε ₀, где ε ₀ - электрическая постоянная ; k _e =8,988 × 10 ⁹  Н⋅м ² ⋅C ⁻² . Если произведение q ₁ q ₂ положительно, сила между двумя зарядами является отталкивающей; если продукт отрицательный, сила между ними притягательна. ^[18]

Векторная форма закона [ править ]

Закон Кулона в векторной форме гласит, что электростатическая сила, испытываемая зарядом в положении , рядом с другим зарядом, в положении , в вакууме, равна ^[19]${\textstyle \mathbf {F} _{1}}$${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|^{2}}}}$

где это векторное расстояние между зарядами, единичным вектором , указывающей от до , и в электрической постоянной .${\textstyle {\boldsymbol {r}}_{12}={\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}={\frac {\mathbf {r} _{12}}{|\mathbf {r} _{12}|}}}$${\textstyle q_{2}}$${\textstyle q_{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Вектор форма закона Кулона просто скалярная определение закона с направлением , задаваемым единичным вектором , , параллельно линии от заряда до заряда . ^[20] Если оба заряда имеют одинаковый знак (как и заряды), то произведение положительное и направление силы определяется выражением ; обвинения отталкивают друг друга. Если заряды имеют противоположные знаки, то произведение отрицательное и направление силы равно ; обвинения притягиваются друг к другу.${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle {\widehat {\mathbf {r} }}_{12}}$${\displaystyle q_{1}q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$${\textstyle -{\hat {\mathbf {r} }}_{12}}$

Электростатическая сила испытывает , согласно третьему закону Ньютона , является .${\textstyle \mathbf {F} _{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\textstyle \mathbf {F} _{2}=-\mathbf {F} _{1}}$

Система дискретных начислений [ править ]

Закон суперпозиции позволяет закон Кулона быть расширена , чтобы включить любое количество точечных зарядов. Сила, действующая на точечный заряд из-за системы точечных зарядов, представляет собой просто векторное сложение отдельных сил, действующих в одиночку на этот точечный заряд из-за каждого из зарядов. Результирующий вектор силы параллелен вектору электрического поля в этой точке с удаленным точечным зарядом.

Сила, действующая на небольшой заряд в положении из-за системы дискретных зарядов в вакууме, равна ^[19]${\textstyle \mathbf {F} }$${\displaystyle q}$${\textstyle \mathbf {r} }$${\textstyle N}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{{\hat {\mathbf {R} }}_{i} \over |\mathbf {R} _{i}|^{2}}}$,

где и - величина и положение i- го заряда соответственно, - единичный вектор в направлении , вектор, указывающий от зарядов к . ^[20]${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$${\textstyle {\hat {\mathbf {R} }}_{i}}$${\textstyle \mathbf {R} _{i}=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q}$

Непрерывное распределение заряда [ править ]

В этом случае также используется принцип линейной суперпозиции . Для непрерывного распределения заряда интеграл по области, содержащей заряд, эквивалентен бесконечному суммированию, при котором каждый бесконечно малый элемент пространства рассматривается как точечный заряд . Распределение заряда обычно линейное, поверхностное или объемное.${\displaystyle \mathrm {d} q}$

Для линейного распределения заряда (хорошее приближение для заряда в проводе), где дает заряд на единицу длины в позиции , а является бесконечно малым элементом длины,${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} \ell '}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\lambda (\mathbf {r'} )\,\mathrm {d} \ell '.}$^[21]

Для поверхностного распределения заряда (хорошее приближение для заряда на пластине в конденсаторе с параллельными пластинами ), где дает заряд на единицу площади в положении и является бесконечно малым элементом площади,${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} A'}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\sigma (\mathbf {r'} )\,\mathrm {d} A'.}$

Для распределения объемного заряда (например, заряда в массивном металле), где дает заряд на единицу объема в позиции и является бесконечно малым элементом объема,${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \mathrm {d} V'}$

${\displaystyle \mathrm {d} q'=\rho ({\boldsymbol {r'}})\,dV'.}$^[20]

Силы на небольшой пробный заряд в положении в вакууме дается интегралом по распределению заряда:${\displaystyle q}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )={q \over 4\pi \varepsilon _{0}}\int \mathrm {d} q'{\mathbf {r} -\mathbf {r'} \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}.}$

Постоянная Кулона [ править ]

Постоянная Кулона - это коэффициент пропорциональности, который появляется в законе Кулона, а также в других формулах, связанных с электричеством. Обозначается , это также называется постоянной электрической силы или электростатической постоянной ^[22], отсюда и нижний индекс . Когда электромагнитная теория выражается в Международной системе единиц , сила измеряется в ньютонах , заряд - в кулонах, а расстояние - в метрах . Постоянная Кулона равна . Постоянная - это электрическая диэлектрическая проницаемость вакуума (также известная как «электрическая постоянная») ^[23] в . Не следует путать с${\displaystyle k_{e}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle k_{e}={\tfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle \mathrm {C^{2}\cdot m^{-2}\cdot N^{-1}} }$${\displaystyle \varepsilon _{r}}$, которая представляет собой безразмерную относительную диэлектрическую проницаемость материала, в который погружены заряды, или вместе с их продуктом , которая называется « абсолютной диэлектрической проницаемостью материала» и до сих пор используется в электротехнике .${\displaystyle \varepsilon _{a}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}$

До 2019 года переопределения из базовых единиц СИ , постоянная Кулона считались иметь точное значение:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\text{e}}&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}={\frac {c_{0}^{2}\mu _{0}}{4\pi }}=c_{0}^{2}\times 10^{-7}\ \mathrm {H\,m^{-1}} \\&=8.987\,551\,787\,368\,176\,4\times 10^{9}\ \mathrm {N\,m^{2}\,C^{-2}} .\end{aligned}}}$

После переопределения 2019 г. ^{[24] [25]} кулоновская постоянная больше не определяется точно и зависит от ошибки измерения постоянной тонкой структуры. Согласно расчетам на основе рекомендованных значений CODATA 2018, кулоновская постоянная равна ^[26]

${\displaystyle k_{\text{e}}=8.987\,551\,792\,3\,(14)\times 10^{9}\ \mathrm {N\,m^{2}\,C^{-2}} .}$

В гауссовых единицах и единицах Лоренца-Хевисайд , которые обе системы C единицы , константа имеет различные, безразмерные значения.

В электростатических единицах или гауссовых единицах заряд единицы ( esu или статкулон ) определяется таким образом, что кулоновская постоянная исчезает, поскольку она имеет значение единицы и становится безразмерной.

${\displaystyle k_{\text{e}}=1}$ (Гауссовские единицы).

В единицах Лоренца – Хевисайда, также называемых рационализированными единицами , кулоновская постоянная безразмерна и равна

${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi }}}$ (Единицы Лоренца – Хевисайда)

Гауссовы единицы больше подходят для микроскопических задач, таких как электродинамика отдельных электрически заряженных частиц. ^[27] Единицы СИ более удобны для практических крупномасштабных явлений, таких как инженерные приложения. ^[27]

Ограничения [ править ]

Есть три условия, которые должны быть выполнены для справедливости закона обратных квадратов Кулона: ^[28]

1. Заряды должны иметь сферически-симметричное распределение (например, точечные заряды или заряженный металлический шар).
2. Сборы не должны перекрываться (например, они должны быть отдельными точечными сборами).
3. Заряды должны быть стационарными по отношению друг к другу.

Последний из них известен как электростатическое приближение . Когда происходит движение, Эйнштейн «S теория относительности должна быть принята во внимание, и результат, дополнительный фактор вводятся, который изменяет силы , создаваемые на два объектах. Эта дополнительная часть силы называется магнитной силой и описывается магнитными полями . Для медленного движения магнитная сила минимальна, и закон Кулона все еще можно считать приблизительно правильным, но когда заряды движутся быстрее относительно друг друга, необходимо учитывать все правила электродинамики (включая магнитную силу).

Электрическое поле [ править ]

Электрическое поле - это векторное поле, которое связывает с каждой точкой в ​​пространстве кулоновскую силу, испытываемую единичным испытательным зарядом . ^[19] Сила и направление кулоновской силы на заряд зависит от электрического поля, создаваемого другими зарядами, в которых он находится, например . В простейшем случае считается, что поле создается исключительно точечным зарядом от одного источника . В более общем смысле, поле может быть создано распределением зарядов, которые вносят вклад в общее по принципу суперпозиции .${\textstyle \mathbf {F} }$${\textstyle q_{t}}$${\textstyle \mathbf {E} }$${\textstyle \mathbf {F} =q_{t}\mathbf {E} }$

Если поле создается положительным точечным зарядом источника , направление электрического поля указывает вдоль линий, направленных радиально наружу от него, то есть в том направлении, в котором будет двигаться положительный точечный испытательный заряд , если его поместить в поле. Для отрицательного заряда точечного источника направление радиально внутрь.${\textstyle q}$${\textstyle q_{t}}$

Величину электрического поля E можно определить из закона Кулона . Выбирая один из точечных зарядов в качестве источника, а другой - в качестве пробного заряда, из закона Кулона следует, что величина электрического поля E, создаваемого одиночным точечным зарядом Q источника на определенном расстоянии от него r в вакуум дается

${\displaystyle |\mathbf {E} |={k_{e}}{|q| \over r^{2}}}$

Система зарядов N, расположенных в точке, создает электрическое поле, величина и направление которого за счет суперпозиции${\displaystyle q_{i}}$${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}}$

Атомные силы [ править ]

Закон Кулона действует даже внутри атомов , правильно описывая силу между положительно заряженным атомным ядром и каждым из отрицательно заряженных электронов . Этот простой закон также правильно учитывает силы, которые связывают атомы вместе, чтобы образовать молекулы, и силы, которые связывают атомы и молекулы вместе, чтобы образовать твердые тела и жидкости. Как правило, по мере увеличения расстояния между ионами сила притяжения и энергия связи приближаются к нулю, и ионная связь становится менее благоприятной. По мере увеличения величины противоположных зарядов увеличивается энергия, и ионная связь становится более благоприятной.

Связь с законом Гаусса [ править ]

Вывод закона Гаусса из закона Кулона [ править ]

Строго говоря, закон Гаусса не может быть выведен только из закона Кулона, поскольку закон Кулона дает электрическое поле, обусловленное только отдельным точечным зарядом . Однако закон Гаусса может быть доказан из закона Кулона, если дополнительно предположить, что электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции . Принцип суперпозиции гласит, что результирующее поле является векторной суммой полей, генерируемых каждой частицей (или интегралом, если заряды равномерно распределены в пространстве).

Схема доказательства

Закон Кулона гласит, что электрическое поле, обусловленное стационарным точечным зарядом, равно: ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e} _{r}}{r^{2}}}}$ где e r - радиальный единичный вектор , r - радиус, | г | , ε 0 - электрическая постоянная , q - заряд частицы, предположительно находящейся в начале координат . Используя выражение из закона Кулона, мы получаем полное поле в r , используя интеграл для суммирования поля в r из-за бесконечно малого заряда в каждой другой точке s в пространстве, чтобы дать ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,\mathbf {d} ^{3}\mathbf {s} }$ где ρ - плотность заряда. Если мы возьмем расходимость обеих частей этого уравнения по r и воспользуемся известной теоремой [29] ${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )}$ где δ ( r ) - дельта-функция Дирака , результатом будет ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,\mathbf {d} ^{3}\mathbf {s} }$ Используя " свойство просеивания " дельта-функции Дирака, мы приходим к ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},}$ что является дифференциальной формой закона Гаусса, как и хотелось бы.

Обратите внимание, что, поскольку закон Кулона применим только к стационарным зарядам, нет оснований ожидать, что закон Гаусса будет выполняться для движущихся зарядов, основываясь только на этом выводе. Фактически, закон Гаусса действительно выполняется для движущихся зарядов, и в этом отношении закон Гаусса является более общим, чем закон Кулона.

Вывод закона Кулона из закона Гаусса [ править ]

Строго говоря, закон Кулона не может быть получен только из закона Гаусса, так как закон Гаусса не дает никакой информации относительно ротора в Е (см разложения Гельмгольца и закон Фарадея ). Однако закон Кулона может быть доказан из закона Гаусса, если дополнительно предположить, что электрическое поле точечного заряда сферически симметрично (это предположение, как и сам закон Кулона, в точности верно, если заряд неподвижен, и приблизительно верно если заряд находится в движении).

Схема доказательства

Принимая S в интегральной форме закона Гаусса как сферическую поверхность радиуса r с центром в точечном заряде Q , имеем ${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$ По предположению сферической симметрии подынтегральное выражение является константой, которую можно вынести из интеграла. Результат ${\displaystyle 4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}}$ где r̂ - единичный вектор, направленный радиально от заряда. Опять же, по сферической симметрии, E указывает в радиальном направлении, и поэтому мы получаем ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}}$ что по существу эквивалентно закону Кулона. Таким образом, зависимость электрического поля от закона обратных квадратов в законе Кулона следует из закона Гаусса.

Кулоновский потенциал [ править ]

Квантовая теория поля [ править ]

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Потенциал Кулона допускает континуум состояний (с Е> 0), описывающий электрон-протонного рассеяния , а также дискретных связанных состояний, представляющих собой атом водорода. ^[30] Его также можно вывести в рамках нерелятивистского предела между двумя заряженными частицами следующим образом:

В борновском приближении в нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния равна:${\textstyle {\mathcal {A}}(|{\overrightarrow {p}}\rangle \to |{\overrightarrow {p}}'\rangle )}$

$${\displaystyle {\mathcal {A}}(|{\overrightarrow {p}}\rangle \to |{\overrightarrow {p}}'\rangle )-1=2\pi \delta (E_{p}-E_{p'})(-\mathrm {i} )\int \mathrm {d} ^{3}rV({\vec {r}})\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} ({\vec {p}}-{\vec {p}}'){\vec {r}}}}$$

$${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kr_{0}}\langle p',k|S|p,k\rangle }$$

Используя правила Фейнмана для вычисления элемента S-матрицы, мы получаем в нерелятивистском пределе с ${\displaystyle m_{0}\gg |{\vec {p}}|}$

$${\displaystyle \langle p',k|S|p,k\rangle |_{conn}=-\mathrm {i} {\frac {e^{2}}{|{\vec {p}}-{\vec {p}}'|^{2}-\mathrm {i} \epsilon }}(2m)^{2}\delta (E_{p,k}-E_{p',k})(2\pi )^{4}\delta ({\vec {p}}-{\vec {p}}')}$$

Сравнивая с рассеянием КМ, мы должны отбросить те, которые возникают из-за разницы в нормализации собственного состояния импульса в КТП по сравнению с КМ, и получить:${\displaystyle (2m)^{2}}$

${\displaystyle \int V({\vec {r}})\mathbf {e} ^{-\mathbf {i} ({\vec {p}}-{\vec {p}}'){\vec {r}}}\mathbf {d} ^{3}r={\frac {e^{2}}{|{\vec {p}}-{\vec {p}}'|^{2}-\mathbf {i} \epsilon }}}$где преобразование Фурье обеих частей, решение интеграла и взятие в конце даст${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle V(r)={\frac {e^{2}}{4\pi r}}}$как кулоновский потенциал. ^[31]

Однако эквивалентные результаты классических выводов Борна для кулоновской проблемы считаются строго случайными. ^{[32] [33]}

Кулоновский потенциал и его вывод можно рассматривать как частный случай потенциала Юкавы , который является случаем, когда обмененный бозон - фотон - не имеет массы покоя. ^[30]

Простой эксперимент для проверки закона Кулона [ править ]

Этот раздел может содержать чрезмерное количество сложных деталей, которые могут заинтересовать только определенную аудиторию . Пожалуйста, помогите, выделив или переместив любую соответствующую информацию и удалив лишние детали, которые могут противоречить политике включения Википедии . ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Проверить закон Кулона можно простым экспериментом. Рассмотрим две маленькие сферы массы и заряда одного знака , свисающие с двух веревок пренебрежимо малой длины . На каждую сферу действуют три силы: вес , натяжение веревки и электрическая сила . В состоянии равновесия: ${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle l}$${\displaystyle mg}$${\displaystyle \mathbf {T} }$${\displaystyle \mathbf {F} }$

а также

Разделив ( 1 ) на ( 2 ):

Позвольте быть расстояние между заряженными сферами; сила отталкивания между ними , при условии правильности закона Кулона, равна${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$

так:

Если теперь разрядить одну из сфер и поместить ее в контакт с заряженной сферой, каждая из них получит заряд . В состоянии равновесия расстояние между зарядами будет и сила отталкивания между ними будет:${\textstyle {\frac {q}{2}}}$${\textstyle \mathbf {L} _{2}<\mathbf {L} _{1}}$

Мы знаем это и:${\displaystyle \mathbf {F} _{2}=mg\tan \theta _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \varepsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg\tan \theta _{2}}$

Разделив ( 4 ) на ( 5 ), получим:

Измерения углов и расстояния между зарядами и достаточно, чтобы убедиться в истинности равенства с учетом экспериментальной ошибки. На практике бывает трудно измерить углы, поэтому, если длина веревок достаточно велика, углы будут достаточно малы, чтобы сделать следующее приближение:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {L} _{2}}$

Используя это приближение, соотношение ( 6 ) становится гораздо более простым выражением:

Таким образом, проверка ограничивается измерением расстояния между зарядами и проверкой приближения деления к теоретическому значению.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Связанное чтение [ править ]

• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. "Премьер память о электричестве и магнетизме" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. С. 569–577.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. "Второй воспоминание о электричестве и магнетизме" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. С. 578–611.
• Кулон, Шарль Огюстен (1788) [1785]. "Troisième mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. С. 612–638.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Тамм, Игорь Э. (1979) [1976]. Основы теории электричества (9-е изд.). Москва: Мир. стр.  23 -27.
• Типлер, Пол А .; Моска, Джин (2008). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-8964-2. LCCN  2007010418 .
• Янг, Хью Д .; Фридман, Роджер А. (2010). Физика Университета Сирса и Земанского: с современной физикой (13-е изд.). Аддисон-Уэсли (Пирсон). ISBN 978-0-321-69686-1.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с законом Кулона .

• Закон Кулона о проекте PHYSNET
• Электричество и атом - глава из онлайн-учебника
• Игра-лабиринт для обучения закону Кулона - игра, созданная программным обеспечением Molecular Workbench.
• Электрические заряды, поляризация, электрическая сила, закон Кулона Уолтер Левин, 8.02 Электричество и магнетизм, весна 2002: Лекция 1 (видео). MIT OpenCourseWare. Лицензия: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.