В математике , A гиперболой ( слушать ) (прилагательное форма гиперболические , слушать ) (множественное число гиперболы , или гиперболы ( слушать )) является типом гладкой кривой , лежащей в плоскости , определяемой его геометрическими свойствами или с помощью уравнений , для которых это решение набор. Гипербола состоит из двух частей, называемых связными компонентами или ветвями, которые являются зеркальным отображением друг друга и напоминают два бесконечных лука . Гипербола - это один из трех видов конического сечения , образованный пересечением плоскости и двойного сечения. конус . (Другие конические сечения - это парабола и эллипс . Окружность - это частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершины конусов, то коника является гиперболой. .
Гиперболы возникают по-разному:
- как кривая, представляющая функцию в декартовой плоскости , [1]
- как путь, по которому следует тень кончика солнечных часов ,
- как форма открытой орбиты (в отличие от замкнутой эллиптической орбиты), такой как орбита космического корабля во время движения планеты с помощью гравитации или, в более общем смысле, любого космического корабля, превышающего скорость убегания ближайшей планеты,
- как путь кометы -призрака (которая движется слишком быстро, чтобы вернуться в Солнечную систему),
- как траектории рассеяния в виде субатомных частиц (действовал отталкивания вместо сил притяжения , но принцип тот же),
- в радионавигации , когда можно определить разницу между расстояниями до двух точек, но не сами расстояния,
и так далее.
Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (более низкая кривизна) дальше от центра гиперболы. Противоположные по диагонали ответвления, по одному от каждой ветви, стремятся в пределе к общей линии, называемой асимптотой этих двух плеч. Итак, есть две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы, которую можно рассматривать как точку зеркала, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптоты - это две оси координат . [2]
Гиперболы обладают многими аналитическими свойствами эллипсов, такими как эксцентриситет , фокус и направляющая . Обычно переписка может быть произведена только путем смены знака в каком-то термине. Многие другие математические объекты берут свое начало в гиперболе, например, гиперболические параболоиды (седловые поверхности), гиперболоиды («корзины для мусора»), гиперболическая геометрия ( знаменитая неевклидова геометрия Лобачевского ), гиперболические функции (sinh, cosh, tanh и т. Д. .), так и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в теории относительностии квантовая механика, которая не является евклидовой ).
Этимология и история [ править ]
Слово «гипербола» происходит от греческого ὑπερβολή , что означает «переброшенный» или «чрезмерный», от которого также происходит английский термин « гипербола» . Гиперболы были открыты Менахмом в его исследованиях проблемы удвоения куба , но затем были названы участками тупых конусов. [3] Термин гипербола, как полагают, был введен Аполлонием Пергским (ок. 262 – ок. 190 до н. Э.) В его окончательной работе о конических сечениях « Коники» . [4] Названия двух других общих конических сечений, эллипса и параболы., происходит от соответствующих греческих слов «несовершенный» и «применяемый»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком линии. Прямоугольник может быть «применен» к сегменту (то есть иметь равную длину), быть короче сегмента или превышать сегмент. [5]
Определения [ править ]
Как место точек [ править ]
Гипербола может быть определена геометрически как набор точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:
- Гипербола представляет собой набор точек, таким образом, что для любой точки множества, абсолютная разность расстояний до двух фиксированных точек (The фокусы ), постоянно, обычно обозначается [6]
Середина отрезка прямой, соединяющего фокусы, называется центром гиперболы. [7] Линия, проходящая через фокусы, называется большой осью . Он содержит вершины , удаленные от центра. Расстояние фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентриситетом . Частное - это эксцентриситет .
Уравнение можно рассматривать по-другому (см. Диаграмму):
если это круг со средней точкой и радиусом , то расстояние от точки правой ветви до круга равно расстоянию до фокуса :
называется круговой направляющей (связанной с фокусом ) гиперболы. [8] [9] Чтобы получить левую ветвь гиперболы, нужно использовать круговую директрису, связанную с . Это свойство не следует путать с определением гиперболы с помощью директрисы (линии) ниже.
Гипербола с уравнением y = A / x [ править ]
Если система координат xy повернута вокруг начала координат на угол и присвоены новые координаты , то .
Прямоугольная гипербола (полуоси которой равны) имеет новое уравнение . Решение для урожайности
Таким образом, в системе координат xy график функции с уравнением
- представляет собой прямоугольную гиперболу целиком в первом и третьем квадрантах с
- оси координат как асимптоты ,
- линия как большая ось ,
- центр и полуось
- то вершины
- пол-Латус прямой кишка и радиус кривизны в вершинах
- линейный эксцентриситет и эксцентриситет
- касательной в точке
Вращение исходной гиперболы на приводит к прямоугольной гиперболе полностью во втором и четвертом квадрантах с такими же асимптотами, центром, полу-широтой прямой кишки, радиусом кривизны в вершинах, линейным эксцентриситетом и эксцентриситетом, как и в случае вращения. , с уравнением
- на полуоси
- линия как большая ось,
- то вершины
Сдвиг гиперболы с уравнением так, чтобы новый центр находился в положении , дает новое уравнение
а новые асимптоты - и .
Параметры формы остаются неизменными.
По свойству директрисы [ править ]
Две прямые, расположенные на расстоянии и параллельные малой оси, называются направляющими гиперболы (см. Диаграмму).
Для произвольной точки гиперболы отношение расстояния до одного фокуса и соответствующей директрисы (см. Диаграмму) равно эксцентриситету:
Доказательство для пары следует из того, что и удовлетворяют уравнению
Второй случай доказывается аналогично.
Обратное утверждение также верно и может быть использовано для определения гиперболы (аналогично определению параболы):
Для любой точки (фокуса), любой прямой (директрисы), не проходящей через, и любого действительного числа с множеством точек (геометрическое место точек), для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно
- это гипербола.
(Выбор дает параболу, а если и эллипс .)
- Доказательство
Позвольте и предположить является точкой на кривой. Направляющая имеет уравнение . При соотношение дает уравнения
- и
Замена дает
Это уравнение эллипса ( ), параболы ( ) или гиперболы ( ). Все эти невырожденные коники имеют общее начало координат как вершину (см. Диаграмму).
Если ввести новые параметры так, что , а затем приведенное выше уравнение станет
которая представляет собой уравнение гиперболы с центром , осью x в качестве большой оси и большой / малой полуосью .
Как плоское сечение конуса [ править ]
Пересечение прямого двойного конуса плоскостью, не проходящей через вершину, с наклоном больше, чем наклон прямых на конусе, является гиперболой (см. Диаграмму: красная кривая). Чтобы доказать определяющее свойство гиперболы (см. Выше), используются две сферы Данделина , которые являются сферами, которые касаются конуса по окружностям , и пересекающейся плоскости (гиперболы) в точках и . Оказывается: являются фокусами гиперболы.
- Позвольте быть произвольной точкой кривой пересечения.
- Образующая конуса , содержащего пересекает круг в точке и окружности в точке .
- Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.
- Отрезки и касаются сферы и, следовательно, имеют одинаковую длину.
- Результат: не зависит от точки гиперболы , потому что независимо от того , где точки есть, должно быть на кругах , и отрезок должен пересечь вершину. Следовательно, когда точка перемещается по красной кривой (гиперболе), сегмент линии просто вращается вокруг вершины, не меняя своей длины.
Конструкция штифта и шнура [ править ]
Определение гиперболы по ее фокусам и круговым направляющим (см. Выше) может быть использовано для рисования ее дуги с помощью булавок, веревки и линейки: [10]
(0) Выберите фокусы , вершины и одну из круговых направляющих , например (круг с радиусом )
(1) Линейка закреплена в точке, свободной для вращения . Точка отмечена на расстоянии .
(2) Подготавливается веревка с длиной .
(3) Один конец веревки прикрепляется к точке на линейке, другой конец - к точке .
(4) Возьмите ручку и крепко прижмите шнур к краю линейки.
(5) Вращение линейки вокруг
побуждает перо нарисовать дугу правой ветви гиперболы из-за (см. определение гиперболы с помощью круговых директрис ).
Штейнеровское поколение гиперболы [ править ]
Следующий метод построения одиночных точек гиперболы основан на генерации Штейнера невырожденного конического сечения :
- Принимая во внимание два карандашей линий в двух точках (все строки , содержащие и , соответственно) и проективное , но не перспективное отображение из на , то точки пересечения соответствующих линий образуют невырожденную проективное коническое сечение.
Для создания точек гиперболы используются карандаши в вершинах . Позвольте быть точкой гиперболы и . Линейный сегмент делится на n равноотстоящих сегментов, и это деление проецируется параллельно диагонали в качестве направления на линейный сегмент (см. Диаграмму). Параллельная проекция является частью проективного отображения между пучками в и необходимо. Точки пересечения любых двух связанных прямых и являются точками однозначно определенной гиперболы.
Замечание: Подразделение может быть расширено за пределы точек и для получения большего количества точек, но определение точек пересечения станет более неточным. Лучше всего расширить уже построенные точки с помощью симметрии (см. Анимацию).
Замечание:
- Поколение Штейнера существует также для эллипсов и парабол.
- Генерацию Штейнера иногда называют методом параллелограмма, потому что можно использовать другие точки, а не вершины, которые начинаются с параллелограмма вместо прямоугольника.
Вписанные углы для гипербол y = a / ( x - b ) + c и трехточечной формы [ править ]
Гипербола с уравнением однозначно определяется тремя точками с разными координатами x и y . Простой способ определить параметры формы использует теорему о вписанном угле для гипербол:
- Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений в этом контексте, используется частное
Аналогично теореме о вписанном угле для окружностей получаем
Теорема о вписанном угле для гипербол: ,: [11] [12]
- Для четырех точек (см. Диаграмму) верно следующее утверждение:
- Четыре точки находятся на гиперболе с уравнением тогда и только тогда, когда углы равны и равны в смысле измерения выше. Это означает, что если
(Доказательство: прямое вычисление. Если точки находятся на гиперболе, можно предположить, что уравнение гиперболы есть .)
Следствием теоремы о вписанном угле для гипербол является
Трехточечная форма уравнения гиперболы:
- Уравнение гиперболы, определяемой 3 точками, является решением уравнения
- для .
Как аффинный образ единичной гиперболы x ² - y ² = 1 [ править ]
Другое определение гиперболы использует аффинные преобразования :
- Любая гипербола - это аффинный образ единичной гиперболы с уравнением .
- параметрическое представление
Аффинное преобразование евклидовой плоскости имеет вид , где - регулярная матрица (ее определитель не равен 0) и - произвольный вектор. Если - векторы-столбцы матрицы , единичная гипербола отображается на гиперболу
- центр, точка гиперболы и касательный вектор в этой точке.
- вершины
Обычно векторы не перпендикулярны. Это означает, что в общем случае это не вершины гиперболы. Но укажите направление асимптот. Касательный вектор в точке равен
Поскольку в вершине касательная перпендикулярна большой оси гиперболы, параметр вершины получается из уравнения
и, следовательно, из
что дает
( Были использованы формулы .)
Две вершины гиперболы - это
- неявное представление
Решая параметрическое представление по правилу Крамера и используя , получаем неявное представление
- .
- гипербола в космосе
Определение гиперболы в этом разделе дает параметрическое представление произвольной гиперболы, даже в пространстве, если можно быть векторами в пространстве.
Как аффинный образ гиперболы y = 1 / x [ править ]
Поскольку единичная гипербола аффинно эквивалентна гиперболе , произвольную гиперболу можно рассматривать как аффинный образ (см. Предыдущий раздел) гиперболы.
- центр гиперболы, векторы имеют направления асимптот и являются точкой гиперболы. Касательный вектор
В вершине касательная перпендикулярна большой оси. Следовательно
а параметр вершины равен
эквивалентно и являются вершинами гиперболы.
Следующие свойства гиперболы легко доказываются с использованием представления гиперболы, введенного в этом разделе.
Построение касательной [ править ]
Касательный вектор можно переписать путем факторизации:
Это означает, что
- диагональ параллелограмма параллельна касательной в точке гиперболы (см. диаграмму).
Это свойство позволяет построить касательную в точке гиперболы.
Это свойство гиперболы является аффинной версией 3-точечного вырождения теоремы Паскаля . [13]
- Площадь серого параллелограмма
Площадь серого параллелограмма на приведенной выше диаграмме равна
и, следовательно, не зависит от точки . Последнее уравнение следует из расчета для случая, когда - вершина, а гипербола в ее каноническом виде
Построение точки [ править ]
Для гиперболы с параметрическим представлением (для простоты центр - начало координат) верно следующее:
- Для любых двух точек точки
- коллинеарны центру гиперболы (см. диаграмму).
Простое доказательство является следствием уравнения .
Это свойство дает возможность строить точки гиперболы, если заданы асимптоты и одна точка.
Это свойство гиперболы является аффинной версией 4-точечного вырождения теоремы Паскаля . [14]
Касательный-асимптот-треугольник [ править ]
Для простоты центр гиперболы может быть началом координат, а векторы имеют одинаковую длину. Если последнее предположение не выполняется, можно сначала применить преобразование параметров (см. Выше), чтобы сделать предположение истинным. Отсюда вершины, охватывающие малую ось, и получается и .
Для точек пересечения касательной в точке с асимптотами получаются точки
Площадь треугольника может быть вычислена с помощью 2х2-детерминанта:
(см. правила для определителей ). площадь ромба, образованного . Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Диагонали - это полуоси гиперболы. Следовательно:
- Площадь треугольника не зависит от точки гиперболы:
Возврат круга [ править ]
Возвратно - поступательное движение из круга B в круге C всегда дает коническое сечение , таких как гиперболы. Процесс «возвратно-поступательного движения по кругу C » состоит в замене каждой линии и точки геометрической фигуры их соответствующими полюсами и полюсами соответственно. Полюс линии является инверсией ее ближайшей точки к окружности С , в то время как полярные точек есть обратная, а именно, линия, ближайшая точка С является инверсией точки.
Эксцентриситет конического сечения , полученного возвратно - поступательное движение представляет собой отношение расстояния между центрами два окружностей с радиусом R от взаимности окружности С . Если B и C представляют собой точки в центрах соответствующих окружностей, то
Так как эксцентриситет гиперболы всегда больше , чем один, центр В должен лежать за пределами возвратно - поступательным движением окружности С .
Это определение подразумевает , что гипербола является как локусом полюсов касательных к окружности B , а также конверт полярных линий точек на B . И наоборот, окружность B - это оболочка полярных точек на гиперболе и геометрическое место полюсов касательных прямых к гиперболе. Две касательные к B не имеют (конечных) полюсов, потому что они проходят через центр C возвратно-поступательной окружности C ; поляры соответствующих точек касания на B являются асимптотами гиперболы. Две ветви гиперболы соответствуют двум частям окружности B которые разделены этими точками касания.
Квадратное уравнение [ править ]
Гиперболу также можно определить как уравнение второй степени в декартовых координатах ( x , y ) на плоскости ,
при условии, что константы A xx , A xy , A yy , B x , B y и C удовлетворяют определяющему условию
Этот определитель условно называют дискриминантом конического сечения. [15]
Частный случай гиперболы - вырожденной гиперболы, состоящей из двух пересекающихся прямых, - возникает, когда другой определитель равен нулю:
Этот определитель Δ иногда называют дискриминантом конического сечения. [16]
Учитывая приведенную выше общую параметризацию гиперболы в декартовых координатах, эксцентриситет может быть найден с помощью формулы из раздела Коники # Эксцентриситет в терминах параметров квадратичной формы .
Центр ( x c , y c ) гиперболы можно определить по формулам
В терминах новых координат, ξ = x - x c и η = y - y c , определяющее уравнение гиперболы может быть записано
Главные оси гиперболы составляют угол φ с положительной осью x, которая задается формулой
Поворот осей координат так, чтобы ось x была выровнена с поперечной осью, приводит уравнение к его канонической форме
Большая и малая полуоси a и b определяются уравнениями
где λ 1 и λ 2 являются корни этого квадратного уравнения
Для сравнения соответствующее уравнение для вырожденной гиперболы (состоящей из двух пересекающихся прямых) имеет вид
Касательная к данной точке ( x 0 , y 0 ) на гиперболе определяется уравнением
где E , F и G определены как
Нормаль к гиперболе в той же точке задается уравнением
Нормальная линия перпендикулярна касательной, и обе проходят через одну и ту же точку ( x 0 , y 0 ).
Из уравнения
левый фокус и правый фокус где e - эксцентриситет. Обозначим расстояния от точки ( x, y ) до левого и правого фокусов как и Для точки на правой ветви,
а для точки на левой ветви
Это можно доказать следующим образом:
Если ( x , y ) - точка на гиперболе, расстояние до левой фокальной точки равно
Расстояние до правой фокальной точки составляет
Если ( x, y ) - точка на правой ветви гиперболы, то и
Вычитая эти уравнения, получаем
Если ( x, y ) - точка на левой ветви гиперболы, то и
Вычитая эти уравнения, получаем
В декартовых координатах [ править ]
Уравнение [ править ]
Если декартовы координаты вводятся так, что начало координат является центром гиперболы, а ось x является большой осью, то гипербола называется открывающейся с востока на запад и
- эти очаги являются точками , [17]
- что вершины являются . [18]
Для произвольной точки расстояния до фокуса является и вторым фокусом . Следовательно, точка находится на гиперболе, если выполняется следующее условие
Удалите квадратные корни подходящими квадратами и используйте соотношение, чтобы получить уравнение гиперболы:
Это уравнение называется канонической формой гиперболы, потому что любая гипербола, независимо от ее ориентации относительно декартовых осей и независимо от положения ее центра, может быть преобразована в эту форму заменой переменных, давая гиперболу, которая является соответствует оригиналу (см. ниже ).
Оси симметрии или главные оси - это поперечная ось (содержащая отрезок длины 2 a с концами в вершинах) и сопряженная ось (содержащая отрезок длины 2 b, перпендикулярный поперечной оси и со средней точкой в центре гиперболы). . [19] В отличие от эллипса, гиперболы имеет только две вершины: . Две точки на сопряженных осях не лежат на гиперболе.
Из уравнения следует, что гипербола симметрична относительно обеих координатных осей и, следовательно, симметрична относительно начала координат.
Эксцентриситет [ править ]
Для гиперболы в приведенной выше канонической форме эксцентриситет определяется выражением
Две гиперболы геометрически подобны друг другу - это означает, что они имеют одинаковую форму, так что одна может быть преобразована в другую жесткими движениями влево и вправо , вращением , зеркальным отображением и масштабированием (увеличением) - тогда и только тогда, когда у них такая же неординарность.
Асимптоты [ править ]
Решение уравнения (выше) гиперболы для доходностей
Из этого следует, что гипербола приближается к двум прямым
для больших значений . Эти две прямые пересекаются в центре (начале координат) и называются асимптотами гиперболы [20].
По второму рисунку видно, что
- Перпендикулярное расстояние от фокуса до асимптоты либо является (пол-малой ось).
Из нормальной формы Гессе асимптот и уравнения гиперболы получаем: [21]
- Произведение расстояний от точки на гиперболу к оба асимптоте является константой , которая также может быть записана в терминах эксцентриситета е как
Из уравнения гиперболы (см. Выше) можно вывести:
- Продукт склонов линий от точки Р до двух вершин является постоянным
Кроме того, из (2) выше можно показать, что [21]
- Произведение расстояний от точки на гиперболе до асимптот вдоль линий, параллельных асимптотам, есть константа
Semi-latus rectum [ править ]
Длина хорды через один из фокусов, перпендикулярная большой оси гиперболы, называется прямой кишкой . Одна его половина - это прямая полу-латусная мышца . Расчет показывает
Прямая кишка полу-латуса также может рассматриваться как радиус кривизны в вершинах.
Касательная [ править ]
Самый простой способ определить уравнение касательной в точке - неявно дифференцировать уравнение гиперболы. Обозначая dy / dx как y ′ , это дает
По отношению к , уравнение касательной в точке имеет вид
Определенная касательная линия отличает гиперболу от других конических секций. [22] Пусть f - расстояние от вершины V (как на гиперболе, так и на ее оси, проходящей через два фокуса) до ближайшего фокуса. Тогда расстояние по линии, перпендикулярной этой оси, от этого фокуса до точки P на гиперболе будет больше 2 f . Касательная к гиперболе в точке P пересекает эту ось в точке Q под углом ∠PQV более 45 °.
Прямоугольная гипербола [ править ]
В этом случае гипербола называется прямоугольной (или равносторонней ), потому что ее асимптоты пересекаются прямоугольно (то есть перпендикулярны). В этом случае линейный эксцентриситет равен эксцентриситету и полу-латусной прямой кишке .
Параметрическое представление с гиперболическим синусом / косинусом [ править ]
Используя функции гиперболического синуса и косинуса , можно получить параметрическое представление гиперболы , которое аналогично параметрическому представлению эллипса:
которое удовлетворяет декартову уравнению, поскольку
Дальнейшие параметрические представления приведены в разделе « Параметрические уравнения» ниже.
Сопряженная гипербола [ править ]
Обменяем и получаем уравнение сопряженной гиперболы (см. Диаграмму):
- также написано как
В полярных координатах [ править ]
Для полюса = фокус:
Полярные координаты, используемые чаще всего для гиперболы, определяются относительно декартовой системы координат, которая имеет начало в фокусе, а ось x указывает на начало «канонической системы координат», как показано на первой диаграмме.
В этом случае угол называется истинной аномалией .
Относительно этой системы координат имеем
и
для полюса = центр:
С полярными координатами относительно «канонической системы координат» (см. Вторую диаграмму) мы имеем
Для правой ветви гиперболы диапазон равен
Параметрические уравнения [ править ]
Гипербола с уравнением может быть описана несколькими параметрическими уравнениями:
- ( рациональное представление).
- Наклон касательной как параметр:
- Параметрическое представление, использующее наклон касательной в точке гиперболы, может быть получено аналогично случаю эллипса: заменить в случае эллипса на и использовать формулы для гиперболических функций . Один получает
- это верхняя и нижняя половина гиперболы. Точки с вертикальными касательными (вершины ) не покрываются представлением.
- Уравнение касательной в точке :
- Это описание касательных гиперболы является важным инструментом для определения ортоптики гиперболы.
Гиперболические функции [ править ]
Как тригонометрические функции определены в терминах единичной окружности , так и гиперболические функции определены в терминах единичной гиперболы , как показано на этой диаграмме. В единичном круге угол (в радианах) равен удвоенной площади кругового сектора, который образует этот угол. Аналогичный гиперболический угол определяется как удвоенная площадь гиперболического сектора .
Пусть будет вдвое больше площади между осью и лучом, проходящим через начало координат, пересекающим единичную гиперболу, и определим как координаты точки пересечения. Тогда площадь гиперболического сектора равна площади треугольника за вычетом изогнутой области за вершиной в :
который упрощается до гиперболического косинуса площади
Решение для дает экспоненциальную форму гиперболического косинуса:
От одного получает
и обратная ему площадь гиперболического синуса :
Другие гиперболические функции определяются в соответствии с гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом, например,
Свойства [ править ]
Касательная делит пополам угол между линиями к фокусам [ править ]
Касательная в точке делит угол между линиями пополам .
- Доказательство
Позвольте быть точкой на линии с расстоянием до фокуса (см. Диаграмму, это большая полуось гиперболы). Линия - это биссектриса угла между линиями . Чтобы доказать, что это касательная линия в точке , проверяется, что любая точка на прямой, отличная от, не может находиться на гиперболе. Следовательно, имеет только общую точку с гиперболой и, следовательно, является касательной в точке .
Из диаграммы и неравенства треугольника один признает , что имеет место, что означает: . Но если это точка гиперболы, разница должна быть
.
Середины параллельных хорд [ править ]
Середины параллельных хорд гиперболы лежат на прямой, проходящей через центр (см. Диаграмму).
Точки любой хорды могут лежать на разных ветвях гиперболы.
Доказательство свойства на мидпойнтах лучше всего проводить для гиперболы . Поскольку любая гипербола является аффинным образом гиперболы (см. Раздел ниже), а аффинное преобразование сохраняет параллелизм и середины отрезков прямых, это свойство верно для всех гипербол:
для двух точек гиперболы
- середина аккорда
- наклон хорды
Для параллельных хорд наклон постоянный, а середины параллельных хорд лежат на прямой
Следствие: для любой пары точек хорды существует косое отражение с осью (набором неподвижных точек), проходящей через центр гиперболы, которая меняет местами точки и оставляет гиперболу (в целом) неподвижной. Косое отражение - это обобщение обычного отражения поперек линии , где все пары точка-изображение находятся на линии, перпендикулярной к .
Поскольку косое отражение оставляет гиперболу неподвижной, пара асимптот также остается фиксированной. Следовательно, середина хорды также делит пополам соответствующий отрезок прямой между асимптотами. Это значит что . Это свойство можно использовать для построения дальнейших точек гиперболы, если заданы точка и асимптоты.
Если хорда вырождается в касательную , то точка касания делит отрезок прямой между асимптотами на две половины.
Ортогональные касательные - ортоптические [ править ]
Для гиперболы точки пересечения ортогональных касательных лежат на окружности .
Этот круг называется ортоптиком данной гиперболы.
Касательные могут принадлежать точкам на разных ветвях гиперболы.
В случае отсутствия пар ортогональных касательных.
Отношение полюса к полюсу для гиперболы [ править ]
Любую гиперболу можно описать в подходящей системе координат уравнением . Уравнение касательной в точке гиперболы: Если разрешить точку быть произвольной точкой, отличной от начала координат, то
- точка отображается на линию , а не через центр гиперболы.
Это отношение между точками и линиями является взаимно однозначным .
В обратной функции карты
- линия на точку и
- линия на точку
Такое отношение между точками и линиями, образованными коникой, называется полярно-полярным отношением или просто полярностью . Полюс - это точка, полярная линия. См. Полярный и полярный .
Расчетным путем проверяются следующие свойства полярно-полярной связи гиперболы:
- Для точки (полюса) на гиперболе поляра является касательной в этой точке (см. Диаграмму:) .
- Для полюса вне гиперболы точки пересечения его поляры с гиперболой являются точками касания двух проходящих касательных (см. Диаграмму:) .
- Для точки внутри гиперболы полярная точка не имеет общей точки с гиперболой. (см. диаграмму :) .
Примечания:
- Точка пересечения двух полярных полюсов ( например:) - это полюс прямой, проходящей через их полюса (здесь:) .
- Фокусы и соответственно и направляющие и соответственно принадлежат парам полюса и полюса.
Отношения между полюсами и полюсами существуют также для эллипсов и парабол.
Другие свойства [ править ]
- Следующие элементы являются параллельными : (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы. [23] [24]
- Следующие элементы также совпадают: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) либо директриса; и (3) любая из асимптот. [24]
Длина дуги [ править ]
Длина дуги гиперболы не имеет выражения в замкнутой форме . Верхняя половина гиперболы может быть параметризована как
Тогда интеграл, дающий длину дуги от до, может быть вычислен численно :
После использования подстановки это также можно представить с помощью эллиптического интеграла второго рода с параметром :
Производные кривые [ править ]
Некоторые другие кривые могут быть получены из гиперболы путем инверсии , так называемые обратные кривые гиперболы. Если центр инверсии выбран как собственный центр гиперболы, обратная кривая будет лемнискатой Бернулли ; лемниската - это также оболочка из кругов с центром на прямоугольной гиперболе, проходящая через начало координат. Если центр инверсии выбран в фокусе или вершине гиперболы, получающиеся обратные кривые будут лимитом или строфоидом соответственно.
Эллиптические координаты [ править ]
Семейство софокусных гипербол является основой системы эллиптических координат в двух измерениях. Эти гиперболы описываются уравнением
где фокусы расположены на расстоянии c от начала координат по оси x , и где θ - угол асимптоты с осью x . Каждая гипербола в этом семействе ортогональна любому эллипсу с одним и тем же фокусом. Эта ортогональность может быть продемонстрирована конформным отображением декартовой системы координат w = z + 1 / z , где z = x + iy - исходные декартовы координаты, а w = u + iv - координаты после преобразования.
Другие ортогональные двумерные системы координат, включающие гиперболы, могут быть получены с помощью других конформных отображений. Например, отображение w = z 2 преобразует декартову систему координат в два семейства ортогональных гипербол.
Анализ конического сечения гиперболического вида окружностей [ править ]
Помимо обеспечения единообразного описания кругов, эллипсов, парабол и гипербол, конические сечения также можно понимать как естественную модель геометрии перспективы в случае, когда просматриваемая сцена состоит из кругов или, в более общем смысле, эллипса. Наблюдателем обычно является камера или человеческий глаз, а изображение сцены представляет собой центральную проекцию на плоскость изображения, то есть все проекционные лучи проходят через фиксированную точку O , центр. Плоскость линзы является плоскость , параллельная плоскости изображения на линзах O .
Образ круга c есть
- а) круг , если круг c находится в особом положении, например, параллельно плоскости изображения и др. (см. стереографическую проекцию),
- б) эллипс , если c не имеет общей точки с плоскостью линзы,
- c) парабола , если c имеет одну общую точку с плоскостью линзы и
- г) гипербола , если c имеет две общие точки с плоскостью линзы.
(Особые положения, в которых плоскость окружности содержит точку O , опускаются.)
Эти результаты можно понять, если понять, что процесс проецирования можно увидеть в два этапа: 1) круг c и точка O создают конус, который 2) разрезается плоскостью изображения, чтобы создать изображение.
Человек видит гиперболу всякий раз, когда видит часть круга, пересеченного плоскостью линзы. Неспособность видеть большую часть ветвей видимой ветви в сочетании с полным отсутствием второй ветви делает практически невозможным для зрительной системы человека распознать связь с гиперболами.
Приложения [ править ]
Солнечные часы [ править ]
Гиперболы можно увидеть на многих солнечных часах . В любой день солнце вращается по кругу на небесной сфере , и его лучи, падая на точку на солнечных часах, образуют конус света. Пересечение этого конуса с горизонтальной плоскостью земли образует коническое сечение. На большинстве населенных широт и в большую часть времени года это коническое сечение представляет собой гиперболу. На практике тень от наконечника шеста очерчивает гиперболу на земле в течение дня (этот путь называется линией склонения.). Форма этой гиперболы меняется в зависимости от географической широты и времени года, поскольку эти факторы влияют на конус солнечных лучей относительно горизонта. Собрание таких гипербол за целый год в данном месте греки называли пелекиноном , так как он напоминает двуручный топор.
Мультилатерация [ править ]
Гипербола является основой для решения задач мультилатерации , задачи определения местоположения точки по разнице ее расстояний до заданных точек - или, что то же самое, по разнице во времени прихода синхронизированных сигналов между точкой и заданными точками. Такие проблемы важны в судоходстве, особенно на воде; Судно может определить свое местоположение по разнице во времени прибытия сигналов от передатчиков LORAN или GPS . И наоборот, самонаводящийся радиомаяк или любой передатчик можно определить путем сравнения времени прихода его сигналов на две отдельные приемные станции; такие методы могут использоваться для отслеживания объектов и людей. В частности, набор возможных положений точки, имеющей разность расстояний 2 aиз двух заданных точек есть гипербола разделения вершин 2 a , фокусами которой являются две заданные точки.
Путь, за которым следует частица [ править ]
Путь, по которому проходит любая частица в классической задаче Кеплера, представляет собой коническое сечение . В частности, если полная энергия E частицы больше нуля (то есть, если частица не связана), путь такой частицы представляет собой гиперболу. Это свойство полезно при изучении атомных и субатомных сил путем рассеяния частиц высокой энергии; например, эксперимент Резерфорд показал существование атомного ядра , исследуя рассеяние альфа - частицы из золота атомов. Если пренебречь короткодействующими ядерными взаимодействиями, атомное ядро и альфа-частица взаимодействуют только посредством кулоновской силы отталкивания., который удовлетворяет требованию закона обратных квадратов для задачи Кеплера.
Уравнение Кортевега – де Фриза [ править ]
Гиперболическая триггерная функция появляется как одно из решений уравнения Кортевега – де Фриза, которое описывает движение солитонной волны в канале.
Трисекция угла [ править ]
Как впервые показал Аполлоний Пергский , гиперболу можно использовать, чтобы разрезать пополам любой угол - хорошо изученная проблема геометрии. Принимая во внимание угол, сначала нарисовать окружность с центром в его вершине O , который пересекает стороны угла в точках A и B . Затем нарисуйте отрезок прямой с конечными точками A и B и его серединный перпендикуляр . Построить гиперболу эксцентриситета е = 2 с , как директрисы и B в качестве фокуса. Пусть P - пересечение (верхнее) гиперболы с окружностью. Угловой POB тройной угол AOB .
Чтобы доказать это, отражают отрезок линии OP относительно линии получения точки P» как образ P . Сегмент AP ' имеет ту же длину, что и сегмент BP из-за отражения, в то время как сегмент PP' имеет ту же длину, что и сегмент BP из-за эксцентриситета гиперболы. Поскольку OA , OP ' , OP и OB являются радиусами одного и того же круга (и, следовательно, имеют одинаковую длину), треугольники OAP' , OPP ' и OPB все совпадают. Следовательно, угол был разделен на три части, поскольку 3 × POB= AOB . [25]
Граница эффективного портфеля [ править ]
В теории портфелей локус эффективных портфелей со средней дисперсией (так называемая эффективная граница) - это верхняя половина открывающейся на восток ветви гиперболы, построенной с горизонтальным графиком стандартного отклонения доходности портфеля и вертикальным графиком его ожидаемого значения; согласно этой теории, все рациональные инвесторы выбрали бы портфель, характеризуемый некоторой точкой в этом локусе.
Биохимия [ править ]
В биохимии и фармакологии , то уравнение Хилла и уравнения Хилла-Ленгмюра соответственно описывают биологические реакции и образование белковых комплексов лиганд- как функции концентрации лиганда. Оба они представляют собой прямоугольные гиперболы.
Гиперболы как плоские сечения квадрик [ править ]
Гиперболы выглядят как плоские секции следующих квадрик :
- Эллиптический конус
- Гиперболический цилиндр
- Гиперболический параболоид
- Гиперболоид одного листа
- Гиперболоид из двух листов
Эллиптический конус
Гиперболический цилиндр
Гиперболический параболоид
Гиперболоид одного листа
Гиперболоид из двух листов
См. Также [ править ]
Другие конические секции [ править ]
- Круг
- Эллипс
- Парабола
- Вырожденная коническая
[ править ]
- Эллиптические координаты , ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол.
- Гиперболический рост
- Гиперболическое уравнение в частных производных
- Гиперболический сектор
- Гиперболическая структура
- Гиперболическая траектория
- Гиперболоид
- Мультилатерация
- Вращение осей
- Перевод осей
- Гипербола единиц
Заметки [ править ]
- ↑ Oakley (1944 , стр.17)
- ↑ Oakley (1944 , стр.17)
- ^ Хит, сэр Томас Литтл (1896), "Глава I. Открытие конических сечений. Менахм", Аполлоний Пергский: Трактат о конических сечениях с введениями, включая очерк более ранней истории по этому вопросу , Cambridge University Press, стр. –Xxx.
- ^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (2011), История математики , Wiley, стр. 73, ISBN 9780470630563,
Аполлоний (возможно, следуя предложению Архимеда) ввел названия «эллипс» и «гипербола» в связи с этими кривыми.
- ^ Кануны, Говард (1963), Обследование геометрии (т. Один) , Allyn и Bacon, стр. 30-31
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 308-310)
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 310)
- ^ Апостол, Том М .; Мнацаканян, Мамикон А. (2012), Новые горизонты в геометрии , The Dolciani Mathematical Expositions # 47, The Mathematical Association of America, стр. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
- ^ Немецкий термин для этого кружка - Leitkreis, что можно перевести как «Директорский кружок», но этот термин имеет другое значение в английской литературе (см. Директорский кружок ).
- ^ Ван Схотен, Франс : Mathematische Oeffeningen , Лейден, 1659, стр. 327
- ^ Э. Хартманн: Лекция « Геометрии плоского круга» , Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, стр. 93
- ^ В. Бенц: Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
- ^ Лекция Планарная окружность геометрии , Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского , С. 33, (PDF; 757 kB)
- ^ Лекция Планарная окружность геометрии , Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского , С. 32, (PDF; 757 kB)
- ^ Fanchi, Джон Р. (2006), Math освежители для ученых и инженеров , John Wiley и Sons, стр. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, Раздел 3.2, с. 45
- ^ Корн, Гранино А. и Корн, Тереза М. Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора , Dover Publ., Второе издание, 2000: с. 40.
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 310)
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 310)
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. 310)
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. АРР-29-APP-30)
- ^ a b Митчелл, Дуглас В., «Свойство гипербол и их асимптот», Mathematical Gazette 96, июль 2012 г., стр. 299–301.
- ↑ JW Downs, Practical Conic Sections , Dover Publ., 2003 (ориг. 1993): стр. 26.
- ^ «Гипербола» . Mathafou.free.fr . Проверено 26 августа 2018 .
- ^ a b «Архивная копия» . Архивировано из оригинала на 2017-02-02 . Проверено 22 июня 2011 .CS1 maint: archived copy as title (link)
- ^ Эта конструкция принадлежит Паппу Александрийскому (около 300 г. н.э.), а доказательство исходит от Казаринова (1970 , стр. 62).
Ссылки [ править ]
- Казаринов, Николас Д. (2003), Правитель и Круг , Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-42515-0
- Окли, Колорадо, доктор философии (1944), Схема исчисления , Нью-Йорк: Barnes & Noble
- Protter, Murray H .; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN 76087042
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме гипербол . |
В Wikisource есть текст статьи « Гипербола» из Британской энциклопедии 1911 года . |
- "Гипербола" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Вывод Аполлония гиперболы при сходимости
- Франс ван Скутен: Mathematische Oeffeningen , 1659 г.
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола» . MathWorld .