Резерфордское рассеяние

Резерфордовский рассеяние является упругим рассеянием на заряженные частицы с помощью кулоновского взаимодействия . Это физическое явление объясняется Ernest Rutherford в 1911 году ^[1] , что привело к развитию планетарной модели Резерфорда от атома и в конечном счете к модели Бора . Резерфордовское рассеяние впервые было названо кулоновским рассеянием, поскольку оно основывается только на статическом электрическом ( кулоновском)) потенциал, и минимальное расстояние между частицами полностью задается этим потенциалом. Классический процесс резерфордского рассеяния альфа-частиц на ядрах золота является примером « упругого рассеяния », поскольку ни альфа-частицы, ни ядра золота не возбуждаются изнутри. Формула Резерфорда (см. Ниже) далее не учитывает кинетическую энергию отдачи массивного ядра-мишени.

Первоначальное открытие было сделано Гансом Гейгером и Эрнестом Марсденом в 1909 году, когда они провели эксперимент с золотой фольгой в сотрудничестве с Резерфордом, в котором они выпустили пучок альфа-частиц ( ядер гелия ) на фольгу из золотого листа толщиной всего в несколько атомов. Во время эксперимента атом считался аналогом сливового пудинга (как было предложено Дж. Дж. Томсоном ) с отрицательно заряженными электронами (сливы), усеянными по всей положительной сферической матрице (пудинг). Если бы модель сливового пудинга была правильной, положительный «пудинг» был бы более рассредоточенным, чем в правильной модели концентрированного ядра., не могли бы оказывать такие большие кулоновские силы, и альфа-частицы должны отклоняться только на небольшие углы при прохождении через них.

Рис. 1. В камере Вильсона трек альфа-частицы с энергией 5,3 МэВ от штыревого источника свинца-210 вблизи точки 1 претерпевает резерфордское рассеяние вблизи точки 2, отклоняясь на угол около 30 °. Он снова разлетается около точки 3 и, наконец, останавливается в газе. Ядром-мишенью в газе камеры могло быть ядро азота , кислорода , углерода или водорода . Он получил достаточно кинетической энергии при упругом столкновении, чтобы вызвать короткий видимый след отдачи около точки 2. (Масштаб в сантиметрах).

Однако интригующие результаты показали, что примерно 1 из 20000 альфа-частиц отклоняется на очень большие углы (более 90 °), в то время как остальные проходят с небольшим отклонением. Из этого Резерфорд пришел к выводу, что большая часть массы сосредоточена в крошечной положительно заряженной области (ядре), окруженной электронами. Когда (положительная) альфа-частица приближалась достаточно близко к ядру, она отталкивалась достаточно сильно, чтобы отскочить под большими углами. Небольшой размер ядра объясняет небольшое количество отталкиваемых таким образом альфа-частиц. Резерфорд показал, используя метод, описанный ниже, что размер ядра был меньше примерно10 ^-14 м (насколько меньше этого размера, Резерфорд не мог сказать по одному только этому эксперименту; подробнее об этой проблеме минимально возможного размера см. Ниже). В качестве наглядного примера на рисунке 1 показано отклонение альфа-частицы ядром в газе камеры Вильсона .

Резерфордское рассеяние теперь используется сообществом материаловедов в аналитическом методе, называемом резерфордским обратным рассеянием .

Вывод [ править ]

Дифференциальное сечение может быть получено из уравнений движения для частицы , взаимодействующей с центральным потенциалом . В общем, уравнения движения, описывающие две частицы, взаимодействующие под действием центральной силы, можно разделить на центр масс и движение частиц относительно друг друга. В случае рассеяния легких альфа-частиц на тяжелых ядрах, как в эксперименте, проведенном Резерфордом, приведенная масса - это, по сути, масса альфа-частицы, а ядро, от которого она рассеивается, по существу стационарно в лабораторной системе.

Подстановка в уравнение Бине с началом системы координат на цели (рассеивателе) дает уравнение траектории в виде ${\ Displaystyle (г, \ тета)}$

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ theta ^ {2}}} + u = - {\ frac {Z_ {1} Z_ {2} e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon _ {0} mv_ {0} ^ {2} b ^ {2}}} = - \ kappa,}

где $u = 1 / р$ , $v 0$ - скорость на бесконечности, $b$ - прицельный параметр .

Общее решение вышеупомянутого дифференциального уравнения есть

{\ displaystyle u = u_ {0} \ cos \ left (\ theta - \ theta _ {0} \ right) - \ kappa,}

а граничное условие

{\ displaystyle u \ to 0 \ quad {\ text {and}} \ quad r \ sin \ theta \ to b \ quad (\ theta \ to \ pi).}

Решение уравнения $u \to 0$ и его производной $ду / dθ \to - 1 / б$ используя эти граничные условия, мы можем получить

\theta _{0}={\frac {\pi }{2}}+\arctan b\kappa .

Тогда угол отклонения $Θ$ равен

{\begin{aligned}\Theta &=2\theta _{0}-\pi =2\arctan b\kappa \\&=2\arctan {\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{2}b}}.\end{aligned}}

$b$ можно решить, чтобы дать

b={\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{2}}}\cot {\frac {\Theta }{2}}.

Чтобы найти сечение рассеяния из этого результата, рассмотрим его определение

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}(\Omega )d\Omega ={\frac {{\hbox{number of particles scattered into solid angle }}d\Omega {\hbox{ per unit time}}}{\hbox{incident intensity}}}

Так как угол рассеяния однозначно определяется для данного $Е$ и $б$ , число частиц , рассеянных в угол между & $thetas$ ; и & $thetas; + dΘ$ должны быть такими же , как число частиц с соответствующими параметрами воздействия между $б$ и $б + дб$ . Для падающей интенсивности $I$ это означает следующее равенство

2\pi Ib\left|db\right|=I{\frac {d\sigma }{d\Omega }}d\Omega

Для радиально-симметричного потенциала рассеяния, как и в случае кулоновского потенциала , $dΩ = 2π sin Θ dΘ$ , что дает выражение для сечения рассеяния

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {b}{\sin {\Theta }}}\left|{\frac {db}{d\Theta }}\right|

Подставляя полученное ранее выражение для прицельного параметра $b (Θ),$ находим дифференциальное сечение резерфордовского рассеяния

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}mv_{0}^{2}}}\right)^{2}\csc ^{4}{\frac {\Theta }{2}}.

Этот же результат можно выразить альтернативно как

{\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {Z_{1}Z_{2}\alpha (\hbar c)}{4E_{\mathrm {K} }\sin ^{2}{\frac {\Theta }{2}}}}\right)^{2},

где $α \approx 1 / 137$ - безразмерная постоянная тонкой структуры , $E K$ - нерелятивистская кинетическая энергия частицы в МэВ , а $ħc \approx$ 197 МэВ · фм .

Детали расчета максимального размера ядра [ править ]

При лобовых столкновениях между альфа-частицами и ядром (с нулевым параметром прицела) вся кинетическая энергия альфа-частицы превращается в потенциальную, и частица находится в состоянии покоя. Расстояние от центра альфа-частицы до центра ядра ( $r min$ ) в этой точке является верхним пределом радиуса ядра, если из эксперимента очевидно, что процесс рассеяния подчиняется приведенной выше формуле сечения.

Применяя закон обратных квадратов между зарядами альфа-частицы и ядра, можно записать: Допущения: 1. На систему не действуют внешние силы. Таким образом, полная энергия (KE + PE) системы постоянна. 2. Изначально альфа-частицы находятся на очень большом расстоянии от ядра.

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {q_{1}q_{2}}{r_{\text{min}}}}

Перестановка:

r_{\text{min}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {2q_{1}q_{2}}{mv^{2}}}

Для альфа-частицы:

$m$ (масса) =6,644 24 × 10 ⁻²⁷ кг =3,7273 × 10 ⁹ эВ / c ²
$q 1$ (для гелия) = 2 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹ С =3,2 × 10 ⁻¹⁹ С
$q 2$ (для золота) = 79 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹ С =1,27 × 10 ⁻¹⁷ С
$v$ (начальная скорость) =2 × 10 ⁷ м / с (для этого примера)

Подстановка их в дает значение около 2,7 × 10 ^-14 м , или 27 фм . (Истинный радиус составляет около 7,3 фм.) Истинный радиус ядра не восстанавливается в этих экспериментах, потому что альфа-частицы не обладают достаточной энергией для проникновения на расстояние более 27 фм от ядерного центра, как отмечалось, когда фактический радиус золото составляет 7,3 фм. Резерфорд понял это, а также осознал, что реальное воздействие альфы на золото вызывает любое отклонение силы от силы $1 / р$ кулоновский потенциал изменил бы форму его кривой рассеяния при больших углах рассеяния (наименьшие прицельные параметры ) с гиперболы на что-то другое. Этого не было видно, что указывает на то, что поверхность ядра золота не была «затронута», так что Резерфорд также знал, что ядро золота (или сумма радиусов золота и альфа) было меньше 27 фм.

Распространение на ситуации с релятивистскими частицами и отдачей цели [ править ]

Распространение низкоэнергетического рассеяния типа Резерфорда на релятивистские энергии и частицы, имеющие собственный спин, выходит за рамки данной статьи. Так , например, рассеяние электронов от протона описывается как Mott рассеяние , ^[2] с поперечным сечением , что сводится к формуле Резерфорда для нерелятивистских электронов. Если не происходит возбуждения внутренней энергии пучка или частицы-мишени, процесс называется « упругим рассеянием», поскольку энергия и импульс должны сохраняться в любом случае. Если столкновение вызывает возбуждение одной или другой составляющей или если при взаимодействии образуются новые частицы, то этот процесс называется « неупругим рассеянием».

См. Также [ править ]

Спектрометрия резерфордовского обратного рассеяния

Ссылки [ править ]

^ Резерфорд, Э. (1911). «Рассеяние α- и β-лучей веществом и структура атома». Философский журнал . 6 : 21.
^ Ссылка на гиперфизику

Учебники [ править ]

Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2002). Классическая механика (третье изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-65702-9.

Внешние ссылки [ править ]

Э. Резерфорд, Рассеяние α- и β-частиц веществом и структура атома , Philosophical Magazine. Серия 6, т. 21 . Май 1911 г.
Гейгер, H .; Марсден, Э. (1909). «О диффузном отражении α-частиц» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 82 (557): 495–500. Bibcode : 1909RSPSA..82..495G . DOI : 10,1098 / rspa.1909.0054 . Архивировано из оригинала 2 января 2008 года.

[1] Резерфорд, Э. (1911). «Рассеяние α- и β-лучей веществом и структура атома». Философский журнал . 6 : 21.

[2] Ссылка на гиперфизику

[1]