В орбитальной механике , то эксцентрическая аномалия является угловым параметром , который определяет положение тела , который двигается вдоль эллиптической Kepler орбиты . Эксцентрическая аномалия - это один из трех угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите, два других - истинная аномалия и средняя аномалия .
Графическое представление [ править ]
Рассмотрим эллипс с уравнением:
где a - большая полуось, а b - малая полуось.
Для точки на эллипсе P = P ( x , y ), представляющей положение вращающегося тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия - это угол E на рисунке. Эксцентрическая аномалия E - это один из углов прямоугольного треугольника с одной вершиной в центре эллипса, прилегающей к нему стороной, лежащей на большой оси, с гипотенузой a (равной большой полуоси эллипса) и противоположной сторона (перпендикулярная большой оси и касающаяся точки P ′ на вспомогательной окружности радиуса a ), проходящая через точкуP . Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, показанная на рисунке как f . Эксцентрическая аномалия E в терминах этих координат определяется выражением [1]
и
Второе уравнение устанавливается с помощью соотношения
- ,
откуда следует, что sin E = ±у/б. Уравнение sin E = -у/бможет быть немедленно исключен, так как пересекает эллипс в неправильном направлении. Также можно отметить, что второе уравнение можно рассматривать как исходящее из аналогичного треугольника, у которого противоположная сторона имеет ту же длину y, что и расстояние от P до большой оси, а его гипотенуза b равна малой полуоси эллипс.
Формулы [ править ]
Радиус и эксцентрическая аномалия [ править ]
Эксцентриситета е определяется как:
Из теоремы Пифагора применительно к треугольнику с гипотенузой r (расстояние FP ):
Таким образом, радиус (расстояние от фокуса до точки P ) связан с эксцентрической аномалией формулой
С этим результатом эксцентрическая аномалия может быть определена по истинной аномалии, как показано ниже.
От истинной аномалии [ править ]
Истинная аномалия угол маркированы е на рисунке, находится в фокусе эллипса. В приведенных ниже расчетах он обозначается как θ . Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом. [2]
Используя формулу для r выше, синус и косинус E находятся через θ :
Следовательно,
Угол E , следовательно, является прилегающим углом прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 + e cos θ , прилегающей стороной e + cos θ и противоположной стороной √ 1 - e 2 sin θ .
Также,
Подставив cos E, как указано выше, в выражение для r , радиальное расстояние от фокальной точки до точки P также можно найти с точки зрения истинной аномалии: [2]
От средней аномалии [ править ]
Эксцентрическая аномалия Е связана с средней аномалии M с помощью уравнения Кеплера : [3]
Это уравнение не имеет замкнутую форму раствора для Е данного М . Обычно ее решают численными методами , например методом Ньютона – Рафсона .
См. Также [ править ]
Примечания и ссылки [ править ]
- ↑ Джордж Альберт Вентворт (1914). «Эллипс §126». Элементы аналитической геометрии (2-е изд.). Ginn & Co. стр. 141 .
- ^ a b Джеймс Бао-янь Цуй (2000). Основы приемников глобальной системы позиционирования: программный подход (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . п. 48. ISBN 0-471-38154-3.
- ^ Мишель Капдеру (2005). «Определение средней аномалии, уравнение 1.68». Спутники: орбиты и миссии . Springer. п. 21. ISBN 2-287-21317-1.
Источники [ править ]
- Мюррей, Карл Д .; И Дермотт, Стэнли Ф. (1999); Динамика солнечной системы , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания
- Пламмер, Генри К.К. (1960); Вводный трактат по динамической астрономии , Dover Publications, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (Перепечатка издания Cambridge University Press 1918 года)