Орбитальные элементы

Орбитальные элементы - это параметры, необходимые для однозначной идентификации конкретной орбиты . В небесной механике эти элементы рассматриваются в системах двух тел с использованием орбиты Кеплера . Существует множество различных способов математического описания одной и той же орбиты, но определенные схемы, каждая из которых состоит из набора из шести параметров, обычно используются в астрономии и орбитальной механике .

Реальная орбита и ее элементы меняются со временем из-за гравитационных возмущений других объектов и эффектов общей теории относительности . Орбита Кеплера - это идеализированная математическая аппроксимация орбиты в определенный момент времени.

Кеплеровские элементы

На этой диаграмме плоскость орбиты (желтая) пересекает базовую плоскость (серая). Для спутников на околоземной орбите базовой плоскостью обычно является экваториальная плоскость Земли, а для спутников на солнечных орбитах - плоскость эклиптики . Пересечение называется линией узлов , так как оно соединяет центр масс с восходящими и нисходящими узлами. Базовая плоскость вместе с весенней точкой ( ♈︎ ) устанавливает систему отсчета.

Традиционные элементы орбиты - это шесть кеплеровских элементов после Иоганна Кеплера и его законов движения планет .

Если смотреть из инерциальной системы отсчета , два вращающихся тела имеют разные траектории. Каждая из этих траекторий имеет фокус в общем центре масс . Если смотреть из неинерциальной системы отсчета, центрированной на одном из тел, видна только траектория противоположного тела; Кеплеровы элементы описывают эти неинерциальные траектории. Орбита имеет два набора кеплеровских элементов в зависимости от того, какое тело используется в качестве точки отсчета. Базовое тело (обычно самое массивное) называется первичным , другое тело - вторичным . Первичный элемент не обязательно должен обладать большей массой, чем вторичный, и даже когда тела равны по массе, элементы орбиты зависят от выбора первичного.

Два элемента определяют форму и размер эллипса:

Эксцентриситет ( $e$ ) - форма эллипса, описывающая, насколько он удлинен по сравнению с кругом (не отмечен на диаграмме).
Большая полуось ( $а$ ) - сумма перицентрического и апоцентрического расстояний, деленная на два. Для классических орбит двух тел большая полуось - это расстояние между центрами тел, а не расстояние между телами от центра масс.

Два элемента определяют ориентацию плоскости орбиты, в которую вложен эллипс:

Наклон ( $i$ ) - вертикальный наклон эллипса относительно плоскости отсчета, измеренный в восходящем узле (где орбита проходит вверх через плоскость отсчета, зеленый угол $i$ на диаграмме). Угол наклона измеряется перпендикулярно линии пересечения плоскости орбиты и плоскости отсчета. Любые три точки на эллипсе будут определять плоскость орбиты эллипса. Плоскость и эллипс - это двухмерные объекты, определенные в трехмерном пространстве.
Долгота восходящего узла ( $Ом$ ) - горизонтально ориентирует восходящий узел эллипса (где орбита проходит вверх через базовую плоскость, символизируемый $☊$ ) относительно опорного кадра в весеннем точке (символизируемом ♈︎). Он измеряется в плоскости отсчета и показан на диаграмме как зеленый угол $Ω$ .

Остальные два элемента следующие:

Аргумент перицентра ( $ω$ ) определяет ориентацию эллипса в плоскости орбиты как угол, измеренный от восходящего узла к перицентру (ближайшая точка, в которой объект-спутник подходит к основному объекту, вокруг которого он вращается, синий угол $ω$ в диаграмму).
Истинная аномалия ( $ν$ , $θ$ или $f$ ) в эпоху ( $t 0$ ) определяет положение орбитального тела вдоль эллипса в определенное время («эпоху»).

Средняя аномалия $M$ является математически удобным фиктивным «углом» , который изменяется линейно со временем, но не соответствует реальному геометрическому углу. Его можно преобразовать в истинную аномалию $ν$ , которая представляет собой реальный геометрический угол в плоскости эллипса между перицентром (наиболее близкое приближение к центральному телу) и положением орбитального объекта в любой момент времени. Таким образом, истинная аномалия показана на диаграмме красным углом $ν$ , а средняя аномалия не показана.

Углы наклона, долгота восходящего узла и аргумент перицентра также могут быть описаны как углы Эйлера, определяющие ориентацию орбиты относительно опорной системы координат.

Обратите внимание, что неэллиптические траектории также существуют, но они не замкнуты и, следовательно, не являются орбитами. Если эксцентриситет больше единицы, траектория является гиперболой . Если эксцентриситет равен единице, а угловой момент равен нулю, траектория радиальная . Если эксцентриситет равен единице и есть угловой момент, траектория представляет собой параболу .

Обязательные параметры

Учитывая инерциальную систему отсчета и произвольную эпоху (заданный момент времени), необходимы ровно шесть параметров, чтобы однозначно определить произвольную и невозмущенную орбиту.

Это потому, что задача содержит шесть степеней свободы . Они соответствуют трем пространственным измерениям, которые определяют положение ( $x$ , $y$ , $z$ в декартовой системе координат ), плюс скорость в каждом из этих измерений. Их можно описать как векторы орбитального состояния , но это часто неудобный способ представления орбиты, поэтому вместо них обычно используются кеплеровские элементы.

Иногда эпоху считают «седьмым» параметром орбиты, а не частью системы отсчета.

Если эпоха определяется как момент, когда один из элементов равен нулю, количество неопределенных элементов уменьшается до пяти. (Шестой параметр по-прежнему необходим для определения орбиты; он просто численно устанавливается на ноль по соглашению или «перемещается» в определение эпохи по отношению к реальным часам.)

Альтернативные параметризации

Кеплеровские элементы могут быть получены из векторов орбитального состояния (трехмерный вектор для положения и другой для скорости) путем ручных преобразований или с помощью компьютерного программного обеспечения. ^[1]

Другие параметры орбиты могут быть вычислены на основе кеплеровских элементов, таких как период , апоапсис и перицентр . (При обращении вокруг Земли последние два члена известны как апогей и перигей.) Обычно в наборах кеплеровских элементов указывается период вместо большой полуоси, поскольку каждый из них может быть вычислен на основе другого при условии стандартной гравитационной параметр , $ГМ$ , дается для центрального тела.

Вместо средней аномалии в эпоху могут использоваться средняя аномалия $M$ , средняя долгота , истинная аномалия $ν 0$ или (редко) эксцентрическая аномалия .

Использование, например, «средней аномалии» вместо «средней аномалии в эпоху» означает, что время $t$ должно быть указано как седьмой элемент орбиты. Иногда предполагается, что средняя аномалия равна нулю в эпоху (путем выбора соответствующего определения эпохи), оставляя только пять других орбитальных элементов, которые необходимо указать.

Для разных астрономических тел используются разные наборы элементов. Эксцентриситет $e$ и либо большая полуось, $a$ , либо расстояние до перицентра $q$ , используются для определения формы и размера орбиты. Долгота восходящего узла, $Ом$ , наклон, $I$ , и аргумент перицентре, $со$ , или долготой перицентре, $П$ , задающие ориентацию орбиты в ее плоскости. Либо долгота в эпоху, $L 0$ , средняя аномалия в эпоху, $M 0$ , либо время прохождения перигелия, $T 0.$ , используются для указания известной точки на орбите. Сделанный выбор зависит от того, используется ли весеннее равноденствие или узел в качестве основного ориентира. Большая полуось известна, если известны среднее движение и гравитационная масса . ^[2]^[3]

Также довольно часто можно увидеть либо среднюю аномалию ( $M$ ), либо среднюю долготу ( $L$ ), выраженную напрямую, без промежуточных шагов $M 0$ или $L 0$ , как полиномиальную функцию по времени. Этот метод выражения объединит среднее движение ( $n$ ) в полином как один из коэффициентов. Похоже, что $L$ или $M$ выражены более сложным образом, но нам понадобится на один элемент орбиты меньше.

Среднее движение также может быть скрыто за цитатами орбитального периода $P$ . ^{[ требуется разъяснение ]}

Наборы орбитальных элементов
Объект	Используемые элементы
Большая планета	$е, а, я , Ω , ϖ , L 0$
Комета	$e, q , i, Ω, ω , T 0$
Астероид	$е, а, я, Ω, ω , M 0$
Двухстрочные элементы	$е, я, Ω, ω, n , M 0$

Преобразования угла Эйлера

Углы $Ω$ , $i$ , $ω$ - это углы Эйлера (соответствующие $α$ , $β$ , $γ$ в обозначениях, используемых в этой статье), характеризующие ориентацию системы координат.

$x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ из инерциальной системы координат $Î$ , $Ĵ$ , $K̂$

куда:

$Î$ , $Ĵ$ находится в экваториальной плоскости центрального тела. $Î$ находится в направлении весеннего равноденствия. $Ĵ$ перпендикулярна $Î$ и $Î$ определяет опорную плоскость. $K̂$ перпендикулярен плоскости отсчета. Орбитальные элементы тел (планет, комет, астероидов ...) в Солнечной системе обычно используют эклиптику в качестве этой плоскости.
$x̂$ , $ŷ$ находятся в плоскости орбиты, а $x̂ -$ в направлении к перицентру ( перицентру ). $ẑ$ перпендикулярно плоскости орбиты. $ŷ$ взаимно перпендикулярно $x̂$ и $ẑ$ .

Тогда преобразование системы координат $Î$ , $Ĵ$ , $K̂ в систему$ координат $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ с углами Эйлера $Ω$ , $i$ , $ω$ имеет вид:

{\ Displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = \ cos \ Omega \ cdot \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {2} & = \ sin \ Omega \ cdot \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {3} & = \ sin i \ cdot \ sin \ omega; \\\ , \\ y_ {1} & = - \ cos \ Omega \ cdot \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ omega \; \\ y_ {2} & = - \ sin \ Омега \ cdot \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ omega \; \\ y_ {3} & = \ sin i \ cdot \ cos \ omega \; \\\, \\ z_ {1} & = \ sin i \ cdot \ sin \ Omega \; \\ z_ {2} & = - \ sin i \ cdot \ cos \ Omega \; \\ z_ {3} & = \ cos i \; \\\, \ end {выровнено}}}

\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,;

куда

{\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\,\end{aligned}}

Обратное преобразование, которое вычисляет 3 координаты в системе IJK с учетом 3 (или 2) координат в системе xyz, представлено обратной матрицей. Согласно правилам матричной алгебры , обратная матрица произведения трех матриц вращения получается путем инвертирования порядка трех матриц и переключения знаков трех углов Эйлера.

Преобразование $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ в углы Эйлера $Ω$ , $i$ , $ω$ :

{\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\,\end{aligned}}

где $arg (x, y)$ обозначает полярный аргумент, который может быть вычислен с помощью стандартной функции atan2 (y, x), доступной во многих языках программирования.

Предсказание орбиты

В идеальных условиях идеально сферического центрального тела и нулевых возмущений все элементы орбиты, кроме средней аномалии, являются постоянными. Средняя аномалия изменяется линейно со временем, масштабируемая средним движением , ^[2]

n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.

Следовательно, если в любой момент $t 0$ параметры орбиты равны $[e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0]$ , то элементы в момент времени $t = t 0 + δt$ задаются как $[e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0 + n δt]$

Возмущения и элементная дисперсия

Невозмутимая, два тела , ньютоновская орбита всегда конические сечения , поэтому кеплеровы элементы определяют эллипс , параболу или гиперболу . Реальные орбиты имеют возмущения, поэтому данный набор кеплеровских элементов точно описывает орбиту только в эпоху. Эволюция элементов орбиты происходит из-за гравитационного притяжения тел, отличных от первичного, несферичности первичного тела, атмосферного сопротивления , релятивистских эффектов , радиационного давления , электромагнитных сил и т. Д.

Кеплеровские элементы часто можно использовать для получения полезных предсказаний, иногда близких к эпохе. В качестве альтернативы реальные траектории могут быть смоделированы как последовательность кеплеровских орбит, которые соприкасаются («целуют» или касаются) реальной траектории. Их также можно описать так называемыми планетарными уравнениями , дифференциальными уравнениями, которые имеют различные формы, разработанные Лагранжем , Гауссом , Делоне , Пуанкаре или Хиллом .

Двухстрочные элементы

Параметры кеплеровских элементов можно кодировать в виде текста в нескольких форматах. Наиболее распространенным из них является формат «двухстрочных элементов» (TLE) NASA / NORAD ^[4], первоначально разработанный для использования с перфокартами на 80 столбцов, но все еще используемый, поскольку это наиболее распространенный формат, и с ним можно работать. легко и со всеми современными хранилищами данных.

В зависимости от приложения и орбиты объекта данные, полученные из TLE старше 30 дней, могут стать ненадежными. Орбитальные позиции могут быть вычислены из Тлеса через ПМГ / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8 алгоритмов. ^[5]

Пример двухстрочного элемента: ^[6]

1 27651U 03004A 07083.49636287 .00000119 00000-0 30706-4 0 2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Переменные Делоне

Орбитальные элементы Делоне были введены Шарлем-Эженом Делоне во время его изучения движения Луны . ^[7] Обычно называемые переменными Делоне , они представляют собой набор канонических переменных , которые представляют собой координаты действие-угол . Углы представляют собой простую сумму некоторых углов Кеплара:

$\ell =M+\omega +\Omega ~:$ средняя долгота
$g=\omega +\Omega ~:$ долгота перицентра и
$h=\Omega ~:$ долгота восходящего узла

наряду с их соответствующими сопряженными импульсами , $L$ , $G$ и $H$ . ^[8] Импульсы $L$ , $G$ и $H$ являются переменными действия и представляют собой более сложные комбинации кеплеровских элементов $a$ , $e$ и $i$ .

Переменные Делоне используются для упрощения пертурбативных вычислений в небесной механике, например, при исследовании колебаний Козая – Лидова в иерархических тройных системах. ^[8] Преимущество переменных Делоне состоит в том, что они остаются четко определенными и неособыми (за исключением $h$ , что можно допустить), когда $e$ и / или $i$ очень малы: когда орбита пробной частицы почти круглая ( ) , или почти «плоский» ( ). $e\approx 0$ $i\approx 0$

Смотрите также

Видимая долгота
Семейство астероидов, астероиды с одинаковыми собственными орбитальными элементами.
Бета угол
Эфемериды
Геопотенциальная модель
Векторы орбитального состояния
Правильные орбитальные элементы
Оскулирующая орбита

использованная литература

^ Например, с "VEC2TLE" . amsat.org .
^ a b Грин, Робин М. (1985). Сферическая астрономия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-23988-2.
^ Дэнби, JMA (1962). Основы небесной механики . Вильманн-Белл. ISBN 978-0-943396-20-0.
^ Келсо, TS "Часто задаваемые вопросы: формат двухстрочного набора элементов" . celestrak.com . CelesTrak. Архивировано из оригинального 26 марта 2016 года . Проверено 15 июня +2016 .
^ Зайдельманн, КП, изд. (1992). Пояснительное приложение к Астрономическому альманаху (1-е изд.). Милл-Вэлли, Калифорния: Университетские научные книги.
^ "SORCE" . Heavens-Above.com . данные об орбите. Архивировано из оригинального 27 сентября 2007 года.
Перейти ↑ Aubin, David (2014). «Делоне, Шарль-Эжен». Биографическая энциклопедия астрономов . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. С. 548–549. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-9917-7_347 . ISBN 978-1-4419-9916-0.
^ а б Шевченко, Иван (2017). Эффект Лидова – Козаи: приложения в исследовании экзопланет и динамической астрономии . Чам: Спрингер. ISBN 978-3-319-43522-0.

внешние ссылки

Гурфил, Пини (2005). «Параметры Эйлера как неособые элементы орбиты в приэкваториальных орбитах». J. Guid. Contrl. Динамика . 28 (5). Bibcode : 2005JGCD ... 28.1079G . DOI : 10.2514 / 1.14760 .

В Викиучебнике есть книга по теме: Астродинамика / Классические элементы орбиты.

«Учебник» . АМСАТ . Кеплеровские элементы. Архивировано из оригинального 14 октября 2002 года.

"Учебник по орбитам" . marine.rutgers.edu .

«Визуализатор орбитальных элементов» . orbitalmechanics.info .

Отчет № 3 (PDF) . celestrak (Отчет). Космический путь. Североамериканское командование воздушно-космической обороны (НОРАД). - серьезное лечение орбитальных элементов

«FAQ» . Celestrak . Двухстрочные элементы. Архивировано из оригинального 26 марта 2016 года.

«Онлайн-эфемериды JPL HORIZONS» . - также поставляет элементы орбиты для большого количества объектов солнечной системы

«Средние параметры орбиты» . ssd.jpl.nasa.gov . Планетарные спутники. Лаборатория реактивного движения / НАСА.

«Введение в экспорт» . ssd.jpl.nasa.gov . Планетарные и лунные эфемериды JPL. Лаборатория реактивного движения / НАСА.

«Векторы состояния: VEC2TLE» . MindSpring (программное обеспечение). Архивировано из оригинала 3 марта 2016 года. - доступ к ПО VEC2TLE

«Функция 'iauPlan94 ' » ( источник программного обеспечения C ). Библиотека SOFA C IAU. - элементы орбит больших планет

[1] Например, с "VEC2TLE" . amsat.org .

[Green-2] Грин, Робин М. (1985). Сферическая астрономия . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-23988-2.

[Danby-3] Дэнби, JMA (1962). Основы небесной механики . Вильманн-Белл. ISBN 978-0-943396-20-0.

[Kelso_FAQ-4] Келсо, TS "Часто задаваемые вопросы: формат двухстрочного набора элементов" . celestrak.com . CelesTrak. Архивировано из оригинального 26 марта 2016 года . Проверено 15 июня +2016 .

[5] Зайдельманн, КП, изд. (1992). Пояснительное приложение к Астрономическому альманаху (1-е изд.). Милл-Вэлли, Калифорния: Университетские научные книги.

[6] "SORCE" . Heavens-Above.com . данные об орбите. Архивировано из оригинального 27 сентября 2007 года.

[Aubin-2014-7] Перейти ↑ Aubin, David (2014). «Делоне, Шарль-Эжен». Биографическая энциклопедия астрономов . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. С. 548–549. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-9917-7_347 . ISBN 978-1-4419-9916-0.

[Shevchenko-2017-8] а б Шевченко, Иван (2017). Эффект Лидова – Козаи: приложения в исследовании экзопланет и динамической астрономии . Чам: Спрингер. ISBN 978-3-319-43522-0.