Углы Эйлера

Геометрическое определение классических углов Эйлера. Система xyz (фиксированная) показана синим, система XYZ (повернутая) показана красным. Линия узлов ( N ) отображается зеленым цветом

Эти углы Эйлера имеют три угла , введенный Леонард Эйлер для описания ориентации в виде твердого тела по отношению к неподвижной системе координат . ^[1]

Они также могут представлять ориентацию мобильной системы отсчета в физике или ориентацию общего базиса в трехмерной линейной алгебре. Позже Питер Гатри Тейт и Джордж Брайан представили альтернативные формы, предназначенные для использования в аэронавтике и технике.

Эквивалентность цепных вращений [ править ]

Любая целевая ориентация может быть достигнута, начиная с известной эталонной ориентации, с использованием определенной последовательности внутренних поворотов, величины которых являются углами Эйлера целевой ориентации. В этом примере используется последовательность zx′-z ″ .

Углы Эйлера могут быть определены элементарной геометрией или композицией поворотов. Геометрическое определение демонстрирует, что трех составных элементарных вращений (вращений вокруг осей системы координат ) всегда достаточно для достижения любого целевого кадра.

Три элементарных вращения могут быть внешними (вращения вокруг осей xyz исходной системы координат, которая, как предполагается, остается неподвижной) или внутренними (вращения вокруг осей вращающейся системы координат XYZ , солидарными с движущимся телом, что изменяет его ориентация после каждого вращения элемента).

Углы Эйлера обычно обозначаются как α , β , γ или ψ , θ , φ . Разные авторы могут использовать разные наборы осей вращения для определения углов Эйлера или разные имена для одних и тех же углов. Поэтому любому обсуждению, использующему углы Эйлера, всегда должно предшествовать их определение.

Без учета возможности использования двух различных соглашений для определения осей вращения (внутренней или внешней) существует двенадцать возможных последовательностей осей вращения, разделенных на две группы:

• Собственные углы Эйлера ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
• Углы Тейта – Брайана ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Углы Тейта – Брайана также называют карданными углами ; морские углы ; курс , высота и банк ; или рыскание, тангаж и крен . Иногда оба вида последовательностей называют «углами Эйлера». В этом случае последовательности первой группы называются собственными или классическими углами Эйлера.

Правильные углы Эйлера [ править ]

Геометрическое определение [ править ]

Оси исходного кадра обозначены как х , у , г и осей повернутого кадра , как X , Y , Z . Геометрическое определение (иногда называемый статический) начинается с определения линии узлов (N) в качестве пересечения плоскостей ху и XY (он также может быть определен как общий перпендикулярно осям Z и Z , а затем записать в виде векторное произведение N = z Z ). Используя его, можно определить три угла Эйлера следующим образом:${\ displaystyle \ times}$

• ${\ displaystyle \ alpha}$(или ) - угол между осью x и осью N ( условное обозначение x - его также можно определить между y и N , что называется условием y ).${\ displaystyle \ varphi}$
• ${\ displaystyle \ beta}$(или ) угол между г осью и Z оси.${\ displaystyle \ theta \,}$
• ${\ displaystyle \ gamma}$(или ) - угол между осью N и осью X (по условию x ).${\ displaystyle \ psi}$

Углы Эйлера между двумя системами отсчета определяются только в том случае, если обе системы координат имеют одинаковую ручку .

Соглашения по внутреннему вращению [ править ]

Собственные вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей системы координат XYZ, прикрепленной к движущемуся телу. Следовательно, они меняют свою ориентацию после каждого вращения элемента. Система XYZ вращается, а xyz фиксируется. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех собственных вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ .

Углы Эйлера можно определить с помощью собственных вращений. Повернутая рамка XYZ может быть представлена ​​первоначально выровненной с xyz , прежде чем претерпеть три элементарных поворота, представленных углами Эйлера. Его последовательные ориентации можно обозначить следующим образом:

• x - y - z , или x ₀ - y ₀ - z ₀ (начальный)
• x ′ - y ′ - z ′, или x ₁ - y ₁ - z ₁ (после первого поворота)
• x ″ - y ″ - z ″, или x ₂ - y ₂ - z ₂ (после второго поворота)
• X - Y - Z , или x ₃ - y ₃ - z ₃ (финал)

Для вышеперечисленной последовательности вращений линию узлов N можно просто определить как ориентацию X после первого вращения элемента. Следовательно, N можно просто обозначить x ′. Кроме того, поскольку третье элементное вращение происходит вокруг Z , она не изменяет ориентацию Z . Следовательно, Z совпадает с z ″. Это позволяет упростить определение углов Эйлера следующим образом:

• α (или ) представляет вращение вокруг оси z ,${\ displaystyle \ varphi}$
• β (или ) представляет вращение вокруг оси x ',${\ displaystyle \ theta}$
• γ (или ) представляет собой вращение вокруг оси z ″.${\ displaystyle \ psi}$

Соглашения по внешнему вращению [ править ]

Внешние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат xyz . Система XYZ вращается, а xyz фиксируется. Начиная с XYZ, перекрывающего xyz , композиция из трех внешних вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ . Углы Эйлера или Тейта – Брайана ( α , β , γ ) представляют собой амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом (обратите внимание на обратный порядок приложения угла Эйлера):

• Система XYZ вращается вокруг оси z на угол γ . Х ось теперь под углом гамма относительно х оси.
• Система XYZ снова вращается, но на этот раз вокруг оси x на β . Z ось теперь под углом р относительно г оси.
• Система XYZ поворачивается в третий раз, снова вокруг оси z , на угол α .

В общем, три вращения элемента происходят вокруг z , x и z . Действительно, эту последовательность часто обозначают z - x - z (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта – Брайана, обычно называются с использованием этого обозначения (подробности см. Выше).

Знаки, диапазоны и условные обозначения [ править ]

Углы обычно определяются по правилу правой руки . А именно, они имеют положительные значения, когда они представляют собой вращение по часовой стрелке, если смотреть в положительном направлении оси, и отрицательные значения, когда вращение появляется против часовой стрелки. Противоположное соглашение (правило левой руки) применяется реже.

О диапазонах (с использованием обозначения интервалов ):

• для α и γ диапазон определяется по модулю 2 π радиан . Например, допустимый диапазон может быть [- π ,  π ] .
• для β диапазон покрывает π радиан (но нельзя сказать, что он является модулем  π ). Например, это может быть [0,  π ] или [- π / 2,  π / 2] .

Углы α , β и γ определяются однозначно, за исключением особого случая, когда плоскости xy и XY идентичны, т.е. когда ось z и ось Z имеют одинаковые или противоположные направления. Действительно, если ось z и ось Z одинаковы, β  = 0 и только ( α  +  γ ) определяется однозначно (не отдельные значения), и, аналогично, если ось z и ось Z противоположны, β  =  π и только ( α  - γ ) определяется однозначно (не отдельные значения). Эти неоднозначности известны как блокировка подвеса в приложениях.

Есть шесть возможностей выбора осей вращения для собственных углов Эйлера. Во всех них первая и третья оси вращения совпадают. Шесть возможных последовательностей:

1. z ₁ - x ′ - z ₂ ″ (внутренние вращения) или z ₂ - x - z ₁ (внешние вращения)
2. x ₁ - y ′ - x ₂ ″ (внутренние вращения) или x ₂ - y - x ₁ (внешние вращения)
3. y ₁ - z ′ - y ₂ ″ (собственные вращения) или y ₂ - z - y ₁ (внешние вращения)
4. z ₁ - y ′ - z ₂ ″ (собственные вращения) или z ₂ - y - z ₁ (внешние вращения)
5. x ₁ - z ′ - x ₂ ″ (собственные вращения) или x ₂ - z - x ₁ (внешние вращения)
6. y ₁ - x ′ - y ₂ ″ (внутренние вращения) или y ₂ - x - y ₁ (внешние вращения)

Прецессия, нутация и собственное вращение [ править ]

Прецессия , нутация и собственное вращение (спин) определяются как движения, полученные путем изменения одного из углов Эйлера, оставляя два других постоянными. Эти движения выражаются не в терминах внешней рамы или в терминах совместно движущейся вращающейся рамы тела, а в виде смеси. Они представляют собой смешанную систему осей вращения , в которой первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращается вокруг линии узлов N, а третий - собственное вращение вокруг Z , ось, закрепленная в теле. что движется.

Статическое определение подразумевает, что:

• α (прецессия) представляет собой вращение вокруг оси z ,
• β (нутация) представляет собой вращение вокруг оси N или x ',
• γ (собственное вращение) представляет собой вращение вокруг оси Z или z ″.

Если β равно нулю, вращения вокруг N нет . Как следствие, Z совпадает с z , α и γ представляют собой вращения вокруг одной и той же оси ( z ), и окончательная ориентация может быть получена с помощью одного поворота вокруг z на угол, равный α + γ .

В качестве примера рассмотрим верх . Вершина вращается вокруг своей оси симметрии; это соответствует его собственному вращению. Он также вращается вокруг своей оси вращения, а его центр масс вращается вокруг оси вращения; это вращение - прецессия. Наконец, верх может раскачиваться вверх и вниз; угол наклона - это угол нутации. Тот же пример можно увидеть с движениями Земли.

Хотя все три движения могут быть представлены оператором вращения с постоянными коэффициентами в некоторой системе отсчета, они не могут быть представлены этими операторами одновременно. При заданной системе отсчета максимум одна из них будет без коэффициентов. Только прецессия может быть выражена в общем виде в виде матрицы в основе пространства без зависимостей других углов.

Эти движения также действуют как карданный подвес. Если мы предположим набор кадров, каждый из которых может перемещаться по отношению к предыдущему только под одним углом, как у подвеса, будет существовать внешний фиксированный кадр, один последний кадр и два кадра посередине, которые называются «промежуточными». кадры ». Два в середине работают как два карданных кольца, которые позволяют последней рамке достигать любой ориентации в пространстве.

Углы Тейта – Брайана [ править ]

Второй тип формализма получил название углов Тейта – Брайана в честь Питера Гатри Тейта и Джорджа Х. Брайана . Это соглашение, обычно используемое для аэрокосмических приложений, так что нулевой угол места соответствует горизонтальному положению. Углы Тейта-Брайана представляют ориентацию самолета относительно мировой системы координат. При работе с другими транспортными средствами возможны другие условные обозначения осей .

Определения [ править ]

Определения и условные обозначения , используемые для Tait-Bryan углов аналогичны тем , которые описаны выше для правильных углов Эйлера ( геометрическое определение , внутреннее определение вращения , внешняя определения вращения ). Единственное отличие состоит в том, что углы Тейта – Брайана представляют собой вращения вокруг трех различных осей (например, x - y - z или x - y ′ - z ″), в то время как правильные углы Эйлера используют одну и ту же ось как для первого, так и для третьего вращения элемента ( например, z - x - z или z - x ′ - z ″).

Это подразумевает другое определение линии узлов геометрической конструкции. В случае собственных углов Эйлера он был определен как пересечение двух гомологичных декартовых плоскостей (параллельных, когда углы Эйлера равны нулю; например, xy и XY ). В случае углов Тейта – Брайана он определяется как пересечение двух негомологических плоскостей (перпендикулярных, если углы Эйлера равны нулю; например, xy и YZ ).

Соглашения [ править ]

Три элементарных поворота могут происходить либо вокруг осей исходной системы координат, которая остается неподвижной ( внешние вращения ), либо вокруг осей вращающейся системы координат, которая меняет свою ориентацию после каждого элементарного вращения ( внутренние вращения ).

Есть шесть возможностей выбора осей вращения для углов Тейта – Брайана. Шесть возможных последовательностей:

• x - y ′ - z ″ (внутренние вращения) или z - y - x (внешние вращения)
• y - z ′ - x ″ (внутренние вращения) или x - z - y (внешние вращения)
• z - x ' - y ″ (внутренние вращения) или y - x - z (внешние вращения)
• x - z ′ - y ″ (внутренние вращения) или y - z - x (внешние вращения)
• z - y ′ - x ″ (внутренние вращения) или x - y - z (внешние вращения): внутренние вращения известны как рыскание, тангаж и крен
• y - x ′ - z ″ (внутренние вращения) или z - x - y (внешние вращения)

Знаки и диапазоны [ править ]

Соглашение Тейта – Брайана широко используется в инженерии с разными целями. На практике существует несколько соглашений об осях для выбора подвижных и фиксированных осей, и эти соглашения определяют знаки углов. Поэтому знаки необходимо изучать в каждом конкретном случае внимательно.

Диапазон углов ψ и φ составляет 2 π радиан. Для θ диапазон охватывает π радиан.

Альтернативные названия [ править ]

Эти углы обычно берутся как один во внешней системе отсчета ( курс , пеленг ), один во внутренней подвижной системе отсчета ( банк ) и один в средней системе координат, представляя высоту или наклон по отношению к горизонтальной плоскости, что эквивалентно линия узлов для этой цели.

Для самолета их можно получить за три оборота вокруг его главных осей, если сделать это в правильном порядке. Рыскания получат подшипник, шаг даст возвышение и крен дает угол крена. Поэтому в авиакосмической сфере их иногда называют рысканием, тангажем и креном . Обратите внимание , что это не будет работать , если повороты применяются в любом другом порядке , или если оси самолета начать в любом положении , не эквивалентна системе отсчета.

Углы Тейта – Брайана, следующие за условием z - y ′ - x ″ (внутренние вращения), также известны как морские углы , потому что они могут использоваться для описания ориентации корабля или самолета или углов Кардана в честь итальянского математика и физик Джероламо Кардано , который первым подробно описал карданную подвеску и карданный шарнир .

Углы данного кадра [ править ]

Распространенная проблема - найти углы Эйлера заданного кадра. Самый быстрый способ получить их - записать три заданных вектора в виде столбцов матрицы и сравнить их с выражением теоретической матрицы (см. Таблицу матриц ниже). Следовательно, можно вычислить три угла Эйлера. Тем не менее, того же результата можно достичь, избегая матричной алгебры и используя только элементарную геометрию. Здесь мы представляем результаты для двух наиболее часто используемых соглашений: ZXZ для собственных углов Эйлера и ZYX для Тейта – Брайана. Обратите внимание, что любое другое соглашение можно получить, просто изменив имя осей.

Правильные углы Эйлера [ править ]

Предполагая кадр с единичными векторами ( X , Y , Z ), заданными их координатами, как на основной диаграмме, можно увидеть, что:

${\displaystyle \cos(\beta )=Z_{3}.}$

И с тех пор

${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x,}$

потому что у нас есть${\displaystyle 0<x<\pi }$

${\displaystyle \sin(\beta )={\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Как и двойная проекция унитарного вектора,${\displaystyle Z_{2}}$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \sin(\beta )=-Z_{2},}$

${\displaystyle \cos(\alpha )=-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}.}$

Существует аналогичная конструкция для , сначала проецируя его на плоскость, определяемую осью z и линией узлов. Поскольку угол между плоскостями равен и , это приводит к:${\displaystyle Y_{3}}$${\displaystyle \pi /2-\beta }$${\displaystyle \cos(\pi /2-\beta )=\sin(\beta )}$

${\displaystyle \sin(\beta )\cdot \cos(\gamma )=Y_{3},}$

${\displaystyle \cos(\gamma )=Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}},}$

и, наконец, используя функцию обратного косинуса ,

${\displaystyle \alpha =\arccos(-Z_{2}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}),}$

${\displaystyle \beta =\arccos(Z_{3}),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos(Y_{3}/{\sqrt {1-Z_{3}^{2}}}).}$

Углы Тейта – Брайана [ править ]

Предполагая кадр с единичными векторами ( X , Y , Z ), заданными их координатами, как на этой новой диаграмме (обратите внимание, что угол тета отрицательный), можно увидеть, что:

${\displaystyle \sin(\theta )=-X_{3}}$

Как прежде,

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x,}$

потому что у нас есть${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$

${\displaystyle \cos(\theta )={\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

аналогично предыдущему:

${\displaystyle \sin(\psi )=X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

${\displaystyle \sin(\phi )=Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}.}$

Ищем выражения, похожие на предыдущие:

${\displaystyle \psi =\arcsin(X_{2}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}),}$

${\displaystyle \theta =\arcsin(-X_{3}),}$

${\displaystyle \phi =\arcsin(Y_{3}/{\sqrt {1-X_{3}^{2}}}).}$

Последние замечания [ править ]

Обратите внимание, что функции обратного синуса и косинуса дают два возможных значения для аргумента. В этом геометрическом описании действительно только одно из решений. Когда углы Эйлера определены как последовательность поворотов, все решения могут быть действительными, но внутри диапазонов углов будет только одно. Это связано с тем, что последовательность поворотов для достижения целевого кадра не уникальна, если диапазоны не определены ранее. ^[2]

Для вычислительных целей может быть полезно представить углы с помощью atan2 ( y , x ) . Например, в случае правильных углов Эйлера:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (Z_{1},-Z_{2}),}$

${\displaystyle \gamma =\operatorname {atan2} (X_{3},Y_{3}).}$

Преобразование в другие представления ориентации [ править ]

Углы Эйлера - это один из способов представления ориентации. Есть и другие, и их можно изменить на другие соглашения. Для описания ориентации в трехмерном евклидовом пространстве всегда требуются три параметра . Их можно задавать несколькими способами, в том числе углы Эйлера; см. диаграммы на SO (3) для других.

Наиболее часто используемым представлением ориентации являются матрицы вращения , ось-угол и кватернионы , также известные как параметры Эйлера – Родригеса , которые обеспечивают еще один механизм для представления трехмерных вращений. Это эквивалентно описанию специальной унитарной группы.

Выражение вращений в 3D в виде единичных кватернионов вместо матриц имеет некоторые преимущества:

• Объединение поворотов в вычислительном отношении быстрее и численно более стабильно.
• Выделить угол и ось вращения проще.
• Интерполяция более проста. См. Например slerp .
• Кватернионы не страдают от блокировки кардана, как углы Эйлера.

В любом случае вычисление матрицы вращения - это первый шаг для получения двух других представлений.

Матрица вращения [ править ]

Любая ориентация может быть достигнута путем составления трех элементарных вращений, начиная с известной стандартной ориентации. Эквивалентно, любая матрица вращения R может быть разложена как произведение трех элементарных матриц вращения. Например:

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )}$

представляет собой матрицу вращения, которая может использоваться для представления композиции внешних вращений вокруг осей z , y , x (в этом порядке) или композиции собственных вращений вокруг осей x - y '- z ″ (в этом порядке). Однако как определение элементарных матриц вращения X , Y , Z , так и их порядок умножения зависят от выбора, сделанного пользователем в отношении определения как матриц вращения, так и углов Эйлера (см., Например, Неопределенность в определении вращения матрицы). К сожалению, разные наборы соглашений принимаются пользователями в разных контекстах. Следующая таблица была построена в соответствии с этим набором соглашений:

1. Каждая матрица предназначена для работы путем предварительного умножения векторов - столбцов (см. Неоднозначности в определении матриц вращения )${\textstyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$
2. Каждая матрица предназначена для представления активного вращения (составляющая и составляющая матрицы должны воздействовать на координаты векторов, определенных в исходной фиксированной системе отсчета, и давать в результате координаты повернутого вектора, определенного в той же системе отсчета).
3. Каждая матрица предназначена для представления, в первую очередь, композиции внешних вращений (что соответствует конструктивной оценке матрицы R путем умножения трех истинно элементарных матриц) и, во-вторых, композиции трех неэлементных матриц, представляющих глобально внутренние вращения. (вокруг осей вращающейся системы отсчета в обратном порядке).
4. Принимаются правосторонние системы отсчета, и правило правой руки используется для определения знака углов α , β , γ .

Для простоты в следующей таблице матричных продуктов используется следующая номенклатура:

1. 1, 2, 3 представляют углы α , β и γ , то есть углы, соответствующие первому, второму и третьему поворотам элемента соответственно.
2. X , Y , Z - это матрицы, представляющие вращение элементов вокруг осей x , y , z фиксированной системы отсчета (например, X ₁ представляет вращение вокруг x на угол α ).
3. s и c представляют синус и косинус (например, s ₁ представляет синус α ).

Правильные углы Эйлера	Углы Тейта – Брайана
${\displaystyle X_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}\\c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-s_{2}&c_{2}s_{3}\\s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}&c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}\\c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle X_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}&s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}\\s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}\\-c_{1}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}&s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}\\s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}&c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}\\s_{2}s_{3}&c_{2}&-c_{3}s_{2}\\-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}&c_{2}s_{1}\\c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}&-s_{2}\\c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}s_{2}+s_{1}s_{3}&c_{1}c_{2}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Y_{1}Z_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}\\c_{3}s_{2}&c_{2}&s_{2}s_{3}\\-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Y_{1}Z_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}&c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}\\s_{2}&c_{2}c_{3}&-c_{2}s_{3}\\-c_{2}s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}&c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{1}Y_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{3}s_{1}-c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}s_{2}\\c_{1}s_{3}+c_{2}c_{3}s_{1}&c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&s_{1}s_{2}\\-c_{3}s_{2}&s_{2}s_{3}&c_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{1}Y_{2}X_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{2}&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{3}s_{1}&s_{1}s_{3}+c_{1}c_{3}s_{2}\\c_{2}s_{1}&c_{1}c_{3}+s_{1}s_{2}s_{3}&c_{3}s_{1}s_{2}-c_{1}s_{3}\\-s_{2}&c_{2}s_{3}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle Z_{1}X_{2}Z_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-c_{2}s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{3}-c_{2}c_{3}s_{1}&s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}c_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{1}s_{3}&-c_{1}s_{2}\\s_{2}s_{3}&c_{3}s_{2}&c_{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle Z_{1}X_{2}Y_{3}={\begin{bmatrix}c_{1}c_{3}-s_{1}s_{2}s_{3}&-c_{2}s_{1}&c_{1}s_{3}+c_{3}s_{1}s_{2}\\c_{3}s_{1}+c_{1}s_{2}s_{3}&c_{1}c_{2}&s_{1}s_{3}-c_{1}c_{3}s_{2}\\-c_{2}s_{3}&s_{2}&c_{2}c_{3}\end{bmatrix}}}$

Эти табличные результаты доступны во многих учебниках ^[3] . Для каждого столбца последняя строка представляет собой наиболее часто используемое соглашение.

Чтобы изменить формулы для пассивного вращения (или найти обратное активное вращение), транспонируйте матрицы (затем каждая матрица преобразует начальные координаты вектора, остающегося фиксированным, в координаты того же вектора, измеренного в повернутой системе отсчета; та же ось вращения, та же углов, но теперь вращается система координат, а не вектор).

Свойства [ править ]

Углы Эйлера образуют диаграмму на всей SO (3) , специальной ортогональной группе вращений в трехмерном пространстве. График гладкий, за исключением сингулярности в стиле полярных координат вдоль β = 0 . См. Диаграммы на SO (3) для более полной обработки.

Пространство вращений называются вообще « гиперсферой вращений », хотя это является неправильным: группа Спин (3) является изометрическим к гиперсфере S ³ , но вращение пространство SO (3) вместо изометрично реальных проекционно пространство RP ^3, которое является двумерным фактор-пространством гиперсферы. Эта двусмысленность 2 к 1 является математическим происхождением спина в физике .

Подобное трехугловое разложение применяется к SU (2) , специальной унитарной группе поворотов в сложном 2D-пространстве, с той разницей, что β находится в диапазоне от 0 до & nsbp2 π . Их также называют углами Эйлера.

Мера Хаара для SO (3) в углах Эйлера определяется углом параметризация Хопфа SO (3), , ^[4] , где параметризовать , пространство осей вращения.${\displaystyle {\textrm {d}}V\propto \sin \alpha .{\textrm {d}}\alpha .{\textrm {d}}\beta .{\textrm {d}}\gamma }$${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle S^{2}}$

Например, чтобы генерировать равномерно рандомизированные ориентации, пусть α и γ будут однородными от 0 до 2 π , пусть z будет однородным от -1 до 1, и пусть β = arccos ( z ) .

Геометрическая алгебра [ править ]

Другие свойства углов Эйлера и поворотов в целом можно найти из геометрической алгебры , абстракции более высокого уровня, в которой кватернионы являются четной подалгеброй. Основным инструментом геометрической алгебры является ротор, у которого угол поворота , ось вращения (унитарный вектор) и псевдоскаляр (тривектор в )${\displaystyle \mathbf {\mathbb {R} } =[\cos(\theta /2)-Iu\sin(\theta /2)]}$${\displaystyle \mathbf {\theta } =}$${\displaystyle \mathbf {(} u)=}$${\displaystyle \mathbf {(} I)=}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Высшие измерения [ править ]

Можно определить параметры, аналогичные углам Эйлера, в размерностях больше трех. ^[5]

Число степеней свободы матрицы вращения всегда меньше квадрата размерности матрицы. То есть не все элементы матрицы вращения полностью независимы. Например, матрица вращения в размерности 2 имеет только одну степень свободы, поскольку все четыре ее элемента зависят от одного угла поворота. Матрица вращения в размерности 3 (которая имеет девять элементов) имеет три степени свободы, соответствующие каждому независимому вращению, например, по ее трем углам Эйлера или кватерниону величиной один (единичный).

В SO (4) матрица вращения определяется двумя кватернионами и, следовательно, является 6-параметрической (три степени свободы для каждого кватерниона). Таким образом, матрицы вращения 4 × 4 имеют 6 из 16 независимых компонентов.

Любой набор из 6 параметров, определяющих матрицу вращения, можно рассматривать как расширение углов Эйлера до измерения 4.

В общем, количество углов Эйлера в размерности D квадратично по D; поскольку любое одно вращение состоит из выбора двух размеров для поворота между, общее число вращений , доступных в размерности является , что для урожайности .${\displaystyle D}$${\displaystyle N_{\text{rot}}={\binom {D}{2}}=D(D-1)/2}$${\displaystyle D=2,3,4}$${\displaystyle N_{\text{rot}}=1,3,6}$

Приложения [ править ]

Транспортные средства и движущиеся рамы [ править ]

Их главное преимущество перед другими описаниями ориентации состоит в том, что их можно напрямую измерить с подвеса, установленного в транспортном средстве. Поскольку гироскопы поддерживают постоянную ось вращения, углы, измеренные в корпусе гироскопа, эквивалентны углам, измеренным в лабораторном корпусе. Следовательно, гироскопы используются для определения фактической ориентации движущегося космического корабля, а углы Эйлера можно измерить напрямую. Собственный угол поворота невозможно определить с одного подвеса, поэтому в космическом корабле должно быть более одного подвеса. Обычно для резервирования используется как минимум три. Имеется также отношение к известной проблеме карданного шарнира в машиностроении ^[6]  .

При изучении твердых тел в общем, один называет хуг системы координат пространства , и XYZ системы координат тела . Пространственные координаты считаются неподвижными, в то время как координаты тела считаются вложенными в движущееся тело. Расчеты, включающие ускорение , угловое ускорение , угловую скорость , угловой момент и кинетическую энергию.часто проще всего в телесных координатах, потому что тогда тензор момента инерции не меняется во времени. Если также диагонализовать тензор момента инерции твердого тела (с девятью компонентами, шесть из которых являются независимыми), то получится набор координат (называемых главными осями), в котором тензор момента инерции имеет только три компонента.

Угловая скорость твердого тела принимает простую форму с использованием углов Эйлера в движущейся системе отсчета. Кроме того, уравнения твердого тела Эйлера проще, потому что тензор инерции постоянен в этой системе отсчета.

Кристаллографическая текстура [ править ]

В материаловедении кристаллографическая текстура (или предпочтительная ориентация) может быть описана с помощью углов Эйлера. В текстурном анализе углы Эйлера обеспечивают математическое описание ориентации отдельных кристаллитов в поликристаллическом материале, что позволяет количественно описать макроскопический материал. ^[8] Наиболее распространенное определение углов принадлежит Бунге и соответствует соглашению ZXZ . Однако важно отметить, что приложение обычно включает в себя преобразования осей тензорных величин, то есть пассивные вращения. Таким образом, матрица, соответствующая углам Бунге-Эйлера, является транспонированной матрицей, показанной в таблице выше. ^[9]

Другое [ править ]

Углы Эйлера, обычно в соглашении Тейта-Брайана, также используются в робототехнике для описания степеней свободы запястья . Аналогичным образом они также используются в электронной системе контроля устойчивости .

Системы управления огнем орудия требуют корректировки углов расположения орудий (пеленг и подъем) для компенсации наклона палубы (тангажа и крена). В традиционных системах стабилизирующий гироскоп с вертикальной осью вращения корректирует наклон палубы и стабилизирует оптические прицелы и антенну радара. Однако стволы орудия указывают в направлении, отличном от линии визирования цели, чтобы предвидеть движение цели и падение снаряда под действием силы тяжести, среди других факторов. Артиллерийские установки катятся и наклоняются вместе с плоскостью палубы, но также требуют стабилизации. Порядок пушки включает углы, вычисленные из данных вертикального гироскопа, и эти вычисления включают углы Эйлера.

Углы Эйлера также широко используются в квантовой механике углового момента. В квантовой механике явное описание представлений SO (3) очень важно для вычислений, и почти вся работа была проделана с использованием углов Эйлера. В ранней истории квантовой механики, когда физики и химики резко отрицательно отреагировали на абстрактные теоретико-групповые методы (так называемые группенпест ), использование углов Эйлера также было важным для фундаментальной теоретической работы.

Многие мобильные вычислительные устройства содержат акселерометры, которые могут определять углы Эйлера этих устройств относительно гравитационного притяжения Земли. Они используются в таких приложениях, как игры, моделирование пузырьков и калейдоскопы . ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• 3D проекция
• Ось-угол представления
• Преобразование между кватернионами и углами Эйлера
• Цепные вращения Давенпорта
• Теорема Эйлера вращения
• Карданный замок
• Кватернион
• Кватернионы и пространственное вращение
• Формализмы вращения в трех измерениях
• Сферическая система координат

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Biedenharn, LC; Лук, Дж. Д. (1981), Угловой момент в квантовой физике , Ридинг, Массачусетс: Аддисон – Уэсли , ISBN 978-0-201-13507-7
• Гольдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Рединг, Массачусетс: Аддисон – Уэсли, ISBN 978-0-201-02918-5
• Грей, Эндрю (1918), Трактат о гиростатике и вращательном движении , Лондон: Macmillan (опубликовано в 2007 году), ISBN 978-1-4212-5592-7
• Роуз, Мэн (1957), Элементарная теория углового момента , Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons (опубликовано в 1995 г.), ISBN 978-0-486-68480-2
• Саймон, Кейт (1971), Механика , чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-07392-8
• Ландау, ЛД ; Лифшиц, EM (1996), Механика (3-е изд.), Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-7506-2896-9

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с углами Эйлера .

• "Углы Эйлера" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Углы Эйлера» . MathWorld .
• Дэвид Эберли. Формулы угла Эйлера , геометрические инструменты
• Интерактивный учебник по углам Эйлера доступен по адресу https://www.mecademic.com/en/how-is-orientation-in-space-formed-with-euler-angles
• EulerAngles  - приложение для iOS для трехмерной визуализации трех вращений, связанных с углами Эйлера.
• Библиотека ориентации  - «orilib», набор процедур для управления вращением / ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов.
• Онлайн-инструмент для преобразования матриц вращения, доступный в конвертере вращения (числовое преобразование)
• Интернет инструмент для преобразования символических матриц вращения (мертвый, но все еще доступны от Wayback Machine ) символическая преобразователь вращения
• Вращение, отражение и смена кадра: ортогональные тензоры в вычислительной инженерной механике , IOP Publishing