Уравнение трансцендентного этого уравнение , содержащее функцию трансцендентного переменный (х) решаются за. Такие уравнения часто не имеют решений в замкнутой форме . Примеры включают:
Решаемые трансцендентные уравнения
Уравнения, в которых переменная, которую нужно решить, появляется только один раз в качестве аргумента трансцендентной функции, легко решаются с помощью обратных функций; аналогично, если уравнение можно разложить на множители или преобразовать в такой случай:
Уравнение | Решения |
---|---|
(для целое число) | |
эквивалентно (используя формулу двойного угла, т.е. sin (2x) = 2cos (x) sin (x)), решения которой являются решениями и из , а именно а также а также (для целые числа) |
Некоторые из них могут быть решены, потому что они представляют собой композиции алгебраических функций с трансцендентными функциями.
Уравнение | Решения |
---|---|
решать , давая или же , тогда , так или же |
Но большинство уравнений, в которых переменная появляется как аргумент трансцендентной функции и где-либо еще в уравнении, не разрешимы в замкнутой форме или имеют только тривиальные решения.
Уравнение | Решения |
---|---|
Реальных решений нет, так как для всех | |
единственное реальное решение |
Примерные решения
Приближенные численные решения трансцендентных уравнений можно найти с помощью численных , аналитических приближений или графических методов.
Численные методы решения произвольных уравнений называются алгоритмами поиска корней .
В некоторых случаях уравнение может быть хорошо аппроксимировано рядом Тейлора рядом с нулем. Например, для, решения примерно таковы , а именно а также .
Для графического решения один метод состоит в том, чтобы установить каждую сторону трансцендентного уравнения с одной переменной равной зависимой переменной и построить два графика , используя их точки пересечения для поиска решений.
В некоторых случаях можно использовать специальные функции для записи решений трансцендентных уравнений в замкнутой форме . В частности,имеет решение в терминах W-функции Ламберта .
Другие решения
Трудности, возникающие при решении трансцендентных систем уравнений высокого порядка, были преодолены Владимиром Варюхиным путем «разделения» неизвестных, при котором определение неизвестных сводится к решению алгебраических уравнений [1] [2 ]
Рекомендации
- ^ В. А. Варюхин, С. А. Касьянюк, “Об одном методе решения нелинейных систем специального типа” , Ж. Выч. Мет. Мат. Мат. Физ., 6: 2 (1966), 347–352; СССР вычисл. Математика. Математика. Физ., 6: 2 (1966), 214–221
- ^ В. А. Варюхин, Фундаментальная теория многоканального анализа (В.А. С.В., PVO Киев, 1993) [на русском]