W функция Ламберта

График y = W ( x ) для действительных x <6 и y > −4 . Верхняя ветвь (синяя) с y ≥ −1 - это график функции W ₀ (главная ветвь), нижняя ветвь (пурпурная) с y ≤ −1 - график функции W ₋₁ . Минимальное значение x равно {−1 / e , −1}.

В математике , то Ламберт W функция , которая также называется омега - функция или логарифм продукта , является многозначной функцией , а именно ветви по обратному зависимости от функции F ( ш ) = мы ^ш , где ш является любым комплексным числом и е ^ш IS экспоненциальная функция .

Для каждого целого числа k существует одна ветвь, обозначаемая W _k ( z ) , которая является комплексной функцией одного комплексного аргумента. W ₀ известен как основная ветвь . Эти функции обладают следующим свойством: если z и w - любые комплексные числа, то

${\ displaystyle we ^ {w} = z}$

выполняется тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle w = W_ {k} (z) \ \ {\ text {для некоторого целого числа}} k.}$

При работе только с действительными числами достаточно двух ветвей W ₀ и W ₋₁ : для действительных чисел x и y уравнение

${\ displaystyle ye ^ {y} = x}$

может быть решена относительно y, только если x ≥ -1/е; мы получаем y = W ₀ ( x ), если x ≥ 0, и два значения y = W ₀ ( x ) и y = W ₋₁ ( x ), если -1/е≤ х <0 .

Отношение Ламберта W нельзя выразить в терминах элементарных функций . ^[1] Это полезно в комбинаторике , например, при перечислении деревьев . Он может использоваться для решения различных уравнений, включающих экспоненты (например, максимумы распределений Планка , Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака ), а также встречается при решении дифференциальных уравнений с запаздыванием , таких как y ′ ( t ) = a y ( т - 1) . В биохимии и, в частности, в кинетике ферментов, решение в открытой форме для анализа кинетики Михаэлиса – Ментен с течением времени описывается в терминах W- функции Ламберта .

Основная ветвь функции Ламберта W на комплексной плоскости. Обратите внимание на срезанную ветвь вдоль отрицательной действительной оси, заканчивающуюся -1/е. В этой картине оттенок точки г определяется аргументом в W ( г ) и яркости по абсолютной величине из W ( г ) .

Модуль главной ветви функции Ламберта W , раскрашенный согласно arg W ( z )

Терминология [ править ]

Функция Ламберта W названа в честь Иоганна Генриха Ламберта . Основная ветвь W ₀ обозначена Wp в Электронной библиотеке математических функций , а ветвь W ₋₁ обозначена Wm .

Выбранное здесь обозначение (с W ₀ и W ₋₁ ) следует канонической ссылке на функцию Ламберта W Корлесса, Гонне, Хэра, Джеффри и Кнута . ^[2]

Название «логарифм продукт» можно понимать как это: С обратной функцией от й ( ш ) = е ^ш называется логарифмом , то имеет смысл вызвать функцию, обратные функции продукта мы ^ж как «логарифм продукта». Это связано с константой Омега , которая равна W ₀ (1) .

История [ править ]

Ламберт впервые рассмотрел родственное трансцендентное уравнение Ламберта в 1758 г. ^[3], что привело к статье Леонарда Эйлера в 1783 г. ^{[4], в} которой обсуждался частный случай we ^w .

Рассматриваемая функция Ламберта была

${\ displaystyle x = x ^ {m} + q.}$

Эйлер преобразовал это уравнение к виду

${\ displaystyle x ^ {a} -x ^ {b} = (ab) cx ^ {a + b}.}$

Оба автора получили решение ряда своих уравнений.

Решив это уравнение, Эйлер рассмотрел случай a = b . Взяв пределы, он вывел уравнение

${\ displaystyle \ ln x = cx ^ {a}.}$

Затем он положил a = 1 и получил решение сходящегося ряда для полученного уравнения, выразив x через c .

После взятия производных по x и некоторых манипуляций получается стандартный вид функции Ламберта.

В 1993 году, когда было сообщено, что функция Ламберта W обеспечивает точное решение квантово-механической модели дельта-функции Дирака с двумя ямами для одинаковых зарядов - фундаментальной проблемы в физике - Корлесс и разработчики системы компьютерной алгебры Maple создали библиотеку поиск и обнаружил, что эта функция была повсеместной по своей природе. ^{[2] [5]}

Другой пример, где эта функция обнаруживается, - кинетика Михаэлиса – Ментен .

Хотя фольклор знал, что функция Ламберта W не может быть выражена в терминах элементарных (лиувиллевских) функций, первое опубликованное доказательство появилось только в 2008 году ^[6].

Элементарные свойства, ветви и диапазон [ править ]

Существует счетное количество ветвей функции W , обозначаемых W _k ( z ) для целого числа k ; W ₀ ( z ) - главная (или главная) ветвь. W ₀ ( z ) определен для всех комплексных чисел z, а W _k ( z ) с k ≠ 0 определен для всех ненулевых z . Имеем W ₀ (0) = 0 иLimz → 0 W _k ( z ) = −∞ для всех k ≠ 0 .

Точка ветвления для главной ветви находится в точке z = -1/е, с разрезом ветви до −∞ вдоль отрицательной действительной оси. Этот разрез ветвей отделяет основную ветвь от двух ветвей W ₋₁ и W ₁ . Во всех ветвях W _k с k ≠ 0 есть точка ветвления в точке z = 0 и ветвь, разрезанная вдоль всей отрицательной действительной оси.

Функции W _к ( г ), к ∈ Z все инъективны и их диапазоны не пересекаются. Образом всей многозначной функции W является комплексная плоскость. Изображение действительной оси представляет собой объединение действительной оси и квадратисы Гиппия , параметрической кривой w = - t cot t + it .

Обратный [ править ]

Области комплексной плоскости, для которых . Более темные границы определенной области включаются в более светлую область того же цвета. Точка {-1,0} входит как в (синюю), так и в (серую) области. Горизонтальные линии сетки кратны π.${\ Displaystyle W (п, ze ^ {z}) = z}$${\ displaystyle n = -1}$${\ displaystyle n = 0}$

График диапазона выше также очерчивает области в комплексной плоскости, где справедливо простое обратное соотношение . f = ze ^z означает, что существует такое n , что , где n будет зависеть от значения z . Значение целого числа n резко изменится, когда ze ^z окажется на срезе ветви, что будет означать, что ze ^z ≤ 0 , за исключением случаев, когда это будет ze ^z ≤ −1 / e .${\ Displaystyle W (п, ze ^ {z}) = z}$${\ Displaystyle Z = W (N, F) = W (N, ze ^ {z})}$${\displaystyle W(n,ze^{z})}$${\displaystyle n=0}$

Определите, где x и y действительны. Выражая e ^z в полярных координатах, видим, что:${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))\\&=e^{x}(x\cos(y)-y\sin(y))+ie^{x}(x\sin(y)+y\cos(y))\\\end{aligned}}}$

Для , разрез ветви для будет неположительной действительной осью, так что:${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$

${\displaystyle x\sin(y)+y\cos(y)=0\Rightarrow x=-y/\tan(y)}$

и

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq 0}$

Для , разрез ветви для будет действительной осью с так, чтобы неравенство стало:${\displaystyle n=0}$${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos(y)-y\sin(y))e^{x}\leq -1/e}$

Внутри областей , ограниченных выше, не будет никаких скачкообразные изменения , и эти регионы будут указывать , где W функция просто обратим: то есть .${\displaystyle W(n,ze^{z})}$${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$

Исчисление [ править ]

Производная [ править ]

Путем неявного дифференцирования можно показать, что все ветви W удовлетворяют дифференциальному уравнению

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W не дифференцируема при z = -1/е.) Как следствие, мы получаем следующую формулу для производной W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Используя тождество e ^{W ( z )} =z/W ( z ), получаем следующую эквивалентную формулу:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

В начале мы имеем

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Первообразная [ править ]

Функция W ( x ) и многие выражения, включающие W ( x ) , могут быть интегрированы с помощью замены w = W ( x ) , т.е. x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(Последнее уравнение чаще встречается в литературе, но не выполняется при x = 0 ). Одним из следствий этого (используя тот факт, что W ₀ ( e ) = 1 ) является тождество

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Асимптотические разложения [ править ]

Ряд Тейлора из W ₀ около 0 можно найти с помощью теоремы Лагранжа инверсии и задается

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

Радиус сходимости является1/е, как видно из теста отношения . Функция, определенная этим рядом, может быть расширена до голоморфной функции, определенной на всех комплексных числах с ветвью, разрезанной вдоль интервала (−∞, -1/е] ; эта голоморфная функция определяет главную ветвь от Ламберта W функции.

Для больших значений х , W ₀ является асимптотической

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

где L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x и [^{л + м}
_{л + 1}] - неотрицательноечисло Стирлинга первого рода. ^[2] Сохраняя только первые два члена расширения,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).}$

Другая действительная ветвь, W ₋₁ , определенная в интервале [-1/е, 0) , имеет приближение того же вида, когда x стремится к нулю, в этом случае L ₁ = ln (- x ) и L ₂ = ln (−ln (- x )) . ^[2]

В ^[7] показано, что справедлива следующая оценка (оценка сверху только при x ≥ e ):

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

В 2013 г. было доказано ^[8], что ветвь W ₋₁ ограничивается следующим образом:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Целочисленные и комплексные степени [ править ]

Целые степени W ₀ также допускают разложение в простой ряд Тейлора (или Лорана ) в нуле:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

В более общем плане , для г ∈ ℤ , то формула обращения Лагранжа дает

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

который, вообще говоря, является рядом Лорана порядка r . Эквивалентно последнее может быть записано в виде разложения Тейлора по степеням W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

которое выполняется для любого r ∈ ℂ и | х | <1/е.

Личности [ править ]

Из определения следует несколько идентичностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что, поскольку f ( x ) = xe ^x не инъективен , не всегда верно, что W ( f ( x )) = x , как и в случае обратных тригонометрических функций . При фиксированном x <0 и x ≠ −1 уравнение xe ^x = ye ^y имеет два решения по y , одно из которых, конечно, y = x . Тогда при i = 0 и x <−1, а также для i = −1 и x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) - другое решение.

Некоторые другие личности: ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)\cdot e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[10]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(который может быть расширен на другие n и x, если выбрана правильная ветвь).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Подставляя −ln x в определение:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

С итерированной экспонентой Эйлера h ( x ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Особые значения [ править ]

Для любого ненулевого алгебраических чисел х , Ш ( х ) является трансцендентным числом . Действительно, если W ( х ) равен нулю, то х должна быть равна нулю , а также, и , если W ( х ) не равен нулю и алгебраическая, то по теореме Линдемана-Вейерштрасса , е ^{Ш ( х )} должно быть трансцендентным, подразумевая , что х = W ( x ) e ^{W ( x )} также должно быть трансцендентным.

Ниже приведены особые значения основной ветви:

${\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.}$

${\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a\quad \left({\frac {1}{e}}\leq a\leq e\right).}$

${\displaystyle W\left(2\ln 2\right)=\ln 2.}$

${\displaystyle W(0)=0.}$

${\displaystyle W(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots }$( омега-постоянная ).

${\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1).}$

${\displaystyle W(e)=1.}$

${\displaystyle W\left(e^{1+e}\right)=e.}$

${\displaystyle W(-1)\approx -0.31813+1.33723i.}$

Представления [ править ]

Основная ветвь функции Ламберта может быть представлена ​​собственным интегралом благодаря Пуассону: ^[11]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

В более широком смысле -1/е≤ x ≤ e , значительно более простое представление найдено Mez: ^[12]

${\displaystyle W(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.}$

Другое представление основной ветви было найдено тем же автором: ^[13]

${\displaystyle W(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Для главной ветви также верно следующее представление непрерывной дроби : ^[14]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Также, если | W ( z ) | <1 : ^[15]

${\displaystyle W(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

В свою очередь, если | W ( z ) | > e , тогда

${\displaystyle W(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Другие формулы [ править ]

Определенные интегралы [ править ]

Существует несколько полезных определенных интегральных формул, включающих главную ветвь функции W , включая следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Первое тождество можно найти, записав интеграл Гаусса в полярных координатах .

Второе тождество можно получить, сделав замену u = W ( x ) , которая дает

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

Третье тождество может быть получено из второго путем замены u = x ^−2, а первое также может быть получено из третьего путем замены z =1/√ 2загар х .

За исключением z вдоль сечения ветви (−∞, -1/е] (где интеграл не сходится), главную ветвь функции Ламберта W можно вычислить с помощью следующего интеграла: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

где два интегральных выражения эквивалентны из-за симметрии подынтегрального выражения.

Неопределенные интегралы [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {W(x)}{x}}dx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+W(x){\bigr )}^{2}+C.\\[5pt]&\int W\left(Ae^{Bx}\right)dx={\frac {1}{2B}}{\bigl (}1+W\left(Ae^{Bx}\right){\bigr )}^{2}+C.\end{aligned}}}$

Приложения [ править ]

Решение уравнений [ править ]

Функция Ламберта W используется для решения уравнений, в которых неизвестная величина встречается как в основании, так и в показателе степени или как внутри, так и вне логарифма. Стратегия состоит в том, чтобы преобразовать такое уравнение в одну из форм ze ^z = w, а затем решить относительно z . используя функцию W.

Например, уравнение

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(где x - неизвестное действительное число) можно решить, переписав его как

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}\end{aligned}}}$

Это последнее уравнение имеет желаемую форму, а решения для действительного x:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

и поэтому:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011...\ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456...}$

Как правило, решение

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

является:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

где a , b и c - комплексные константы, причем b и c не равны нулю, а функция W имеет любой целочисленный порядок.

Вязкие потоки [ править ]

Фронты и отложения зернистых и селевых потоков, а также фронты вязких флюидов в природных явлениях и в лабораторных экспериментах можно описать с помощью омега-функции Ламберта-Эйлера следующим образом:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

где H ( x ) - высота селевого потока, x - положение канала ниже по потоку, L - параметр единой модели, состоящий из нескольких физических и геометрических параметров потока, высоты потока и градиента гидравлического давления.

В потоке трубы W-функция Ламберта является частью явной формулировки уравнения Колебрука для определения коэффициента трения Дарси . Этот коэффициент используется для определения падения давления на прямом участке трубы при турбулентном потоке . ^[17]

Нейровизуализация [ править ]

Функция Ламберта W использовалась в области нейровизуализации для связи изменений мозгового кровотока и потребления кислорода в вокселе мозга с соответствующим сигналом, зависящим от уровня оксигенации крови (жирный шрифт). ^[18]

Химическая инженерия [ править ]

W- функция Ламберта использовалась в области химической инженерии для моделирования толщины пористой электродной пленки в суперконденсаторе на основе стеклоуглерода для электрохимического накопления энергии. Функция W Ламберта оказалась точным решением для процесса термической активации в газовой фазе, когда рост углеродной пленки и горение одной и той же пленки конкурируют друг с другом. ^{[19] [20]}

Материаловедение [ править ]

W- функция Ламберта использовалась в области эпитаксиального роста пленки для определения критической толщины пленки начала дислокации . Это расчетная толщина эпитаксиальной пленки, при которой в соответствии с термодинамическими принципами в пленке будут развиваться кристаллографические дислокации, чтобы минимизировать запасенную в пленках упругую энергию. Перед применением метода Ламберта W для решения этой задачи необходимо было определить критическую толщину путем решения неявного уравнения. Ламберт W с легкостью превращает его в явное уравнение для аналитической обработки. ^[21]

Пористая среда [ править ]

Функция Ламберта W использовалась в области течения жидкости в пористой среде для моделирования наклона границы раздела двух гравитационно разделенных жидкостей в однородном наклонном пористом слое постоянного падения и толщины, где более тяжелая жидкость, нагнетаемая в нижний конец, вытесняет жидкость для зажигалок, которая производится с той же скоростью из верхнего конца. Основная ветвь решения соответствует стабильным смещениям, а ветвь -1 применяется, если смещение нестабильно, когда более тяжелая жидкость течет под более легкой. ^[22]

Числа Бернулли и род Тодда [ править ]

Уравнение (связанное с производящими функциями чисел Бернулли и рода Тодда ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

может быть решена с помощью двух вещественных ветвей W ₀ и W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Это приложение показывает, что разность ветвлений функции W может использоваться для решения других трансцендентных уравнений. ^[23]

Статистика [ править ]

Центроид набора гистограмм, определенных относительно симметризованной дивергенции Кульбака – Лейблера (также называемой дивергенцией Джеффри ^[24] ), имеет замкнутую форму с использованием W- функции Ламберта . ^[25]

Точные решения уравнения Шредингера [ править ]

Функция W Ламберта появляется в квантовомеханическом потенциале, который дает пятый - после гармонического осциллятора плюс центробежный, кулоновского плюс обратный квадрат, потенциал Морзе и обратный квадратный корень - точное решение стационарного - размерное уравнение Шредингера в терминах вырожденных гипергеометрических функций. Потенциал задается как

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Особенность решения состоит в том, что каждое из двух фундаментальных решений, составляющих общее решение уравнения Шредингера, задается комбинацией двух конфлюэнтных гипергеометрических функций аргумента, пропорционального ^[26]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

Функция W Ламберта также появляется в точном решении для энергии связанного состояния одномерного уравнения Шредингера с двойным дельта-потенциалом .

Точные решения вакуумных уравнений Эйнштейна [ править ]

В метрическом решении Шварцшильда вакуумных уравнений Эйнштейна функция W необходима для перехода от координат Эддингтона – Финкельштейна к координатам Шварцшильда. По этой причине он также появляется при построении координат Крускала – Секереса .

Резонансы потенциала дельта-оболочки [ править ]

S-волновые резонансы потенциала дельта-оболочки могут быть точно записаны в терминах W- функции Ламберта . ^[27]

Термодинамическое равновесие [ править ]

Если в реакции участвуют реагенты и продукты с теплоемкостью , постоянной с температурой, то константа равновесия K подчиняется

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

для некоторых констант a , b и c . Когда c (равноΔ C _p/р) Не равно нулю, можно найти значение или значения T , где K равно заданное значение следующим образом , где мы используем L для LN T .

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Если a и c имеют одинаковый знак, будет либо два решения, либо ни одного (или одно, если аргумент W точно -1/е). (Верхнее решение может не иметь отношения.) Если они имеют противоположные знаки, будет одно решение.

Закон смещения Вина в D-мерной вселенной [ править ]

Закон смещения Вина выражается как . С и , где - спектральная плотность энергии энергии, находим . Решение показывает, что спектральная плотность энергии зависит от размерности Вселенной. ^[28]${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{B}T}$${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$${\displaystyle \rho _{T}}$${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Переписка AdS / CFT [ править ]

Классические поправки конечного размера к дисперсионным соотношениям гигантских магнонов , одиночных шипов и струн ГКП могут быть выражены через W- функцию Ламберта . ^{[29] [30]}

Эпидемиология [ править ]

В пределе t → ∞ модели SIR соотношение восприимчивых и выздоровевших индивидов имеет решение в терминах W- функции Ламберта . ^[31]

Определение времени полета снаряда [ править ]

Общее время полета снаряда, который испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное его скорости, можно определить в точной форме с помощью W- функции Ламберта .

Обобщения [ править ]

Стандартная функция Ламберта W выражает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений (по x ) вида:

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}(x-r)}$

( 1 )

где a ₀ , c и r - действительные постоянные. Решение

${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$

Обобщения W- функции Ламберта ^{[32] [33] [34]} включают:

• Приложение к общей теории относительности и квантовой механике ( квантовой гравитации ) в более низких измерениях, фактически связующее звено (неизвестное до 2007 г. ^[35] ) между этими двумя областями, где правая часть ( 1 ) заменена квадратичным полиномом в x :

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),}$

( 2 )

где r ₁ и r ₂ - действительные различные константы, корни квадратичного многочлена. Здесь решение - это функция, которая имеет единственный аргумент x, но такие термины, как r _i и a _0, являются параметрами этой функции. В этом отношении обобщение напоминает гипергеометрическую функцию и функцию G Мейера, но принадлежит к другому классу функций. Когда r ₁ = r ₂ , обе части ( 2 ) могут быть факторизованы и сведены к ( 1) и, таким образом, решение сводится к решению стандартной W- функции. Уравнение ( 2 ) выражает уравнение, определяющее поле дилатона , из которого выводится метрика R = T или линейной задачи двух тел гравитации в измерениях 1 + 1 (одно пространственное измерение и одно временное измерение) для случая неравного покоя. массы, а также собственные энергии квантово-механической двухъямной модели дельта-функции Дирака для неравных зарядов в одном измерении.

• Аналитические решения собственных энергий частного случая квантово-механической задачи трех тел , а именно (трехмерной) молекулы-иона водорода . ^[36] Здесь правая часть ( 1 ) заменена отношением многочленов бесконечного порядка по x :

${\displaystyle e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}}$

( 3 )

где г _I и ев _я являюсь различными вещественным постоянными , а х является функцией от собственной энергии и межъядерного расстояние R . Уравнение ( 3 ) с его частными случаями, выраженными в ( 1 ) и ( 2 ), относится к большому классу дифференциальных уравнений с запаздыванием . Понятие «ложной производной» Дж. Харди дает точные кратные корни для частных случаев ( 3 ). ^[37]

Приложения W- функции Ламберта в фундаментальных физических задачах не исчерпаны даже для стандартного случая, выраженного в ( 1 ), как это недавно было замечено в области атомной, молекулярной и оптической физики . ^[38]

Сюжеты [ править ]

• Графики функции Ламберта W на комплексной плоскости
• z = Re ( W ₀ ( x + iy ))

• z = Im ( W ₀ ( x + iy ))

• z = | W ₀ ( x + iy ) |

• Наложение трех предыдущих сюжетов

Числовая оценка [ править ]

Функция W может быть аппроксимирована методом Ньютона , при этом последовательные приближения к w = W ( z ) (так что z = we ^w ) будут

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

Функция W также может быть аппроксимирована методом Галлея ,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

приведено в Corless et al. ^[2] , чтобы вычислить W .

Программное обеспечение [ править ]

Функция Lambert W реализована как LambertW в Maple , lambertw в GP (и glambertW в PARI ), lambertw в Matlab , ^[39] также lambertw в Octave с пакетом specfun , как lambert_w в Maxima, ^[40] как ProductLog (с тихий псевдоним LambertW ) в Mathematica , ^[41] как lambertw в Python scipy«S специальная функция пакет, ^[42] , как LambertW в Perl, ntheory модуля, ^[43] и , как gsl_sf_lambert_W0 , gsl_sf_lambert_Wm1 функции в специальных функциях секции GNU Scientific Library (GSL). В библиотеках Boost C ++ это вызовы lambert_w0 , lambert_wm1 , lambert_w0_prime и lambert_wm1_prime . В R функция Ламберта W реализована как функции lambertW0 и lambertWm1 вlamW пакет. ^[44]

Код C ++ для всех ветвей сложной функции Ламберта W доступен на домашней странице Иштвана Мезо. ^[45]

См. Также [ править ]

• Омега-функция Райта
• Трехчленное уравнение Ламберта
• Теорема обращения Лагранжа
• Экспериментальная математика
• Метод голштинской селедки
• R = T модель
• Π- лемма Росса

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Corless, R .; Gonnet, G .; Заяц, Д .; Джеффри, Д .; Кнут, Дональд (1996). «О W- функции Ламберта » (PDF) . Успехи в вычислительной математике . 5 : 329–359. DOI : 10.1007 / BF02124750 . ISSN  1019-7168 . S2CID  29028411 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 декабря 2010 года . Проверено 10 марта 2007 .
• Chapeau-Blondeau, F .; Монир, А. (2002). "Оценка W- функции Ламберта и применение для генерации обобщенного гауссовского шума с показателем 1/2" (PDF) . IEEE Trans. Сигнальный процесс . 50 (9). DOI : 10.1109 / TSP.2002.801912 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 марта 2012 года . Проверено 10 марта 2004 .
• Фрэнсис; и другие. (2000). «Количественная общая теория периодического дыхания». Тираж . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . DOI : 10.1161 / 01.cir.102.18.2214 . PMID  11056095 . S2CID  14410926 . (Функция Ламберта используется для решения дифференциальной динамики задержки при заболеваниях человека.)
• Хейс, Б. (2005). "Почему W ?" (PDF) . Американский ученый . 93 (2): 104–108. DOI : 10.1511 / 2005.2.104 .
• Рой, Р .; Olver, FWJ (2010), « W- функция Ламберта » , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Стюарт, Шон М. (2005). "Новая элементарная функция для нашей учебной программы?" (PDF) . Австралийский старший математический журнал . 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564 . ЭРИК EJ720055. Выложите резюме .
• Веберик, Д., «Развлечение с функцией Ламберта W ( x )» arXiv: 1003.1628 (2010) ; Веберич, Д. (2012). « W- функция Ламберта для приложений в физике». Компьютерная физика . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode : 2012CoPhC.183.2622V . DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.07.008 . S2CID 315088 . 
• Чатзигеоргиу, И. (2013). «Границы функции Ламберта и их применение для анализа сбоев взаимодействия пользователей». Письма связи IEEE . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . DOI : 10,1109 / LCOMM.2013.070113.130972 . S2CID  10062685 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме функции Ламберта W .

• Цифровая библиотека Национального института науки и технологий - Ламберт В.
• MathWorld - Lambert W -функция
• Вычисление W- функции Ламберта
• Корлесс и др. Заметки об исследовании Lambert W
• Реализация GPL C ++ с итерацией Галлея и Фрича.
• Специальные функции по GNU Scientific Library - GSL