Главный филиал

В математике , А главная ветвь является функцией , которая выбирает одну ветвь ( «срез») продукта в виде многозначной функции . Чаще всего это относится к функциям, определенным на комплексной плоскости .

Примеры [ править ]

Основная ветвь arg (z)

Тригонометрические инверсии [ править ]

Основные ветви используются в определении многих обратных тригонометрических функций , таких как выбор, чтобы определить, что

{\ displaystyle \ arcsin: [- 1, + 1] \ rightarrow \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}

или это

{\ displaystyle \ arccos: [- 1, + 1] \ rightarrow [0, \ pi]}

.

Возведение в степень в дробные степени [ править ]

Более известная основная функция ветвления, ограниченная действительными числами, - это функция положительного действительного числа, возведенного в степень $1/2$ .

Например, возьмем соотношение $y = x 1/2$ , где $x$ - любое положительное действительное число.

Этому соотношению может удовлетворять любое значение $y,$ равное квадратному корню из $x$ (положительное или отрицательное). По соглашению, √ x используется для обозначения положительного квадратного корня из $x$ .

В этом случае функция положительного квадратного корня берется в качестве главной ветви многозначного отношения $x 1/2$ .

Комплексные логарифмы [ править ]

Один из способов увидеть главную ветвь - это конкретно посмотреть на экспоненциальную функцию и логарифм , как они определены в комплексном анализе .

Показательная функция однозначна, где $e z$ определяется как:

{\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {a} \ cos b + ie ^ {a} \ sin b}

где . ${\ displaystyle z = a + ib}$

Однако периодический характер задействованных тригонометрических функций дает понять, что логарифм не так однозначно определен. Один из способов увидеть это - взглянуть на следующее:

{\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ log z) = \ log {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

и

{\ Displaystyle \ OperatorName {Im} (\ log z) = \ OperatorName {atan2} (b, a) +2 \ pi k}

где $k$ - любое целое число, а $atan2$ продолжает значения $arctan (b / a)$ -функции из их диапазона основных значений , соответствующего в диапазон основных значений $arg (z)$ -функции , охватывая все четыре квадранта в комплексной плоскости. . ${\ Displaystyle (- \ пи / 2, \; \ пи / 2]}$ ${\ displaystyle a> 0}$ ${\ Displaystyle (- \ пи, \; \ пи]}$

Любое число $log z,$ определенное такими критериями, обладает тем свойством, что $e log z = z$ .

Таким образом, функция журнала является многозначной функцией (часто называемой «многофункциональной» в контексте комплексного анализа). Разрез ветви, обычно вдоль отрицательной действительной оси, может ограничить мнимую часть таким образом, чтобы она $находилась$ между $-π$ и $π$ . Это избранные основные ценности .

Это основная ветвь функции журнала. Часто это определяется с помощью заглавной буквы $Log z$ .

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Главное отделение» . MathWorld .
Ветви модуля сложных функций от Джона Х. Мэтьюза