Элементарная функция

В математике , элементарная функция является функцией от одной переменных , состоящих из отдельных простых функций.

Элементарные функции , как правило , определяются как сумма , продукт и / или композиция из конечного множества полиномов , рациональных функций , тригонометрических и показательных функций и их обратных функций ( в том числе ArcSin , журнала , х ^{1 / п} ). ^[1]

Элементарные функции были введены Лиувилль в ряде работ от 1833 до 1841. ^{[2] [3] [4]} алгебраическая обработка элементарных функций была начата Джозефом Fels Ритт в 1930 годе . ^[5]

Примеры [ править ]

Основные примеры [ править ]

Элементарные функции ( x ) включают:

• Постоянные функции : и т. Д.${\ Displaystyle 2, \ \ пи, \ е,}$
• Полномочия на : и т.д.${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х, \ х ^ {2}, \ х ^ {3},}$
• Корни и т. Д.${\ displaystyle x {\ text {:}} {\ sqrt {x}}, \ {\ sqrt [{3}] {x}},}$
• Экспоненциальные функции :${\ displaystyle e ^ {x}}$
• Логарифмы :${\ Displaystyle \ журнал х}$
• Тригонометрические функции : и т.д.${\displaystyle \sin x,\ \cos x,\ \tan x,}$
• Обратные тригонометрические функции : и т.д.${\displaystyle \arcsin x,\ \arccos x,}$
• Гиперболические функции : и т.д.${\displaystyle \sinh x,\ \cosh x,}$
• Обратные гиперболические функции : и т.д.${\displaystyle \operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,}$
• Все функции, полученные сложением, вычитанием, умножением или делением любой из предыдущих функций ^[6]
• Все функции, полученные путем компоновки ранее перечисленных функций

Некоторые элементарные функции, такие как корни, логарифмы или обратные тригонометрические функции , не являются целыми функциями и могут быть многозначными .

Составные примеры [ править ]

Примеры элементарных функций включают:

• Сложение, например ( x +1)
• Умножение, например (2 x )
• Полиномиальные функции
• ${\displaystyle {\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle -i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})}$

Последняя функция равна , по обратному косинусу , во всей комплексной плоскости .${\displaystyle \arccos x}$

Все одночлены , многочлены и рациональные функции элементарны. Кроме того , функция абсолютного значения , для реального , также является элементарным ^{[ править ]} , как это может быть выражено в виде композиции мощности и корня : .${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

Неэлементарные функции [ править ]

Пример функции, не элементарный является функцией ошибки

• ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$

факт, который может быть не сразу очевиден, но может быть доказан с помощью алгоритма Риша .

• См. Также примеры в функциях Лиувилля и Неэлементарный интеграл .

Закрытие [ править ]

Непосредственно из определения следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не закрываются лимитами и бесконечными суммами . Важно отметить, что элементарные функции не замкнуты при интегрировании , как показывает теорема Лиувилля , см. Неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы от функций Лиувилля.

Дифференциальная алгебра [ править ]

Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра - это алгебра с дополнительной операцией дифференцирования (алгебраическая версия дифференцирования). Используя операцию вывода, можно записать новые уравнения и использовать их решения в расширениях алгебры. Начиная с полем из рациональных функций , два специальных типа трансцендентных расширений (Логарифм и экспоненциальные) может быть добавлен к области строительства башни , содержащую элементарные функции.

Дифференциальное поле F является поле F ₀ (рациональные функции над рациональными числами Q , например) вместе с выводом картой U  → ∂ U . (Здесь ∂ u - новая функция. Иногда используется обозначение u '.) Вывод отражает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов основного поля вывод является линейным.

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

и удовлетворяет правилу произведения Лейбница

${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.}$

Элемент h является константой, если ∂h = 0 . Если базовое поле превышает рациональные значения, следует проявлять осторожность при расширении поля, чтобы добавить необходимые трансцендентные константы.

Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F является элементарной функцией над F, если функция u

• является алгебраическим над F , или
• является экспонентой , то есть ∂ u = u ∂ a для a ∈ F , или
• это логарифм , то есть ∂ U = ∂  / а для более ∈ F .

(см. также теорему Лиувилля )

См. Также [ править ]

• Выражение в закрытой форме
• Дифференциальная теория Галуа
• Алгебраическая функция
• Трансцендентальная функция

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лиувилль, Жозеф (1833a). "Премьер-воспоминание о детерминации целостных образований" . Journal de l'École Polytechnique . Том XIV: 124–148.
• Лиувилль, Джозеф (1833b). "Второй меморандум о детерминации целостности не ла valeur est algébrique" . Journal de l'École Polytechnique . Том XIV: 149–193.
• Лиувилль, Жозеф (1833c). «Примечание о детерминации целостных образований, не имеющих отношения к валериям, являющимся альгебриками» . Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
• Ритт, Джозеф (1950). Дифференциальная алгебра . AMS .
• Розенлихт, Максвелл (1972). «Интеграция в конечном итоге». Американский математический ежемесячник . 79 (9): 963–972. DOI : 10.2307 / 2318066 . JSTOR  2318066 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Давенпорт, Дж. Х .: Что может означать «понимание функции». В: Kauers, M .; Кербер, М., Майнер, Р .; Виндштайгер, В .: К механизированным помощникам по математике. Springer, Берлин / Гейдельберг 2007, стр. 55-65. [1]

Внешние ссылки [ править ]

• Элементарные функции в энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. "Элементарная функция" . MathWorld .