В математике однородная функция - это функция с мультипликативным масштабированием: если все ее аргументы умножаются на коэффициент , то ее значение умножается на некоторую степень этого коэффициента.
Например, однородная вещественная функция двух переменных x и y является вещественной функцией, удовлетворяющей условиюдля некоторой постоянной k и всех действительных чисел α. Постоянная k называется степенью однородности .
В более общем смысле , если ƒ : V → W является функцией между двумя векторными пространствами над полем F , и к является целым числом , то ƒ называется однородным степени к , если
( 1 )
для всех ненулевых альфа ∈ F и об ∈ V . Когда задействованные векторные пространства над действительными числами , часто используется немного менее общая форма однородности, требующая только, чтобы ( 1 ) выполнялось для всех α> 0.
Однородные функции также могут быть определены для векторных пространств с удаленным началом координат, факт, который используется в определении пучков на проективном пространстве в алгебраической геометрии . В более общем смысле, если S ⊂ V - любое подмножество , инвариантное относительно скалярного умножения на элементы поля («конус»), то однородная функция из S в W все еще может быть определена с помощью ( 1 ).
Примеры
Пример 1
Функция однородна степени 2:
Например, предположим, что x = 2, y = 4 и t = 5. Тогда
- , а также
- .
Линейные функции
Любое линейное отображение ƒ : V → W однородно степени 1, поскольку по определению линейности
для всех а Е F и v ∈ V .
Аналогично, любая полилинейная функция ƒ : V 1 × V 2 × ⋯ × V n → W однородна степени n, поскольку по определению полилинейности
для всех α ∈ F и v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 , ..., v n ∈ V n .
Отсюда следует , что п -го дифференциала некоторой функции ƒ : X → Y между двумя банаховых пространств X и Y является однородным степени п .
Однородные полиномы
Мономы в п переменных определяют однородные функции ƒ : F п → F . Например,
однородна степени 10, так как
Степень - это сумма показателей переменных; в этом примере 10 = 5 + 2 + 3 .
Однородный многочлен является многочленом из суммы одночленов той же степени. Например,
является однородным многочленом степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.
Для однородного полинома степени k можно получить однородную функцию степени 1, возведя его в степень 1 / k . Так, например, для каждого k следующая функция однородна степени 1:
Мин Макс
Для каждого набора весов , следующие функции однородны степени 1:
Поляризация
Полилинейный функция г : V × V × ⋯ × V → F из п -го декартово произведение из V с самим собой в нижележащей области Р приводит к однородной функции ƒ : V → F путем оценки по диагонали:
Полученная функция ƒ является полиномом на векторном пространстве V .
И наоборот, если Р имеет характерный нуль, то дается однородный многочлен ƒ степени п на V , то поляризация из ƒ является функцией полилинейная г : V × V × ⋯ × V → Р на п -м декартово произведение V . Поляризация определяется:
Эти две конструкции, одна из однородного полинома из полилинейной формы, а другая из полилинейной формы из однородного полинома, взаимно обратны друг другу. В конечных размерах, они установить изоморфизм из градуированных векторных пространств с симметричной алгебры из V * в алгебру однородных многочленов на V .
Рациональные функции
Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями за пределами аффинного конуса, вырезанного нулевым множеством знаменателя. Таким образом, если f однороден степени m, а g однороден степени n , то f / g однороден степени m - n вдали от нулей g .
Не примеры
Логарифмы
Натуральный логарифм аддитивно масштабируется и поэтому не является однородным.
Это можно продемонстрировать на следующих примерах: , , а также . Это потому, что не существует такого k , что.
Аффинные функции
Аффинные функции (функция является примером), как правило, не масштабируются мультипликативно.
Положительная однородность
В частном случае векторных пространств над действительными числами понятие положительной однородности часто играет более важную роль, чем однородность в указанном выше смысле.
Пусть X (соответственно Y ) - векторное пространство над полем (соотв. ), где а также обычно будут (или, возможно, просто содержать) реальные числа или комплексные числа . Пусть f : X → Y - отображение. [примечание 1] Мы определяем [примечание 2] следующую терминологию:
- Строгая положительная однородность : f ( rx ) = rf ( x ) для всех x ∈ X и всех положительных вещественных r > 0 .
- Неотрицательная однородность : f ( rx ) = rf ( x ) для всех x ∈ X и всех неотрицательных вещественных r ≥ 0 .
- Неотрицательные вещественные функции с этим свойством можно охарактеризовать как функционал Минковского .
- Это свойство используется в определении сублинейной функции .
- Положительная однородность : обычно определяется как «неотрицательная однородность», но также часто определяется как «строго положительная однородность».
- Это различие обычно [примечание 3] не имеет значения, потому что для функции, оцениваемой в векторном пространстве или поле, неотрицательная однородность совпадает со строгой положительной однородностью: эти понятия идентичны. См. Эту сноску [доказательство 1] для доказательства.
- Действительная однородность : f ( rx ) = r f ( x ) для всех x ∈ X и всех действительных r .
- Это свойство используется при определении реального линейного функционала .
- Однородность : f ( sx ) = s f ( x ) для всех x ∈ X и всех
- Подчеркнем, что это определение зависит от скалярного поля лежащий в основе домена X .
- Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений .
- Сопряженная однородность : f ( sx ) = s f ( x ) для всех x ∈ X и всех
- Если Затем ев , как правило , обозначает комплексное сопряжение из с . Но в более общем плане s может быть образом s при некотором выделенном автоморфизме.
- Наряду с аддитивностью это свойство предполагается в определении антилинейного отображения . Кроме того , предполагается , что один из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например , как скалярное произведение в виде гильбертова пространства ).
Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив равенство f ( rx ) = r f ( x ) на f ( rx ) = | г | f ( x ), и в этом случае мы ставим перед этим определением слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например,
- Абсолютная действительная однородность : f ( rx ) = | г | f ( x ) для всех x ∈ X и всех действительных r .
- Абсолютная однородность : f ( sx ) = | s | f ( x ) для всех x ∈ X и всех
- Это свойство используется в определении полунормы и нормы .
Если k - фиксированное действительное число, то приведенные выше определения можно дополнительно обобщить, заменив равенство f ( rx ) = r f ( x ) на f ( rx ) = r k f ( x ) (или на f ( rx ) = | r | k f ( x ) для условий, использующих абсолютное значение), и в этом случае мы говорим, что однородность « степени k » (обратите внимание, в частности, что все приведенные выше определения имеют « степень 1 »). Например,
- Неотрицательная однородность степени k : f ( rx ) = r k f ( x ) для всех x ∈ X и всех вещественных r ≥ 0 .
- Действительная однородность степени k : f ( rx ) = r k f ( x ) для всех x ∈ X и всех действительных r .
- Абсолютная вещественная однородность степени k : f ( rx ) = | г | k f ( x ) для всех x ∈ X и всех действительных r .
- Абсолютная однородность степени k : f ( sx ) = | s | k f ( x ) для всех x ∈ X и всех
(Ненулевая) непрерывная функция , однородная степени k на непрерывно распространяется на тогда и только тогда, когда k > 0 .
Обобщения
Все определения, данные выше, являются специализацией следующего более общего понятия однородности, в котором X может быть любым множеством (а не векторным пространством), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида .
Моноиды и моноидные действия
Моноид представляет собой пару ( М , ⋅ ) , состоящие из множества М и ассоциативного оператора М × М → M , где есть некоторый элемент S называется единичный элемент , который мы будем обозначать через 1 ∈ M , таким образом, что 1 ⋅ м = т = м ⋅ 1 для всех т ∈ M .
- Обозначения : Если ( M , ⋅ ) является моноид с единицей 1 ∈ M , и если т ∈ M , то мы сообщим м 0 ≝ 1 , м 1 ≝ м , м 2 ≝ м ⋅ м , а в более общем случае для любого положительного целые числа k , пусть m k будет произведением k экземпляров m ; то есть m k ≝ m ⋅ ( m k - 1 ) .
- Обозначение : Обычной практикой (например, в алгебре или исчислении) является обозначение операции умножения моноида ( M , ⋅ ) сопоставлением, что означает, что мы можем писать mn, а не m ⋅ n . Это позволяет нам даже не назначать символ операции умножения моноида. Более того, когда мы используем это обозначение сопоставления, мы автоматически предполагаем, что тождественный элемент моноида обозначен 1 .
Пусть M - моноид с единицей 1 ∈ M , операция которого обозначается сопоставлением, и пусть X - множество. Моноид действие из М на X есть отображение М × Х → Х , который мы будем обозначать также путем сопоставления, таким образом, что 1 х = х = х 1 и ( млн ) х = т ( щ ) для всех х ∈ Х и все м , п ∈ м .
Однородность
Пусть М будет Моноид с единицей 1 ∈ M , пусть X и Y являются множествами, и предположим , что на обоих X и Y существуют определенные действия Моноид M . Пусть k - неотрицательное целое число и пусть f : X → Y - отображение. Тогда мы говорим , что е является однородным степени к над M , если для любого х ∈ X и т ∈ M ,
- е ( мх ) = м к е ( х ) .
Если дополнительно существует функция M → M , обозначенная через m ↦ | м | , Называется абсолютное значение , то мы говорим , что е является абсолютно однородным степени к над M , если для любого х ∈ X и т ∈ M ,
- f ( mx ) = | м | k f ( x ) .
Если мы говорим, что функция однородна над M (соответственно, абсолютно однородна над M ), мы имеем в виду, что она однородна степени 1 над M (соответственно абсолютно однородна степени 1 над M ).
В более общем смысле, обратите внимание, что символы m k могут быть определены для m ∈ M, где k является чем-то отличным от целого числа (например, если M - действительные числа, а k - ненулевое действительное число, тогда m k определяется хотя k не является целым числом). В этом случае мы говорим , что е является однородным степени к над М , если же имеет место равенство:
- е ( х ) = т к е ( х ) для любого х ∈ Х и т ∈ М .
Понятие бытия абсолютно однородна степени к над М обобщена аналогично.
Теорема Эйлера об однородных функциях
Непрерывно дифференцируемые положительно однородные функции характеризуются следующей теоремой:
Теорема Эйлера об однородных функциях. - Предположим, что функцияявляется непрерывно дифференцируемой . Тогда f положительно однородна степени k тогда и только тогда, когда
Доказательство |
---|
Этот результат следует сразу после дифференцирования обеих частей уравнения f (α y ) = α k f ( y ) по α , применения цепного правила и выбора α равным 1 . Обратное доказывается интегрированием. В частности, пусть. С, Таким образом, . Из этого следует. Следовательно,: f положительно однородна степени k . |
Как следствие, предположим, что является дифференцируемой и однородна степени к . Тогда его частные производные первого порядка однородны степени k - 1 . Результат следует из теоремы Эйлера путем коммутации оператора с частной производной.
Теорема может быть специализирована для случая функции одной действительной переменной ( n = 1 ), и в этом случае функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
Это уравнение может быть решено с использованием подхода интегрирующих факторов с решением, где c = f (1) .
Однородные распределения
Непрерывная функция ƒ на однородна степени k тогда и только тогда, когда
для всех тестовых функций с компактной поддержкой ; и ненулевое действительное t . Эквивалентно, делая замену переменной y = tx , однородно степени k тогда и только тогда, когда
для всех t и всех тестовых функций. Последний дисплей позволяет определить однородность распределений . Распределение S однородно степени k, если
для всех ненулевых вещественных t и всех тестовых функций. Здесь угловые скобки обозначают пары между распределениями и тестовыми функциями, а- отображение скалярного деления на действительное число t .
Приложение к дифференциальным уравнениям
Подстановка v = y / x преобразует обыкновенное дифференциальное уравнение
где I и J - однородные функции одной степени, в сепарабельное дифференциальное уравнение
Смотрите также
- Производственная функция
- Функция центра треугольника
- Эллиптическая функция Вейерштрасса
Заметки
- ^ Обратите внимание, в частности, что если затем каждый -значная функция на X также-оценка.
- ^ Для того чтобы такое свойство, как реальная однородность, было четко определено, поля а также оба должны содержать действительные числа. Мы, конечно, автоматически сделаем любые предположения относительно а также необходимы для четкого определения приведенных ниже скалярных произведений.
- ^ Обратите внимание, что иногдаобласть значений f является набором расширенных действительных чисел (что допускает ± ∞ ), и в этом случае умножение 0 ⋅ f ( x ) будет неопределенным, если f ( x ) = ± ∞ . В этом случае условия « r > 0 » и « r ≥ 0 » не обязательно могут использоваться взаимозаменяемо.
- ^ Предположим, что f строго положительно однородна и имеет значения в векторном пространстве или поле. Тогда f (0) = f (2 ⋅ 0) = 2 f (0), поэтому вычитание f (0) с обеих сторон показывает, что f (0) = 0 . Записывая r ≝ 0 , для всех x ∈ X имеем f ( r x ) = f (0) = 0 = 0 f ( x ) = r f ( x ) , что показывает, что f неотрицательно однородно.
Рекомендации
- Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (2-е изд.) (На немецком языке). Springer Verlag. п. 188. ISBN 3-540-09484-9.
Внешние ссылки
- "Однородная функция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Эрик Вайсштейн. "Теорема Эйлера об однородной функции" . MathWorld .