Леонтьевское коммунальное хозяйство

В экономике , особенно в теории потребителей , леонтьевская функция полезности является функцией вида:

${\ displaystyle u (x_ {1}, \ ldots, x_ {m}) = \ min \ left \ {{\ frac {x_ {1}} {w_ {1}}}, \ ldots, {\ frac {x_ {m}} {w_ {m}}} \ right \}}$.

где:

• ${\ displaystyle m}$количество различных товаров в экономике.
• ${\ displaystyle x_ {i}}$(для ) - количество товара в пачке.${\ Displaystyle я \ в 1, \ точки, м}$${\ displaystyle i}$
• ${\ displaystyle w_ {i}}$(для ) - вес товара для потребителя.${\ Displaystyle я \ в 1, \ точки, м}$${\ displaystyle i}$

Эта форма функции полезности была впервые концептуализирована Василием Леонтьевым .

Примеры [ править ]

Леонтьевские функции полезности представляют собой дополнительные блага . Например:

• Предположим, это количество левой обуви и количество правой обуви. Потребитель может использовать только пару обуви. Следовательно, его полезность .${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ Displaystyle \ мин (х_ {1}, х_ {2})}$
• В среде облачных вычислений есть большой сервер, на котором выполняется множество различных задач . Предположим, что для выполнения определенного типа задачи требуется 2 процессора , 3 гигабайта памяти и 4 гигабайта дискового пространства. Полезность пользователя равна количеству выполненных задач. Следовательно, оно может быть представлено следующим образом: .${\ displaystyle \ min ({x _ {\ mathrm {CPU}} \ over 2}, {x _ {\ mathrm {MEM}} \ over 3}, {x _ {\ mathrm {DISK}} \ over 4})}$

Свойства [ править ]

Потребитель с функцией полезности Леонтьева имеет следующие свойства:

• Предпочтения слабо монотонны, но не сильно монотонны: наличие большего количества одного товара не увеличивает полезность, а большее количество всех товаров - увеличивает.
• Предпочтения слабо выпуклые , но не строго выпуклые: сочетание двух эквивалентных связок может быть либо эквивалентным, либо лучшим, чем исходные связки.
• Эти кривые безразличия имеют L-образную форму и их углы определяются весами. Например, для функции углы индифферентных кривых находятся где .${\displaystyle \min(x_{1}/2,x_{2}/3)}$${\displaystyle (2t,3t)}$${\displaystyle t\in [0,\infty )}$
• Потребность потребителя всегда , чтобы получить товар в постоянных соотношениях , определяемых весов, то есть потребитель требует сверток , где определяется доход: . ^[1] Поскольку маршаллианская функция спроса на каждый товар увеличивает доход, все товары являются обычными товарами . ^[2]${\displaystyle (w_{1}t,\ldots ,w_{m}t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t={\mathit {Income}}/(p_{1}w_{1}+\ldots +p_{m}w_{m})}$

Конкурентное равновесие [ править ]

Поскольку леонтьевские полезности не являются строго выпуклыми, они не удовлетворяют требованиям модели Эрроу – Дебре для существования конкурентного равновесия . В самом деле, леонтьевской экономике не гарантируется конкурентное равновесие . Есть ограниченные семейства экономик Леонтьева, которые действительно имеют конкурентное равновесие.

Существует сведение от проблемы нахождения равновесия по Нэшу в биматричной игре к проблеме нахождения конкурентного равновесия в экономике Леонтьева. ^[3] Это имеет несколько последствий:

• Это NP-трудно сказать, имеет ли та или иная семья Леонтьевских экономики обмена, что гарантированно имеет по крайней мере одно равновесие более одного равновесия.
• Это NP-трудно решить , имеет ли Леонтьевский экономика равновесие.

Более того, проблема обмена Леонтьевского рынка не имеет полностью схемы аппроксимации за полиномиальное время, если только PPAD ⊆ P. ^[4]

С другой стороны, есть алгоритмы поиска приблизительного равновесия для некоторых особых экономик Леонтьева. ^{[3] [5]}

Ссылки [ править ]