Маршаллианская функция спроса

В микроэкономике маршаллианская функция спроса потребителя (названная в честь Альфреда Маршалла ) определяет, что потребитель будет покупать в каждой ситуации с ценой и доходом или богатством, при условии, что она идеально решает проблему максимизации полезности . Маршаллианский спрос иногда называют вальрасовским спросом (названный в честь Леона Вальраса ) или функцией нескомпенсированного спроса , потому что первоначальный маршаллианский анализ отвергал эффект богатства .

Согласно задаче максимизации полезности существует L товаров с вектором цены p и вектором выбираемого количества x . У потребителя доход I , а значит, и бюджетный набор доступных пакетов.

${\ Displaystyle B (p, I) = \ {x: \ langle p, x \ rangle \ leq I \},}$

где - внутреннее произведение векторов цены и количества. У потребителя есть функция полезности${\ displaystyle \ langle p, x \ rangle}$

${\ displaystyle u: {\ textbf {R}} _ {+} ^ {L} \ rightarrow {\ textbf {R}}.}$

Маршалловское соответствие спроса потребителя определяется как

${\ displaystyle x ^ {*} (p, I) = \ operatorname {argmax} _ {x \ in B (p, I)} u (x).}$

Уникальность [ править ]

${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$называется соответствием, потому что, как правило, оно может быть многозначным - может быть несколько разных связок, которые достигают одной и той же максимальной полезности. В некоторых случаях существует уникальный набор максимальных полезностей для каждой ситуации с ценой и доходом; тогда - функция, называемая маршаллианской функцией спроса . ${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$

Если у потребителя строго выпуклые предпочтения, а цены на все товары строго положительны, тогда существует уникальный набор, максимизирующий полезность. ^{[1] : 156} Чтобы доказать это, предположим от противного, что есть два разных набора, и , которые максимизируют полезность. Тогда и предпочтительнее. По определению строгой выпуклости смешанное расслоение строго лучше, чем . Но это противоречит оптимальности .${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle 0,5x_ {1} + 0,5x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$

Непрерывность [ править ]

Из теоремы о максимуме следует, что если:

• Функция полезности непрерывна по ,${\ Displaystyle и (х)}$${\ displaystyle x}$
• Соответствие непустое, компактнозначное и непрерывное относительно ,${\ displaystyle B (p, I)}$${\ displaystyle p, I}$

то есть полунепрерывное сверху соответствие. Более того, если единственно, то это непрерывная функция от и . ^{[1] : 156 506}${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle I}$

В сочетании с предыдущим подразделом, если у потребителя есть строго выпуклые предпочтения, то маршаллианский спрос уникален и непрерывен. Напротив, если предпочтения не являются выпуклыми, то маршаллианский спрос может быть неуникальным и непостоянным.

Однородность [ править ]

Маршаллианское соответствие спроса является однородной функцией степени 0. Это означает, что для любой константы${\ displaystyle a> 0,}$

${\ displaystyle x ^ {*} (a \ cdot p, a \ cdot I) = x ^ {*} (p, I).}$

Это интуитивно понятно. Допустим, и измеряются в долларах. Когда , и - это точно такие же величины, измеренные в центах. Очевидно, что изменение единицы измерения не должно повлиять на спрос.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle a = 100}$${\ displaystyle ap}$${\ displaystyle aI}$

Примеры [ править ]

В следующих примерах есть два товара: 1 и 2.

1. Функция полезности имеет форму Кобба – Дугласа :

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {\ beta}.}$

Оптимизация с ограничениями приводит к маршаллианской функции спроса:

${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).}$

2. Функция полезности - это функция полезности CES :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.}$

Затем${\displaystyle x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.}$

В обоих случаях предпочтения строго выпуклые, спрос уникален, а функция спроса непрерывна.

3. Функция полезности имеет линейный вид :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.}$

Функция полезности слабо выпуклая, и, действительно, спрос не уникален: когда потребитель может разделить свой доход в произвольных соотношениях между типами продукта 1 и 2 и получить ту же полезность.${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

4. Функция полезности демонстрирует неуменьшающуюся предельную норму замещения:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.}$

Функция полезности не является вогнутой, и, действительно, спрос не является непрерывным: когда потребитель требует только продукт 1, а когда потребитель требует только продукт 2 (когда соответствие спроса содержит два различных набора: либо купить только продукт 1, либо купить только товар 2).${\displaystyle p_{1}<p_{2}}$${\displaystyle p_{2}<p_{1}}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}}$

См. Также [ править ]

• Функция спроса Хикса
• Проблема максимизации полезности
• Кривая спроса

Ссылки [ править ]

• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507340-1.
• Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 90–93. ISBN 0-03-020831-9.