В экономике и теории потребительского , линейная функция полезности является функцией вида:
или в векторной форме:
где:
- количество различных товаров в экономике.
- вектор размера что представляет собой связку . Элемент представляет собой количество добра в комплекте.
- вектор размера что представляет собой субъективные предпочтения потребителя. Элемент представляет относительную ценность, которую потребитель приписывает товару . Если, это означает, что потребитель думает, что товар совершенно бесполезен. Выше То есть, тем ценнее для потребителя единица данного продукта.
Потребитель с линейной функцией полезности обладает следующими свойствами:
- Предпочтения строго монотонны : наличие большего количества даже одного товара строго увеличивает полезность.
- Предпочтения слабо выпуклые , но не строго выпуклые: сочетание двух эквивалентных связок эквивалентно исходным, но не лучше, чем оно.
- Предельная норма замещения всех товаров постоянна. За каждые два товара:
- .
- Эти кривые безразличия представляют собой прямые линии (при наличии двух товаров) или гиперплоскости (если есть больше товаров).
- Каждая кривая спроса (спрос как функция цены) является ступенчатой функцией : потребитель хочет купить ноль единиц товара, соотношение полезности / цены которого ниже максимального, и хочет купить как можно больше единиц товара, полезность которого Соотношение цена / цена максимальное.
- Потребитель рассматривает товар как совершенный товар-заменитель .
Экономика с линейными коммуникациями
Определите линейную экономику как экономику обмена, в которой все агенты имеют линейные функции полезности. Линейная экономика имеет несколько свойств.
Предположим, что каждый агент имеет первоначальный дар . Это вектор размера в котором элемент представляет собой количество добра который изначально принадлежит агенту . Тогда начальная полезность этого агента.
Предположим, что рыночные цены представлены вектором - вектор размера в котором элемент это цена товара . Тогда бюджет агента является . Пока действует этот вектор цен, агент может позволить себе все и только пакеты.которые удовлетворяют бюджетному ограничению :.
Конкурентное равновесие
Конкурентное равновесие является вектором цен и распределение , в котором требование всех агентов удовлетворены (спрос каждого товара равен его поставка). В линейной экономике он состоит из вектора цен и выделение , давая каждому агенту связку такой, что:
- (общая сумма всех товаров такая же, как и при первоначальном распределении; товары не производятся и не уничтожаются).
- Для каждого агента , его размещение максимизирует полезность агента, , с учетом бюджетных ограничений .
В состоянии равновесия каждый агент имеет только те товары, для которых его соотношение полезности / цены слабо максимальное. Т.е. если агент в силе в равновесии, то для всех остальных благ :
(в противном случае агент захочет обменять некоторое количество товара с хорошим , нарушая равновесие).
Без потери общности можно предположить, что каждое благо желает по крайней мере один агент (в противном случае этот товар можно игнорировать для всех практических целей). Согласно этому предположению, равновесная цена товара должна быть строго положительной (иначе спрос был бы бесконечным).
Наличие конкурентного равновесия
Дэвид Гейл [1] доказал необходимые и достаточные условия существования конкурентного равновесия в линейной экономике. Он также доказал несколько других свойств линейной экономики.
Множество агентов называется самодостаточным, если все члены назначать положительное значение только для товаров, которые принадлежат исключительно членам (другими словами, они присваивают значение к любому продукту который принадлежит участникам за пределами ). Наборназывается сверхсамодостаточным, если кто-то в владеет товаром, который не ценится ни одним членом (включая себя). Теорема существования Гейла гласит, что:
- Линейная экономика имеет конкурентное равновесие тогда и только тогда, когда ни один набор агентов не является сверхсамодостаточным.
Доказательство направления «только если» : предположим, что экономика находится в равновесии с ценой. и распределение . Предполагатьсамодостаточный набор агентов. Затем все членыторгуют только друг с другом, потому что товары, принадлежащие другим агентам, для них бесполезны. Следовательно, равновесное распределение удовлетворяет:
- .
Каждое равновесное распределение эффективно по Парето . Это означает, что в равновесном распределении, каждый товар принадлежит только агенту, который придает этому товару положительную ценность. По только что упомянутому равенству для каждого товара, общая сумма проводится членами в равновесном распределении равно общему количеству проводится членами в первоначальном размещении . Следовательно, при первоначальном размещении, каждый товар принадлежит члену , только если это важно для одного или нескольких членов . Следовательно, не является супер-самодостаточным.
Конкурентное равновесие с равными доходами
Конкурентное равновесие с равными доходами (CEEI) - это особый вид конкурентного равновесия, в котором бюджет всех агентов одинаков. Т.е. на каждые два агента а также :
Распределение CEEI важно, потому что оно гарантированно не вызывает зависти : [2] пакет дает агенту максимальная полезность среди всех комплектов с одинаковой ценой, поэтому, в частности, он дает ему, по крайней мере, такую же полезность, как и комплект .
Одним из способов достижения CEEI является предоставление всем агентам одинаковых начальных ресурсов, т. Е. Для каждого а также :
(если есть агентов, то каждый агент получает ровно количества каждого товара). При таком распределении никакие подмножества агентов не являются самодостаточными. Следовательно, как следствие теоремы Гейла:
- В линейной экономике CEEI существует всегда .
Примеры
Во всех приведенных ниже примерах есть два агента - Алиса и Джордж и два товара - яблоки (x) и гуава (y).
A. Уникальное равновесие : функции полезности:
- ,
- .
Общая сумма пожертвований составляет . Без ограничения общности мы можем нормализовать вектор цен так, чтобы. Какие ценности могутесть в СЕ? Если, то оба агента хотят отдать все свои y за x; если, то оба агента хотят отдать все свои x за y; следовательно, в CE. Если, то Алисе безразлично между x и y, а Джорджу нужен только y. Аналогично, если, то Джордж безразличен, а Алиса хочет только x. Если, то Алисе требуется только x, а Джорджу - только y. Следовательно, выделение CE должно быть [(6,0); (0,6)]. Вектор цен зависит от первоначального размещения. Например, если начальное распределение равно, [(3,3); (3,3)], то оба агента имеют одинаковый бюджет в CE, поэтому. Этот CE по сути уникален: вектор цен можно умножить на постоянный коэффициент, но равновесие CE не изменится.
Б. Отсутствие равновесия . Предположим, Алиса держит яблоки и гуаву, но хочет только яблоки. Джордж держит только гуаву, но хочет и яблок, и гуаву. Набор {Алиса} самодостаточен, потому что Алиса считает, что все товары Джорджа бесполезны. Более того, набор {Алиса} суперсамодостаточен, потому что Алиса держит гуавы, которые для нее ничего не значат. Действительно, конкурентного равновесия не существует: независимо от цены Алиса хотела бы отдать всю свою гуаву за яблоки, но у Джорджа нет яблок, поэтому ее спрос останется невыполненным.
C. Множество равновесий : предположим, что есть два товара и два агента, оба агента присваивают одинаковую стоимость обоим товарам (например, для них обоих,). Затем в состоянии равновесия агенты могут обменять несколько яблок на равное количество гуав, и в результате все равно будет равновесие. Например, если есть равновесие, в котором Алиса держит 4 яблока и 2 гуавы, а Джордж - 5 яблок и 3 гуавы, то ситуация, в которой Алиса имеет 5 яблок и 1 гуаву, а Джордж - 4 яблока и 4 гуавы, также является равновесием.
Но в обоих этих равновесиях общие полезности обоих агентов одинаковы: Алиса имеет полезность 6 в обоих равновесиях, а Джордж имеет полезность 8 в обоих равновесиях. Это не совпадение, как показано в следующем разделе.
Уникальность полезности в конкурентном равновесии
Гейл [1] доказал, что:
- В линейной экономике все агенты безразличны между всеми состояниями равновесия .
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по количеству трейдеров. Когда есть только один трейдер, претензия очевидна. Предположим, что есть два или более трейдеров и рассмотрим два состояния равновесия: равновесие X с вектором цен. и распределение , и равновесие Y с вектором цен и распределение . Следует рассмотреть два случая:
а. Векторы цен совпадают с точностью до константы мультипликатора: для некоторой постоянной . Это означает, что в обоих состояниях равновесия все агенты имеют один и тот же набор бюджетов (они могут позволить себе одинаковые пакеты). В равновесии полезность каждого агента - это максимальная полезность связки в бюджетном наборе; если набор бюджета тот же, то и максимальная полезность в этом наборе.
б. Векторы цен непропорциональны. Это означает, что цена на одни товары изменилась больше, чем на другие. Определите самый высокий рост цен как:
и определим товары с наибольшим ростом цен как товары, цены на которые изменились максимально (это должно быть надлежащее подмножество всех товаров, поскольку векторы цен не пропорциональны):
и определим держателей наибольшего роста цен как тех трейдеров, которые владеют одним или несколькими из этих товаров с максимальным изменением цены в равновесии Y:
В состоянии равновесия агенты владеют только товарами, соотношение полезности / цены которых является слабо максимальным. Итак, для всех агентов в, соотношение полезности / цены всех товаров в слабо максимальна по вектору цен . Поскольку товары в пережили самый высокий рост цен, когда вектор цен их соотношение полезности / цены строго максимальное. Следовательно, в Равновесии X все агенты вхранить только товары из. В равновесии X кто-то должен держать товары, которых нет в; следовательно, должно быть правильным подмножеством агентов.
Итак, в равновесии X -агенты держат только -товаров, а в равновесии Y, -агенты держать все-товары. Это позволяет нам сделать некоторые расчеты бюджета:
С одной стороны, в равновесии X с ценой , то -агенты тратят весь свой бюджет на -товаров, так:
(где это общий первоначальный вклад от блага ).
С другой стороны, в равновесии Y с ценой , то -агенты могут позволить себе все -товаров, так:
Комбинируя эти уравнения, можно сделать вывод, что в обоих состояниях равновесия -агенты торгуют только друг с другом:
- .
Следовательно, агенты не в также торгуют только друг с другом. Это означает, что равновесие X состоит из двух равновесий: одно, которое включает только-агенты и -товаров, а другой - только не--агенты и не--товары. То же самое и с агентом Y. Поскольку является собственным подмножеством агентов, можно применить предположение индукции и теорема доказана.
Расчет конкурентного равновесия
Ивс [3] представил алгоритм нахождения конкурентного равновесия за конечное число шагов, когда такое равновесие существует.
Связанные понятия
Линейные служебные функции - это небольшое подмножество квазилинейных служебных функций.
Товары с линейными полезностями - это особый случай товаров-заменителей .
Предположим, что набор товаров не конечен, а непрерывен. Например, товар - это разнородный ресурс, такой как земля. Тогда функции полезности - это не функции конечного числа переменных, а скорее функции множества, определенные на борелевских подмножествах земли. Естественным обобщением линейной функции полезности для этой модели является аддитивная функция множества . Это обычный случай в теории разделки торта . Распространение результата Гейла на этот случай дается теоремой Веллера .
При определенных условиях порядковое отношение предпочтения может быть представлено линейной и непрерывной функцией полезности. [4]
Рекомендации
- ^ a b c Гейл, Дэвид (1976). «Линейная модель обмена». Журнал математической экономики . 3 (2): 205–209. DOI : 10.1016 / 0304-4068 (76) 90029-X .
- ^ Вариан, Х.Р. (1974). «Справедливость, зависть и эффективность» (PDF) . Журнал экономической теории . 9 : 63–91. DOI : 10.1016 / 0022-0531 (74) 90075-1 . hdl : 1721,1 / 63490 .
- ^ а б Карнизы, Б. Кёртис (1976). «Конечный алгоритм для линейной модели обмена» (PDF) . Журнал математической экономики . 3 (2): 197–203. DOI : 10.1016 / 0304-4068 (76) 90028-8 .
- ^ а б Кандел-Аро, Хуан Карлос; Индуран-Эрасо, Эстебан (1995). «Заметка о линейной полезности». Экономическая теория . 6 (3): 519. DOI : 10.1007 / bf01211791 .
- ^ Жафре, Жан-Ив (1989). «Линейная теория полезности для функций убеждений». Письма об исследованиях операций . 8 (2): 107–112. DOI : 10.1016 / 0167-6377 (89) 90010-2 .