Теорема Веллера
Теорема Веллера [1] является экономической теоремой . В нем говорится, что неоднородный ресурс («торт») можно разделить между n партнерами с разными оценками таким образом, чтобы он был парето-эффективным (PE) и свободным от зависти (EF). Таким образом, можно честно разделить торт без ущерба для экономической эффективности.
Более того, теорема Веллера утверждает, что существует такая цена, что распределение и цена представляют собой конкурентное равновесие (CE) с равными доходами (EI). Таким образом, он связывает две области исследований, которые ранее не были связаны между собой: честное разрезание торта и общее равновесие .
Разрезание ярмарочного торта изучается с 1940-х годов. Существует разнородный делимый ресурс, такой как торт или земельное поместье. Есть n партнеров, у каждого из которых есть личная функция плотности ценности над тортом. Ценность куска для партнера — это интеграл плотности его значения по этому куску (это означает, что ценность — неатомарная мера по торту). Задача разрезания торта без зависти состоит в том, чтобы разделить торт на n непересекающихся частей, по одной части на каждого агента, так что для каждого агента стоимость его куска слабо больше, чем стоимость всех других кусков (поэтому ни один агент не завидует другим агентам). делиться).
Следствием теоремы Дубинса-Спаньера о выпуклости (1961 г.) является то, что всегда существует «консенсусное разделение» - разделение торта на n частей, при котором каждый агент оценивает каждую часть точно как . Консенсусный раздел — это, конечно, EF, но не PE. Более того, другое следствие теоремы Дубинса-Спаньера о выпуклости состоит в том, что, когда по крайней мере два агента имеют разные меры ценности, существует деление, которое дает каждому агенту строго больше, чем . Это означает, что раздел консенсуса не является даже слабо PE.
Свобода от зависти как критерий справедливого распределения была введена в экономическую науку в 1960-х годах и интенсивно изучалась в 1970-х годах. Теоремы Вариана изучают его в контексте разделения однородных товаров . При умеренных ограничениях функций полезности агентов существуют распределения, которые являются как PE, так и EF. Доказательство использует предыдущий результат о существовании конкурентного равновесия при равных доходах (CEEI). Дэвид Гейл доказал аналогичный результат существования для агентов с линейной полезностью .
Разрезание торта является более сложной задачей, чем распределение однородного товара, поскольку торт неоднороден. В некотором смысле торт — это континуум товаров: каждая точка торта — это отдельный товар. Это тема теоремы Веллера.