Конкурентное равновесие (также называемое вальрасовским равновесием ) - это концепция экономического равновесия, введенная Кеннетом Эрроу и Жераром Дебре в 1951 году [1], подходящая для анализа товарных рынков с гибкими ценами и множеством трейдеров и служащая эталоном эффективности в экономической сфере. анализ. Он во многом полагается на предположение о конкурентной среде.где каждый трейдер выбирает количество, которое настолько мало по сравнению с общим объемом торгов на рынке, что его отдельные транзакции не влияют на цены. Конкурентные рынки - идеальный стандарт для оценки других рыночных структур.
Определения
Конкурентное равновесие (CE) состоит из двух элементов:
- Ценовая функция . Он принимает в качестве аргумента вектор, представляющий набор товаров, и возвращает положительное действительное число, которое представляет его цену. Обычно функция цены линейна - она представлена как вектор цен, цена для каждого вида товара.
- Матрица распределения . Для каждого, вектор товаров, выделенных агенту .
Эти элементы должны удовлетворять следующему требованию:
- Удовлетворенность ( свобода от зависти к рынку ): каждый агент слабо предпочитает свой пакет любому другому доступному пакету:
- , если тогда .
Часто существует исходная матрица обеспеченности. : для каждого , является начальным вкладом агента . Тогда CE должен удовлетворять некоторым дополнительным требованиям:
- Очистка рынка : спрос равен предложению, предметы не создаются и не уничтожаются:
- .
- Индивидуальная рациональность : все агенты выигрывают после сделки, чем до сделки:
- .
- Баланс бюджета : все агенты могут позволить себе выделение средств с учетом их обеспеченности:
- .
Альтернативное определение
Альтернативное определение [2] основывается на концепции набора спроса . Учитывая функцию цены P и агент с функцией полезности U, определенный набор товаров x входит в набор спроса агента, если:для любого другого пучка y. Конкурентное равновесие является функцией цены P и матрица распределения X такие , что:
- Пакет, назначенный X каждому агенту, находится в наборе спроса этого агента на вектор цен P;
- Каждый товар с положительной ценой распределяется полностью (т.е. каждый нераспределенный товар имеет цену 0).
Приблизительное равновесие
В некоторых случаях полезно определить равновесие, в котором условие рациональности ослаблено. [3] Учитывая положительное значение (измеряется в денежных единицах, например, долларах), вектор цен и связка , определять как вектор цен, в котором все товары в x имеют ту же цену, что и в P, и все товары, не входящие в x, оцениваются больше, чем их цена в П.
В -конкурентное равновесие , набор x, выделенный агенту, должен входить в набор спроса этого агента для измененного вектора цен,.
Это приближение реалистично, когда есть комиссии на покупку / продажу. Например, предположим, что агент должен заплатитьдолларов за покупку единицы предмета в дополнение к цене этого предмета. Этот агент будет хранить свой текущий пакет до тех пор, пока он находится в наборе спроса для вектора цен.. Это делает равновесие более устойчивым.
Примеры
Делимые ресурсы
Следующие ниже примеры включают экономику обмена с двумя агентами, Джейн и Кельвином, двумя товарами, например бананами (x) и яблоками (y), и без денег.
1. Графический пример . Предположим, что начальное распределение находится в точке X, где у Джейн больше яблок, чем у Кельвина, а у Кельвина больше бананов, чем у Джейн.
Глядя на их кривые безразличия Джейн и Кельвина, мы видим, что это не равновесие - оба агента готовы торговать друг с другом по ценам а также . После торговли и Джейн, и Кельвин переходят к кривой безразличия, которая показывает более высокий уровень полезности, а также . Новые кривые безразличия пересекаются в точке E. Наклон касательной обеих кривых равен -.
И ; . Предельная норма замещения (MRS) Джейн равна доле Кельвина. Таким образом, общество двух индивидов достигает эффективности по Парето , когда невозможно улучшить положение Джейн или Кельвина, не сделав хуже других.
2. Арифметический пример: [4] : 322–323 предположим, что у обоих агентов есть утилиты Кобба – Дугласа :
где являются константами.
Предположим, что начальный капитал равен .
Функция спроса Джейн на x:
Функция спроса Кельвина для x:
Условие рыночной чистоты для x:
Это уравнение дает соотношение равновесных цен:
Мы могли бы сделать аналогичный расчет для y, но в этом нет необходимости, поскольку закон Вальраса гарантирует, что результаты будут такими же. Обратите внимание, что в CE определяются только относительные цены; мы можем нормализовать цены, например, потребовав, чтобы. Тогда мы получим. Но подойдет и любая другая нормализация.
3. Пример несуществования. Предположим, что служебные программы агентов:
и начальный запас равен [(2,1), (2,1)]. В CE каждый агент должен иметь либо только x, либо только y (другой продукт ничего не вносит в полезность, поэтому агент хотел бы его обменять). Следовательно, единственно возможные распределения CE - это [(4,0), (0,2)] и [(0,2), (4,0)]. Поскольку у агентов одинаковый доход, обязательно. Но тогда агент, владеющий 2 единицами y, захочет обменять их на 4 единицы x.
4. Примеры существования и несуществования линейных утилит см. В разделе « Линейные утилиты # Примеры» .
Неделимые предметы
Когда в экономике есть неделимые предметы, принято считать, что есть также деньги, которые делятся. У агентов есть квазилинейные функции полезности : их полезность - это сумма денег, которую они имеют, плюс полезность от связки предметов, которые они хранят.
A. Отдельный элемент: у Алисы есть машина, которую она оценивает как 10. У Боба нет машины, и он оценивает машину Алисы как 20. Возможный CE: цена машины составляет 15, Боб получает машину и платит 15 Алисе. . Это равновесие, потому что рынок очищен, и оба агента предпочитают свой последний пакет исходному пакету. Фактически, каждая цена от 10 до 20 будет ценой CE с одинаковым распределением. Такая же ситуация имеет место, когда автомобиль изначально не принадлежит Алисе, а скорее находится на аукционе, на котором Алиса и Боб являются покупателями: автомобиль переходит к Бобу, и его цена будет где-то между 10 и 20.
С другой стороны, любая цена ниже 10 не является равновесной ценой, потому что существует избыточный спрос (и Алиса, и Боб хотят машину по этой цене), и любая цена выше 20 не является равновесной ценой, потому что существует избыточное предложение ( ни Алиса, ни Боб не хотят машину по такой цене).
Этот пример - частный случай двойного аукциона .
B. Заменители: автомобиль и лошадь продаются на аукционе. Алиса заботится только о транспорте, поэтому для нее это идеальные замены: она получает полезность 8 от лошади, 9 от машины, и если у нее есть оба из них, то она использует только машину, поэтому ее полезность равна 9. Боб получает полезность. из 5 от лошади и 7 от машины, но если у него есть и то, и другое, то его полезность составляет 11, так как ему также нравится лошадь как домашнее животное. В этом случае сложнее найти равновесие (см. Ниже ). Возможное равновесие состоит в том, что Алиса покупает лошадь за 5, а Боб покупает машину за 7. Это равновесие, поскольку Боб не хотел бы платить 5 за лошадь, что даст ему только 4 дополнительных полезности, а Алиса не хотела бы. заплатить 7 за машину, что даст ему только 1 дополнительную полезность.
C. Дополнения : [5] Лошадь и повозка продаются на аукционе. Есть два потенциальных покупателя: И и ИЛИ. И хочет вместе только лошадь и повозку - она получает полезностьот удержания их обоих, но полезность 0 для удержания только одного из них. ИЛИ хочет либо лошадь, либо повозку, но не нуждается в том и другом - он получает полезностьот удержания одного из них и одной и той же полезности для удержания обоих. Здесь, когда, конкурентного равновесия НЕ существует, т. е. никакая цена не очистит рынок. Доказательство : рассмотрите следующие варианты суммы цен (конная цена + цена перевозки):
- Сумма меньше чем . Затем AND хочет оба элемента. Так как цена хотя бы одного предмета меньше чем, OR хочет этот товар, поэтому существует избыточный спрос.
- Сумма ровно . Тогда AND безразлично между покупкой обоих предметов и отказом от покупки какого-либо предмета. Но OR по-прежнему хочет только один товар, поэтому существует либо избыточный спрос, либо избыточное предложение.
- Сумма больше чем . Тогда AND не хочет ничего, а OR по-прежнему хочет не более одного предмета, поэтому имеется избыток предложения.
D. Потребители единичного спроса: Есть n потребителей. У каждого потребителя есть индекс. Есть только один вид товара. Каждый потребитель хочет не более одной единицы товара, что дает ему полезность . Потребители заказываются таким образом, чтобы является слабо возрастающей функцией . Если запас единиц, то любая цена удовлетворение является равновесной ценой, поскольку есть k потребителей, которые либо хотят купить товар, либо безразличны между покупкой и отказом от покупки. Обратите внимание, что увеличение предложения вызывает снижение цены.
Наличие конкурентного равновесия
Делимые ресурсы
Модель Эрроу-Дебре показывает, что CE существует в любой экономике обмена с делимыми благами, удовлетворяющими следующим условиям:
- У всех агентов строго выпуклые предпочтения ;
- Все товары желательны. Это означает, что если есть что-то хорошее выдается бесплатно (), то все агенты хотят от этого добра как можно больше.
Доказательство проводится в несколько этапов. [4] : 319–322
А. Для конкретности предположим, что есть агенты и делимые товары. Нормализовать цены так, чтобы их сумма была равна 1:. Тогда пространство всех возможных цен - это-мерный единичный симплекс в. Мы называем этот симплекс ценовым симплексом .
Б. Пусть быть функцией избыточного спроса . Это функция ценового вектора. когда первоначальный дар остается постоянным:
Известно, что при строго выпуклых предпочтениях агентов маршаллианская функция спроса непрерывна. Следовательно, также является непрерывной функцией .
C. Определите следующую функцию из ценового симплекса себе:
Это непрерывная функция, поэтому по теореме Брауэра о неподвижной точке существует вектор цен такой, что:
так,
D. Используя закон Вальраса и некоторую алгебру, можно показать, что для этого вектора цен нет избыточного спроса ни на один продукт, т. Е.
E. Предположение о желательности подразумевает, что все товары имеют строго положительные цены:
По закону Вальраса ,. Но это означает, что указанное выше неравенство должно быть равенством:
Это значит, что - ценовой вектор конкурентного равновесия.
Обратите внимание, что линейные утилиты только слабо выпуклые, поэтому они не подходят для модели Эрроу – Дебре . Однако Дэвид Гейл доказал, что СЕ существует в любой линейной экономике обмена, удовлетворяющей определенным условиям. Подробнее см. Линейные полезности # Существование конкурентного равновесия .
Алгоритмы вычисления рыночного равновесия описаны в разделе « Расчет рыночного равновесия» .
Неделимые предметы
В приведенных выше примерах конкурентное равновесие существовало, когда предметы были заменяющими, но не тогда, когда предметы были дополняющими. Это не совпадение.
Учитывая функцию полезности для двух товаров X и Y , скажем, что товары являются слабо взаимозаменяемыми (GS), если они либо независимые товары, либо валовые товары-заменители , но не являются дополнительными товарами . Это значит, что. То есть, если цена Y увеличивается, то спрос на X либо остается постоянным, либо увеличивается, но не уменьшается.
Функция полезности называется GS, если в соответствии с этой функцией полезности все пары различных товаров являются GS. При использовании функции полезности GS, если у агента есть спрос, установленный на заданном векторе цен, и цены на некоторые предметы увеличиваются, тогда у агента есть набор спроса, который включает все предметы, цена которых осталась постоянной. [3] [6] Он может решить, что ему не нужна вещь, которая стала дороже; он также может решить, что вместо этого хочет другой предмет (замену); но он может не решить, что ему не нужен третий предмет, цена которого не изменилась.
Когда функции полезности всех агентов являются GS, всегда существует конкурентное равновесие. [7]
Более того, набор оценок GS является самым большим набором, содержащим оценки спроса на единицу, для которых существование конкурентного равновесия гарантируется: для любой оценки негосударственного сектора существуют оценки спроса на единицу, такие, что для этой единицы не существует конкурентного равновесия. оценки спроса в сочетании с данной оценкой НГБ. [8]
Информацию о вычислительной проблеме поиска конкурентного равновесия на рынке особого типа см. В разделе Рынок Фишера # неделимый .
Конкурентное равновесие и эффективность распределения
Согласно фундаментальным теоремам экономики благосостояния , любое распределение CE является эффективным по Парето , и любое эффективное распределение может быть устойчивым за счет конкурентного равновесия. Более того, согласно теоремам Вариана , распределение CE, при котором все агенты имеют одинаковый доход, также не вызывает зависти .
В условиях конкурентного равновесия ценность, которую общество придает благу, эквивалентна стоимости ресурсов, потраченных на его производство ( предельная выгода равна предельным затратам ). Это обеспечивает эффективность распределения : дополнительная ценность, которую общество придает другой единице блага, равна стоимости ресурсов, от которых общество должно отказаться для ее производства. [9]
Обратите внимание, что микроэкономический анализ не предполагает дополнительной полезности и не предполагает каких-либо межличностных компромиссов полезности. Следовательно, под эффективностью понимается отсутствие улучшений по Парето . Он никоим образом не высказывает мнения о справедливости распределения (в смысле справедливого распределения или равноправия ). Эффективное равновесие может быть таким, при котором у одного игрока есть все товары, а у других игроков нет (в крайнем случае), что эффективно в том смысле, что нельзя найти улучшение Парето, что заставляет всех игроков (включая один со всем в данном случае) лучше (для строгого улучшения по Парето) или не хуже.
Теоремы о благосостоянии для неделимого распределения предметов
В случае неделимых объектов у нас есть следующие сильные версии двух теорем о благосостоянии : [2]
- Любое конкурентное равновесие максимизирует общественное благосостояние (сумму полезностей) не только для всех реалистичных распределений предметов, но также и для всех дробных распределений предметов. То есть, даже если бы мы могли назначать доли элемента разным людям, мы не могли бы добиться большего, чем конкурентное равновесие, в котором назначаются только целые элементы.
- Если есть интегральное назначение (без дробных назначений), которое максимизирует общественное благосостояние, то с этим назначением существует конкурентное равновесие.
Поиск равновесия
В случае неделимого распределения предметов, когда функции полезности всех агентов являются GS ( и, таким образом, существует равновесие ), можно найти конкурентное равновесие с помощью аукциона по возрастанию . На аукционе по возрастанию аукционист публикует вектор цен, изначально равный нулю, и покупатели объявляют свой любимый набор по этим ценам. В случае, если каждый предмет желает не более одного участника торгов, предметы делятся, и аукцион завершается. В случае избыточного спроса на один или несколько предметов аукционист увеличивает цену на предмет избыточного спроса на небольшую сумму (например, на доллар), и покупатели снова делают ставки.
В литературе было предложено несколько различных механизмов восходящего аукциона. [3] [7] [10] Такие механизмы часто называют вальрасовским аукционом , вальрасианским аукционом или английским аукционом .
Смотрите также
- Ценообразование без зависти - ослабление вальрасовского равновесия, при котором некоторые товары могут оставаться нераспределенными.
- Рынок Фишера - упрощенная модель рынка с одним продавцом и множеством покупателей, в которой CE может быть эффективно вычислен.
- Эффективность распределения ресурсов
- Экономическое равновесие
- Теория общего равновесия
- Вальрасовский аукцион
Рекомендации
- ^ К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Г. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951).
- ^ a b Лиад Блюмрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Вальрасовское равновесие». В нисане - Ноам; Roughgarden, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF) . С. 277–279. ISBN 978-0521872829.
- ^ а б в Лиад Блюмрозен и Ноам Нисам (2007). «Комбинаторные аукционы / Восходящие аукционы». В нисане - Ноам; Roughgarden, Тим; Тардос, Ева; Вазирани, Виджай (ред.). Алгоритмическая теория игр (PDF) . С. 289–294. ISBN 978-0521872829.
- ^ а б Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7.
- ^ Хасидим, Авинатан; Каплан, Хаим; Мансур, Ишай; Нисан, Ноам (2011). «Неценовые равновесия на рынках дискретных товаров». Материалы 12-й конференции ACM по электронной коммерции - EC '11 . п. 295. arXiv : 1103.3950 . DOI : 10.1145 / 1993574.1993619 . ISBN 9781450302616.
- ^ Термин был введен в: Kelso, AS; Кроуфорд, В. П. (1982). «Подбор должностей, формирование коалиций и валовые заменители». Econometrica . 50 (6): 1483. DOI : 10,2307 / 1913392 . JSTOR 1913392 .
- ^ а б Залив.; Стаккетти, Э. (2000). «Английский аукцион дифференцированных товаров». Журнал экономической теории . 92 : 66–95. DOI : 10,1006 / jeth.1999.2580 .
- ^ Залив.; Stacchetti, E. (1999). «Вальрасовское равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. DOI : 10,1006 / jeth.1999.2531 .
- Перейти ↑ Callan, SJ & Thomas, JM (2007). «Моделирование рыночного процесса: обзор основ», глава 2 в журнале «Экономика и управление окружающей средой: теория, политика и приложения» , 4-е изд., Thompson Southwestern, Mason, OH, USA.
- ^ Бен-Цви, Орен; Лави, Рон; Ньюман, Илан (2013). «Восходящие аукционы и вальрасовское равновесие». arXiv : 1301.1153v3 [ cs.GT ].
- Рихтер, МК; Вонг, KC (1999). «Невычислимость конкурентного равновесия». Экономическая теория . 14 : 1-27. DOI : 10.1007 / s001990050281 .
Внешние ссылки
- Конкурентное равновесие, вальрасовское равновесие и вальрасовский аукцион в Economics Stack Exchange.