Основные теоремы экономики благосостояния

Экономику благосостояния можно связать с « Богатством народов» Адама Смита . Он описывает и количественно оценивает благосостояние общества, а его цель - определить, какие меры политики приводят к оптимальным результатам или следует ли выбрать несколько оптимумов. Есть две фундаментальные теоремы экономики благосостояния . В первые государства, в экономическом равновесии , набор полных рынков , с полной информацией , и в условиях совершенной конкуренции , будет оптимальным по Парето (в том смысле , что нет дальнейшего обмена не сделает один человек лучше , не делая еще в худшем положении). Требования к совершенной конкуренции следующие: ^[1]

Нет никаких внешних эффектов, и каждый актер обладает идеальной информацией .
Фирмы и потребители принимают цены как данность (ни один экономический субъект или группа субъектов не обладают рыночной властью ).

Теорема иногда рассматривается как аналитическое подтверждение принципа « невидимой руки » Адама Смита , а именно, что конкурентные рынки обеспечивают эффективное распределение ресурсов . Однако нет гарантии, что оптимальный по Парето исход рынка является социально желательным, поскольку существует множество возможных способов распределения ресурсов, эффективных по Парето, различающихся по своей желательности (например, один человек может владеть всем, а все остальные - ничем). ^[2]

Вторая теорема утверждает , что любое Парето оптимум может быть поддержана в качестве конкурентного равновесия для некоторых начального набора одаренности. Подразумевается, что может поддерживаться любой желаемый результат, оптимальный по Парето; Эффективность Парето может быть достигнута при любом перераспределении первоначального богатства. Однако попытки исправить распределение могут внести искажения, и поэтому полная оптимальность может оказаться недостижимой при перераспределении. ^[3]

Эти теоремы могут быть визуализированы графически для простой чистой экономики обмена с помощью прямоугольной диаграммы Эджворта .

История основных теорем [ править ]

Адам Смит (1776 г.) [ править ]

Обсуждая импортные тарифы, Адам Смит писал, что:

Каждый человек обязательно трудится, чтобы сделать годовой доход общества настолько большим, насколько он может ... В этом, как и во многих других случаях, невидимая рука ведет его к достижению цели, которая не входила в его намерения ... Преследуя свои собственные интересы, он часто продвигает интересы общества более эффективно, чем когда он действительно намеревается продвигать их. ^[4]

Леон Вальрас (1870) [ править ]

Вальрас писал, что «обмен в условиях свободной конкуренции - это операция, посредством которой все стороны получают максимальное удовлетворение при условии покупки и продажи по единой цене». ^[5]

Ф. Я. Эджворт (1881) [ править ]

Эджворт сделал шаг к первой фундаментальной теореме в своей «Математической психике», рассматривая чистую экономику обмена без производства. Он включил в свой анализ несовершенную конкуренцию. ^[6] Его определение равновесия почти такое же, как и более позднее определение оптимальности Парето: это точка, такая, что ...

в каком бы направлении мы ни делали бесконечно малый шаг, P и Π [полезности покупателя и продавца] не увеличиваются вместе, но, пока одно увеличивается, другое уменьшается. ^[7]

Вместо того чтобы заключить, что равновесие было оптимальным по Парето, Эджворт пришел к выводу, что равновесие максимизирует сумму полезностей сторон, что является частным случаем эффективности Парето:

Похоже, что в соответствии с общими динамическими принципами, примененными к этому частному случаю, равновесие достигается, когда общая энергия удовольствия подрядчиков является максимальной относительной или зависит от условий ... ^[8]

Вильфредо Парето (1906/9) [ править ]

Парето сформулировал первую фундаментальную теорему в своем « Мануале» (1906 г.) и с большей строгостью в его французской редакции (« Мануэль» , 1909 г.). ^[9] Он был первым, кто заявил об оптимальности по собственному критерию или поддержал это утверждение убедительными аргументами. ^{[ необходима цитата ]}

Он определяет равновесие более абстрактно, чем Эджворт, как состояние, которое будет поддерживать себя неопределенно долго в отсутствие внешнего давления ^[10], и показывает, что в экономике обмена это точка, в которой общая касательная к кривым безразличия сторон проходит через эндаумент. . ^[11]

Его определение оптимальности дано в гл. VI:

Мы скажем, что члены коллектива пользуются максимумом телосложения [т. Е. Полезности] в определенном положении, когда невозможно отойти на небольшой шаг, так что телосложение, которым пользуется каждый индивид в коллективе, увеличивается, или такое, что оно уменьшается. [Ранее он определил увеличение индивидуального телосложения как переход на более высокую кривую безразличия.] То есть любой маленький шаг неизбежно увеличивает телосложение одних людей, уменьшая при этом других. ^[12]

Следующий абзац дает нам теорему:

Что касается явлений типа I [то есть совершенной конкуренции], когда равновесие имеет место в точке касания кривых безразличия, члены коллектива пользуются максимумом бесполезности.

Он добавляет, что «строгое доказательство не может быть дано без помощи математики», и ссылается на свое Приложение. ^[13]

Виксель , ссылаясь на свое определение оптимальности, прокомментировал:

При таком определении почти самоочевидно, что этот так называемый максимум достигается в условиях свободной конкуренции, потому что, если бы после того, как обмен был произведен, можно было бы посредством следующей серии прямых или косвенных обменов произвести дополнительное удовлетворение в размере потребности участников, то до такой степени такой продолжающийся обмен, несомненно, имел бы место, и исходное положение не могло быть положением окончательного равновесия. ^[14]

Парето не считал это таким простым. В своем тексте он приводит схематический аргумент, применяемый исключительно к обмену ^[15], и 32-страничный математический аргумент в Приложении ^[16], который Самуэльсон счел «непростым для понимания». ^[17] Парето было затруднительно из-за того, что у него не было концепции границы производства и возможностей , развитие которой частично было связано с его сотрудником Энрико Бароне . ^[18] Его собственные «кривые безразличия к препятствиям», похоже, были ложным путем.

Вскоре после формулировки первой фундаментальной теоремы Парето задает вопрос о распределении:

Рассмотрим коллективистское общество, стремящееся к максимальному совершенствованию своих членов. Проблема делится на две части. Во-первых, у нас есть проблема распределения: как должны распределяться блага внутри общества между его членами? И, во-вторых, как организовать производство, чтобы при таком распределении товаров члены общества получали максимальную свободу?

Его ответ является неформальным предшественником второй теоремы:

Распределив товары в соответствии с ответом на первую проблему, государство должно позволить членам коллектива управлять вторым распределением или управлять им самим, в любом случае убедившись, что оно осуществляется в соответствии с принципами свободной конкуренции. ^[19]

Энрико Бароне (1908) [ править ]

Бароне , соратник Парето, доказал свойство оптимальности совершенной конкуренции ^[20], а именно то, что - допуская экзогенные цены - она максимизирует денежную стоимость прибыли от производственной деятельности, которая представляет собой сумму ценностей досуга, сбережений и товары для потребления, все взятые в нужных пропорциях. ^[21] Он не утверждает, что цены, выбранные рынком, сами по себе являются оптимальными.

Его статья не была переведена на английский до 1935 года. Она получила одобрительное резюме от Самуэльсона ^[22], но, похоже, не повлияла на развитие теорем благосостояния в их нынешнем виде.

Абба Лернер (1934) [ править ]

В 1934 году Лернер повторно сформулировал условие Эджворта для обмена, согласно которому кривые безразличия должны пересекаться как касательные, представив это как свойство оптимальности. Он сформулировал аналогичное условие для производства, а именно, что граница производства и возможностей ( PPF , которому он дал альтернативное название «производственная кривая безразличия») должна быть касательной с кривой безразличия для сообщества. Он был одним из создателей PPF, использовав его в работе по международной торговле в 1932 году ^[23].Он показывает, что эти два аргумента могут быть представлены в одних и тех же терминах, поскольку PPF играет ту же роль, что и кривая безразличия зеркального отображения в ящике Эджворта. Он также упоминает, что кривые не должны быть дифференцируемыми, поскольку тот же результат получается, если они касаются заостренных углов.

Его определение оптимальности было эквивалентно определению Парето:

Если ... возможно переместить одного человека в предпочтительное положение, не перемещая другого человека в худшее положение ... мы можем сказать, что относительный оптимум не достигнут ...

Условие оптимальности производства эквивалентно паре требований, согласно которым (i) цена должна равняться предельным затратам и (ii) выпуск должен быть максимальным при соблюдении (i). Таким образом, Лернер сводит оптимальность к касательной как для производства, так и для обмена, но не говорит, почему подразумеваемая точка на PPF должна быть условием равновесия для свободного рынка. Возможно, он считал это уже достаточно хорошо установленным. ^[24]

Лернер приписывает своему коллеге по Лондонской фондовой бирже Виктору Эдельбергу заслугу за предложение использовать кривые безразличия. Самуэльсон предположил, что Лернер получил свои результаты независимо от работы Парето. ^[25]

Гарольд Хотеллинг (1938) [ править ]

Хотеллинг выдвинул новый аргумент, чтобы показать, что «продажи по предельным издержкам являются условием максимального общего благосостояния» (по определению Парето). Он согласился с тем, что этому условию удовлетворяет совершенная конкуренция, но, как следствие, утверждал, что совершенная конкуренция не может быть оптимальной, поскольку некоторые выгодные проекты не смогут окупить свои постоянные затраты за счет взимания платы по этой ставке (например, в естественной монополии ). ^[26]

Оскар Ланге (1942) [ править ]

Статья Ланге «Основы экономики благосостояния» является источником ставшего уже традиционным сочетания двух теорем, одна из которых управляет рынками, а другая - распределением. Он обосновал определение оптимальности по Парето для первой теоремы ссылкой на отказ Лайонела Роббинса от межличностных сравнений полезности ^[27] и предложил различные способы повторного введения межличностных сравнений для второй теоремы, такие как решения демократически избранного Конгресса.

Его рассуждения - это математический перевод (в множители Лагранжа ) графического аргумента Лернера. Вторая теорема не принимает в его руках привычной формы; скорее он просто показывает, что условия оптимизации для подлинной социальной функции полезности аналогичны условиям для оптимальности по Парето.

Абрам Бергсон и Пол Самуэльсон (1947) [ править ]

Самуэльсон (приписывая суть своих идей Абраму Бергсону ) привел вторую теорему Ланге о благосостоянии приблизительно в ее современную форму. ^[28] Он следует за Ланге в выводе системы уравнений, необходимых для оптимальности по Парето, а затем рассматривает, какие дополнительные ограничения возникают, если экономика требуется для удовлетворения истинной функции общественного благосостояния, находя дополнительную систему уравнений, из которой это следует. что все действия, необходимые для достижения данного этического желаемого, могут принимать форму единовременных налогов или вознаграждений » . ^[29]

Кеннет Эрроу и Жерар Дебре (отдельно, 1951) [ править ]

Две статьи Эрроу и Дебре ^[30] (написанные независимо и опубликованные почти одновременно) были направлены на улучшение строгости первой теоремы Ланге. Их счета относятся к (краткосрочному) производству, а также к обмену, выражая условия для обоих через линейные функции.

Равновесие для производства выражается ограничением, согласно которому значение чистого выпуска производителя, то есть скалярное произведение вектора производства на вектор цен, должно быть максимизировано по производственному набору производителя . Это интерпретируется как максимизация прибыли . Максимальный объем производства фирмы, как и всей экономики в целом, будет достигнут только в том случае, если невидимая рука будет вести сотрудников, каждый из которых стремится к собственному удовлетворению, к достижению цели, которая не является частью их намерений; так же, как и Лернер, Эрроу и Дебро полагались на мощную предпосылку (в их случае, воплощенную в определениях), чтобы проделать большую часть работы.

Равновесие для обмена интерпретируется как означающее, что полезность индивида должна быть максимизирована по отношению к позициям, получаемым от пожертвования посредством обмена, это те позиции, стоимость которых не превышает стоимость его или ее вклада, где стоимость распределения является его положением. скалярный продукт с вектором цен.

Таким образом, концепция равновесия интерпретируется как означающая оптимальность вдоль прямой линии цен. Это новое значение получило специальное название «вальрасианское» или « конкурентное равновесие », и оно не является истинным условием равновесия в смысле баланса сил.

Доказательства Эрроу и Дебре потребовали изменения математического стиля с исчисления на теорию выпуклых множеств . Эрроу мотивировал свою статью ссылкой на необходимость расширения доказательств для охвата равновесий на краю пространства, а Дебре - возможностью того, что кривые безразличия не дифференцируемы. Современные тексты следуют своему стилю доказательства.

Теорема Гринвальда-Стиглица [ править ]

В своей статье 1986 года «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками » Брюс Гринвальд и Джозеф Стиглиц показали, что фундаментальные теоремы благосостояния не верны, если существуют неполные рынки или неполная информация. ^[31] В статье установлено, что конкурентное равновесие экономики с асимметричной информацией в целом даже не ограничивается парето-эффективным. Правительство, сталкивающееся с теми же информационными ограничениями, что и частные лица в экономике, тем не менее может найти меры, улучшающие Парето. ^[32]

Гринвальд и Стиглиц отметили несколько важных ситуаций, в том числе то, как моральный риск может сделать ситуацию неэффективной (например, налог на алкоголь может улучшить парето, поскольку он снижает количество автомобильных аварий ^[33]).

Доказательство первой фундаментальной теоремы [ править ]

Первая основная теорема верна при общих условиях. ^[34] Формальное утверждение выглядит следующим образом: если предпочтения локально не насыщены, и если это ценовое равновесие с трансфертами, то распределение является оптимальным по Парето. ${\ displaystyle (\ mathbf {X ^ {*}}, \ mathbf {Y ^ {*}}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {X ^ {*}}, \ mathbf {Y ^ {*}})}$ Равновесие в этом смысле относится либо только к экономике обмена, либо предполагает, что фирмы эффективны с точки зрения распределения и производства, что, как можно доказать, следует из совершенно конкурентных рынков факторов производства и факторов производства. ^[34]

Учитывая множество видов товаров , с которыми мы работаем в реальном векторном пространстве над , и использовать полужирный для векторных переменных. Например, если бы тогда было трехмерное векторное пространство, и вектор представлял бы набор товаров, содержащий одну единицу масла, 2 единицы печенья и 3 единицы молока. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {G}}$ ${\ displaystyle G = \ lbrace {\ text {масло}}, {\ text {cookies}}, {\ text {milk}} \ rbrace}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {G}}$ ${\ Displaystyle \ langle 1,2,3 \ rangle}$

Предположим, что потребитель i имеет такое богатство , что где - совокупный запас товаров (т. Е. Сумма всех ресурсов потребителя и производителя), а - объем производства фирмы j . ${\ displaystyle w_ {i}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {i} w_ {i} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {e} + \ Sigma _ {j} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {y_ {j} ^ {* }}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y_ {j} ^ {*}}}$

Максимизация предпочтений (из определения ценового равновесия с трансфертами) подразумевает (используя для обозначения отношения предпочтений для потребителя i ): ${\ displaystyle> _ {i}}$

если тогда

\mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}}

\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}}

Другими словами, если пакет товаров предпочтительнее, он должен быть недоступен по цене . Местное недовольство дополнительно подразумевает: $\mathbf {x_{i}^{*}}$ $\mathbf {p}$

если тогда

\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}

\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}}

Чтобы понять почему, представьте себе это, но . Тогда с помощью местной нестыковки мы могли бы найти произвольно близкие к (и поэтому все еще доступные), но которые строго предпочтительнее . Но это результат максимизации предпочтений, так что это противоречие. $\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} <w_{i}$ $\mathbf {x'_{i}}$ $\mathbf {x_{i}}$ $\mathbf {x_{i}^{*}}$ $\mathbf {x_{i}^{*}}$

Распределение - это пара, где и , т. Е. Является «матрицей» (допускающей потенциально бесконечное количество строк / столбцов), i- й столбец которой представляет собой набор товаров, выделенных потребителю i, и является «матрицей», j- й столбец которой представляет собой продукцию фирмы. j . Мы ограничиваем наше внимание возможным распределением, которое представляет собой такое распределение, при котором ни один потребитель не продает, а производитель не потребляет товары, которых им не хватает, т. Е. Для каждого товара и каждого потребителя, изначально обеспеченного потребителями, плюс их чистый спрос должны быть положительными для производителей. $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ $\mathbf {X} \in \Pi _{i\in I}\mathbb {R} ^{G}$ $\mathbf {Y} \in \Pi _{j\in J}\mathbb {R} ^{G}$ $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$

Теперь рассмотрим распределение , в котором доминирует Парето . Это означает, что для всех i и для некоторых i . Из вышесказанного мы знаем для всех i и для некоторых i . Суммируя, находим: $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ $(\mathbf {X^{*}} ,Y^{*})$ $\mathbf {x_{i}} \geq _{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ $\mathbf {x_{i}} >_{i}\mathbf {x_{i}^{*}}$ $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq w_{i}$ $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}$

\Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{i}w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}}

.

Мы знаем , потому что это максимизация прибыли . Но товар нужно так консервировать . Следовательно, это невозможно. Поскольку все распределения с преобладанием Парето невозможны, оно должно быть оптимальным по Парето. ^[34] $\mathbf {Y^{*}}$ $\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}$ $\Sigma _{i}\mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}}$ $\Sigma _{i}\mathbf {x_{i}} >\Sigma _{j}\mathbf {y_{j}}$ $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )$ $(\mathbf {X^{*}} ,\mathbf {Y^{*}} )$

Обратите внимание, что хотя в формулировке теоремы просто предполагается максимизация прибыли, результат полезен / интересен только в той степени, в которой возможно такое максимизирующее прибыль распределение производства. К счастью, для любого ограничения распределения производства и цены замкнутым подмножеством, на котором предельная цена ограничена от 0, например, при любом разумном выборе непрерывных функций для параметризации возможных производств, такой максимум существует. Это следует из того факта, что минимальная предельная цена и конечное богатство ограничивают максимально возможное производство (0 ограничивает минимум), а теорема Тихонова гарантирует, что произведение этих пространств компактов является компактным, обеспечивая нам максимум любой непрерывной функции, которую мы желаем иметь. $\mathbf {Y^{*}}$ $\mathbf {Y^{*}}$

Доказательство второй фундаментальной теоремы [ править ]

Вторая теорема формально утверждает, что при предположении, что каждое производственное множество является выпуклым и каждое отношение предпочтения является выпуклым и локально не насыщенным , любое желаемое эффективное по Парето распределение может поддерживаться как ценовое квазиравновесие с трансфертами. ^[34] Дальнейшие предположения необходимы, чтобы доказать это утверждение о ценовом равновесии с трансфертами. $Y_{j}$ $\geq _{i}$

Доказательство проводится в два этапа: во-первых, мы доказываем, что любое эффективное по Парето распределение может поддерживаться как квазиравновесие цен с трансфертами; затем мы даем условия, при которых квазиравновесие цен также является равновесием цен.

Определим квазиравновесие цен с трансфертами как распределение , вектор цен p и вектор уровней благосостояния w (достигнутых единовременными трансфертами) с (где - совокупный запас товаров и - производство фирмы j ) такой, что: $(x^{*},y^{*})$ $\Sigma _{i}w_{i}=p\cdot \omega +\Sigma _{j}p\cdot y_{j}^{*}$ $\omega$ $y_{j}^{*}$

я. для всех (фирмы максимизируют прибыль, производя )

p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}

y_{j}\in Y_{j}

y_{j}^{*}

II. Для всех i , если то (если строго предпочтительнее, то не может стоить меньше чем )

x_{i}>_{i}x_{i}^{*}

p\cdot x_{i}\geq w_{i}

x_{i}

x_{i}^{*}

x_{i}^{*}

iii. (бюджетное ограничение выполнено)

\Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}

Единственное различие между этим определением и стандартным определением равновесия цен с трансфертами заключается в утверждении ( ii ). Неравенство здесь слабое ( ), что делает его квазиравновесием цен. Позже мы усилим это, чтобы установить равновесие цен. ^[34] Определите как набор всех потребительских пакетов, которые строго предпочитает потребитель i , и пусть V будет суммой всех . выпукла из-за выпуклости отношения предпочтения . V выпукло, потому что каждое выпукло. Точно так же объединение всех производственных множеств плюс совокупный запас выпукло, потому что каждый $p\cdot x_{i}\geq w_{i}$ $V_{i}$ $x_{i}^{*}$ $V_{i}$ $V_{i}$ $\geq _{i}$ $V_{i}$ $Y+\{\omega \}$ $Y_{i}$ $Y_{i}$ выпуклый. Мы также знаем, что пересечение V и должно быть пустым, потому что, если бы это было не так, это означало бы, что существует пакет, который строго предпочитается всеми, а также является доступным. Это исключается парето-оптимальностью . $Y+\{\omega \}$ $(x^{*},y^{*})$ $(x^{*},y^{*})$

Эти два выпуклых непересекающихся множества позволяют применить теорему о разделяющей гиперплоскости . Эта теорема утверждает, что существует вектор цен и число r такие, что для каждого и для каждого . Другими словами, существует вектор цен, определяющий гиперплоскость, идеально разделяющую два выпуклых множества. $p\neq 0$ $p\cdot z\geq r$ $z\in V$ $p\cdot z\leq r$ $z\in Y+\{\omega \}$

Далее мы утверждаем, что если для всех i, то . Это связано с местным nonsatiation: должно быть расслоение сколь угодно близко к , строго предпочтительнее и , следовательно , часть , так . Ограничение as не меняет и слабого неравенства . Другими словами, это в замыкании части V . $x_{i}\geq _{i}x_{i}^{*}$ $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r$ $x'_{i}$ $x_{i}$ $x_{i}^{*}$ $V_{i}$ $p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r$ $x'_{i}\rightarrow x_{i}$ $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r$ $x_{i}$

Используя это соотношение, мы сами в этом убедимся . Мы также знаем , что , так как хорошо. Объединив все это, мы находим это . Мы можем использовать это уравнение, чтобы показать, что оно соответствует определению квазиравновесия цен с трансфертами. $x_{i}^{*}$ $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\geq r$ $\Sigma _{i}x_{i}^{*}\in Y+\{\omega \}$ $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})\leq r$ $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r$ $(x^{*},y^{*},p)$

Потому что и мы знаем, что для любой фирмы j: $p\cdot (\Sigma _{i}x_{i}^{*})=r$ $\Sigma _{i}x_{i}^{*}=\omega +\Sigma _{j}y_{j}^{*}$

p\cdot (\omega +y_{j}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})

за

h\neq j

что подразумевает . Точно так же мы знаем: $p\cdot y_{j}\leq p\cdot y_{j}^{*}$

p\cdot (x_{i}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})\geq r=p\cdot (x_{i}^{*}+\Sigma _{k}x_{k}^{*})

за

k\neq i

что подразумевает . Эти два утверждения, наряду с осуществимостью распределения при оптимуме Парето, удовлетворяют трем условиям квазиравновесия цен с трансфертами, поддерживаемыми уровнями богатства для всех i . $p\cdot x_{i}\geq p\cdot x_{i}^{*}$ $w_{i}=p\cdot x_{i}^{*}$

Теперь обратимся к условиям, при которых квазиравновесие цен также является равновесием цен, другими словами, к условиям, при которых утверждение «если, то » реализует «если, то ». Для этого , чтобы быть правдой нам теперь нужно предполагать , что множество потребления выпукло и отношение предпочтения является непрерывным . Тогда, если существует такой вектор потребления , что и , квазиравновесие цен является равновесием цен. $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ $p\cdot x_{i}\geq w_{i}$ $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ $p\cdot x_{i}>w_{i}$ $X_{i}$ $\geq _{i}$ $x'_{i}$ $x'_{i}\in X_{i}$ $p\cdot x'_{i}<w_{i}$

Чтобы понять, почему, предположим противное и , и существует. Тогда по выпуклости имеем расслоение с . В силу непрерывности для близких к 1 мы имеем . Это противоречие, потому что этот комплект предпочтительнее и стоит меньше . $x_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ $p\cdot x_{i}=w_{i}$ $x_{i}$ $X_{i}$ $x''_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}\in X_{i}$ $p\cdot x''_{i}<w_{i}$ $\geq _{i}$ $\alpha$ $\alpha x_{i}+(1-\alpha )x'_{i}>_{i}x_{i}^{*}$ $x_{i}^{*}$ $w_{i}$

Следовательно, для того, чтобы квазиравновесия цен были ценовыми равновесиями, достаточно, чтобы набор потребления был выпуклым, отношение предпочтений было непрерывным и чтобы всегда существовал «более дешевый» набор потребления . Один из способов гарантировать существование такого пакета - это потребовать, чтобы уровни благосостояния были строго положительными для всех потребителей i . ^[34] $x'_{i}$ $w_{i}$

См. Также [ править ]

Выпуклые предпочтения
Теоремы Вариана - конкурентное равновесие является одновременно эффективным по Парето и свободным от зависти .
Теория общего равновесия

Ссылки [ править ]

^ http://web.stanford.edu/~hammond/effMktFail.pdf
↑ Стиглиц, Джозеф Э. (1994), Куда идет социализм? , MIT Press, ISBN 978-0-262-69182-6
^ См. Обсуждение Mas-Colell et al., Стр. 556 f.
↑ «Богатство народов» (1776 г.), Книга IV, Глава II.
^ Перефразировано из Leçon 18 (первое издание) из Éléments . 'L'échange de deux marchandises entre elles sur un marché régi par la libre concurrence est une opération par laquelle tous les porteurs soit de l'une des deux marchandises, soit de l'autre, soit de toutes les deux, obtiennent la plus grande Удовлетворение различных товаров, совместимых с соблюдением всех условий, предъявляемых к маршантам и маршантам, вендент и приемы маршанадов, совершенных в соответствии с пропорциями коммуны и идентичности ». Согласно Викселлу, этот отрывок перенесен в Лекон 10 в 4-м изд.
^ Пол Самуэльсон поддержал его, сказав, что локус паретианских оптимумов может быть получен при многосторонней монополии. «Основы экономического анализа» (1947), стр. 214.
^ стр. 21.
^ стр. 25. См. Также Джона Криди, «Фрэнсис Исидро Эджворт и Филип Генри Викстид» (2010 г.), https://core.ac.uk/reader/6561724 .
^ Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906) / Manuel d'Economie Politique (1909).
^ Manuale / Manuel Chap III, §22.
^ §116.
^ §33.
^ §35.
^ К. Викселл, 'Лекции по политической экономии' I (1906), англ. тр. (1934), стр. 82 ф.
^ §35.
^ Manuel , §109 конец.
^ П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 212.
↑ Томас М. Хамфри, «Священная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).
^ Эта и предыдущая цитата были взяты из §53 и §55 гл. VI.
^ Е. Бароне, 'Il Министро делла Produzione Нелло Стато Colletivistica' (1908).
^ Фактически, он делит эту стоимость на цену произвольно выбранного предмета, но, поскольку цены предполагаются фиксированными, это просто вносит несущественную асимметрию.
^ П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 214–217.
^ А. Лернер, «Диаграммное представление условий затрат в международной торговле» (1932), цитируется у Томаса М. Хамфри «Священная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).
^ Например, «Ничего, кроме себестоимости [т.е. предельной стоимости], обязательно и непосредственно входитв цену предложения на короткие периоды»: Альфред Маршалл , «Принципы экономики», Vv6 (с консультацией к восьмому изданию). И ср. «Предварительный вывод Кнута Викселя о том, что свободная конкуренция обычно является достаточным условием для обеспечения максимизации производства», «Лекции по политической экономии» I (1906), англ. тр. (1934), стр. 141.
^ П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 217.
^ Х. Хотеллинг, «Общая проблема благосостояния в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных услуг» (1938), Econometrica, pp. 260, 267.
^ «Вся та часть теории государственных финансов, которая имеет дело с« общественной полезностью », проходит через доску»: Л. Роббинс, « Эссе о природе и значении экономической науки » (1932), стр. 125. Дж. А. Кинг прокомментировал, что «Эта защита привилегий требовала неубедительно солипсистского подхода к проблеме сравнения душевных состояний разных людей ...» («Николас Калдор» (2009), цитируется в обзоре Харви Грэма 2011 года). .
^ П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 219–249.
^ стр. 245.
^ К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Г. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951).
^ Гринвальд, Брюс С .; Стиглиц, Джозеф Э. (1986). «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками» . Ежеквартальный журнал экономики . 101 (2): 229–264. DOI : 10.2307 / 1891114 . ISSN 0033-5533 . Дата обращения 14 ноября 2020 .
^ Авинаш Диксит , 'Whither Гринвальд-Стиглица? (2003).
^ Гринвальд и Стиглиц (1986), стр. 238.
^ a b c d e f Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995), «Глава 16: Равновесие и его основные свойства благосостояния», Микроэкономическая теория , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510268-0

[1] ttp://web.stanford.edu/~hammond/effMktFail.pdf

[2] Стиглиц, Джозеф Э. (1994), Куда идет социализм? , MIT Press, ISBN 978-0-262-69182-6

[3] См. Обсуждение Mas-Colell et al., Стр. 556 f.

[4] «Богатство народов» (1776 г.), Книга IV, Глава II.

[5] Перефразировано из Leçon 18 (первое издание) из Éléments . 'L'échange de deux marchandises entre elles sur un marché régi par la libre concurrence est une opération par laquelle tous les porteurs soit de l'une des deux marchandises, soit de l'autre, soit de toutes les deux, obtiennent la plus grande Удовлетворение различных товаров, совместимых с соблюдением всех условий, предъявляемых к маршантам и маршантам, вендент и приемы маршанадов, совершенных в соответствии с пропорциями коммуны и идентичности ». Согласно Викселлу, этот отрывок перенесен в Лекон 10 в 4-м изд.

[6] Пол Самуэльсон поддержал его, сказав, что локус паретианских оптимумов может быть получен при многосторонней монополии. «Основы экономического анализа» (1947), стр. 214.

[7] стр. 21.

[8] стр. 25. См. Также Джона Криди, «Фрэнсис Исидро Эджворт и Филип Генри Викстид» (2010 г.), https://core.ac.uk/reader/6561724 .

[9] Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906) / Manuel d'Economie Politique (1909).

[10] Manuale / Manuel Chap III, §22.

[11] §116.

[12] §33.

[13] §35.

[14] К. Викселл, 'Лекции по политической экономии' I (1906), англ. тр. (1934), стр. 82 ф.

[15] §35.

[16] Manuel , §109 конец.

[17] П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 212.

[18] Томас М. Хамфри, «Священная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).

[19] Эта и предыдущая цитата были взяты из §53 и §55 гл. VI.

[20] Е. Бароне, 'Il Министро делла Produzione Нелло Стато Colletivistica' (1908).

[21] Фактически, он делит эту стоимость на цену произвольно выбранного предмета, но, поскольку цены предполагаются фиксированными, это просто вносит несущественную асимметрию.

[22] П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 214–217.

[23] А. Лернер, «Диаграммное представление условий затрат в международной торговле» (1932), цитируется у Томаса М. Хамфри «Священная диаграмма теоретика торговли: ее происхождение и раннее развитие» (1988).

[24] Например, «Ничего, кроме себестоимости [т.е. предельной стоимости], обязательно и непосредственно входитв цену предложения на короткие периоды»: Альфред Маршалл , «Принципы экономики», Vv6 (с консультацией к восьмому изданию). И ср. «Предварительный вывод Кнута Викселя о том, что свободная конкуренция обычно является достаточным условием для обеспечения максимизации производства», «Лекции по политической экономии» I (1906), англ. тр. (1934), стр. 141.

[25] П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 217.

[26] Х. Хотеллинг, «Общая проблема благосостояния в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных услуг» (1938), Econometrica, pp. 260, 267.

[27] «Вся та часть теории государственных финансов, которая имеет дело с« общественной полезностью », проходит через доску»: Л. Роббинс, « Эссе о природе и значении экономической науки » (1932), стр. 125. Дж. А. Кинг прокомментировал, что «Эта защита привилегий требовала неубедительно солипсистского подхода к проблеме сравнения душевных состояний разных людей ...» («Николас Калдор» (2009), цитируется в обзоре Харви Грэма 2011 года). .

[28] П. А. Самуэльсон, «Основы экономического анализа» (1947), стр. 219–249.

[29] стр. 245.

[30] К. Эрроу, «Расширение основных теорем классической экономики благосостояния» (1951); Г. Дебре, «Коэффициент использования ресурсов» (1951).

[31] Гринвальд, Брюс С .; Стиглиц, Джозеф Э. (1986). «Внешние эффекты в экономике с несовершенной информацией и неполными рынками» . Ежеквартальный журнал экономики . 101 (2): 229–264. DOI : 10.2307 / 1891114 . ISSN 0033-5533 . Дата обращения 14 ноября 2020 .

[32] Авинаш Диксит , 'Whither Гринвальд-Стиглица? (2003).

[33] Гринвальд и Стиглиц (1986), стр. 238.

[AndreuMas95-34] Мас-Колелл, Андреу ; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995), «Глава 16: Равновесие и его основные свойства благосостояния», Микроэкономическая теория , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510268-0

[1]