Рынок Фишера

Рынок Фишера - это экономическая модель, приписываемая Ирвингу Фишеру . В его состав входят следующие ингредиенты: ^[1]

• Набор делимых продуктов с заранее заданными запасами (обычно нормализованный, так что запас каждого товара равен 1).${\ displaystyle m}$
• Набор покупателей.${\ displaystyle n}$
• Для каждого покупателя есть заранее определенный денежный бюджет .${\ Displaystyle я = 1, \ точки, п}$${\ displaystyle B_ {i}}$

У каждого товара есть цена ; цены определяются методами, описанными ниже. Цена пакета товаров - это сумма цен товаров в пакете. Пакет представлен вектором , где - количество товара . Так что цена связки такая .${\ displaystyle j}$${\ displaystyle p_ {j}}$${\ Displaystyle х = х_ {1}, \ точки, х_ {м}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle р (х) = \ сумма _ {j = 1} ^ {m} p_ {j} \ cdot x_ {j}}$

Пакет доступен для покупателя, если его цена не превышает бюджета покупателя. Т.е. комплект доступен покупателю, если .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle р (х) \ leq B_ {я}}$

У каждого покупателя есть отношение предпочтения по пакетам, которое может быть представлено функцией полезности. Функция полезности покупателя обозначена . Набор спроса покупателя - это набор доступных пакетов, которые максимизируют полезность покупателя среди всех доступных пакетов, то есть: ${\ displaystyle i}$${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle {\text{Demand}}_{i}(p):=\arg \max _{p(x)\leq B_{i}}u_{i}(x)}$.

Конкурентное равновесие (CE) является цена-вектор , в котором можно выделить, к каждому агенту, пучок из его спроса-набора, так что общее распределение точно равно поставок продукции. Соответствующие цены называются рыночными ценами . Основная проблема при анализе рынков Fisher - это поиск CE. ^{[2] : 103–105}${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{m}}$

Связанные модели [ править ]

• в модели рынка Фишера бюджет не имеет внутренней стоимости - он полезен только для покупки продуктов. Это контрастирует с вальрасовским рынком , на котором агенты имеют квазилинейные полезности , деньги сами по себе являются продуктом и имеют собственную ценность.
• Рынок Эрроу – Дебре является обобщением модели Фишера, в которой каждый агент может быть как покупателем, так и продавцом. Т.е. каждый агент приходит с набором продуктов, а не только с деньгами.
• Рынки Айзенберга – Гейла - еще одно обобщение линейного рынка Фишера. ^[3]

Рынок Фишера с делимыми предметами [ править ]

Когда все товары на рынке делимы, CE всегда существует. Это можно доказать, используя знаменитую лемму Шпернера . ^{[4] : 67}

Предположим, что количества нормализованы так, что есть 1 единица на продукт, а бюджеты нормализованы так, что их сумма равна 1. Также предположим, что все продукты хороши, т. Е. Агент всегда строго предпочитает иметь больше каждого продукта, если он могу себе это позволить.

Рассмотрим стандартный симплекс с m вершинами. Каждая точка в этом симплексе соответствует вектору цен, где сумма всех цен равна 1; следовательно, цена всех товаров вместе равна 1.

В каждом векторе цен p мы можем найти набор спроса каждого агента, затем вычислить сумму всех наборов спроса, а затем найти общую цену этого совокупного спроса. Поскольку цена каждого набора спроса не превышает бюджета агента, а сумма бюджетов не превышает 1, цена совокупного спроса не превышает 1. Следовательно, для каждого p существует по крайней мере один продукт, для которого общий спрос не превышает 1. Назовем такой товар «дорогой товар» в п.

Триангулируйте симплекс с m -вершинами и пометьте каждую вершину триангуляции p индексом произвольного дорогостоящего продукта в p . На каждой стороне симплекса некоторые продукты стоят 0. Поскольку все продукты хороши, спрос каждого агента на продукт, который стоит 0, всегда равен 1; следовательно, продукт, который стоит 0, никогда не может считаться дорогим. Следовательно, указанная выше разметка удовлетворяет граничному условию Спернера.

По лемме Спернера существует бэби-симплекс, вершины которого помечены m разными метками. Поскольку функция спроса непрерывна, с помощью все более тонкой триангуляции мы находим единственный вектор цен p *, в котором все продукты являются дорогими, т. Е. Совокупный спрос на каждый продукт не превышает 1.

Но поскольку сумма всех бюджетов равна 1, совокупный спрос на каждый продукт в p * должен быть ровно 1. Следовательно, p * - это вектор рыночных цен.

Хотя лемму Спернера можно использовать для нахождения CE, она очень неэффективна в вычислительном отношении. Существуют более эффективные методы: см. Расчет рыночного равновесия .

Рынки Fisher с неделимыми предметами [ править ]

Когда товары на рынке неделимы, существование CE не гарантируется. Решение о том, существует ли CE, является сложной вычислительной задачей.

Дэн и др. ^[5] изучали рынок, на котором каждый агент приходит с начальным капиталом (а не с начальным доходом), и все оценки являются аддитивными. Они доказали, что решить, существует ли CE, NP-сложно даже с 3 агентами. Они представили алгоритм аппроксимации, который ослабляет условия CE двумя способами: (1) набор, выделенный каждому агенту, оценивается как минимум в 1-эпсилон от оптимума с учетом цен, и (2) спрос не менее 1-эпсилон-кратного поставки.

Бувере и Леметр ^[6] изучали CE из равных доходов (CEEI) как правило для справедливого распределения предметов. Они связали это с четырьмя другими критериями справедливости, предполагая, что у всех агентов есть аддитивные функции оценки. Они спросили, какова вычислительная сложность определения существования CEEI.

На этот вопрос вскоре ответил Азиз ^[7], который доказал, что задача является слабо NP-сложной, когда есть два агента и m элементов, и сильно NP-трудной, когда есть n агентов и 3 n элементов. Он также представил более сильное условие, называемое CEEI-FRAC, которое, что интересно, легче проверить - его можно проверить за полиномиальное время. Милтерсен, Хоссейни и Бранзей ^[8] доказали, что даже проверка того, является ли данное распределение CEEI, сопряжена с NP-трудностью. Они изучали CEEI также для целенаправленных агентов. В этом случае проверка того, является ли данное распределение CEEI, является полиномиальным, но проверка того, существует ли CEEI, является совместно NP-полной.

Хайнен и др. ^[9] расширили работу Бувере и Леметра с аддитивных до k-аддитивных функций полезности, в которых каждый агент сообщает значение для пакетов, содержащих не более k элементов, а значения более крупных пакетов определяются путем сложения и вычитания значения базовых пакетов.

Будиш ^[10] изучил наиболее общие условия, в которых агенты могут иметь произвольные отношения предпочтения перед связками. Он изобрел механизм приблизительного конкурентного равновесия на основе равных доходов , который ослабляет условия CEEI двумя способами: (1) доходы агентов не совсем равны и (2) небольшое количество предметов может оставаться нераспределенным. Он доказал, что приближенный CEEI всегда существует (хотя Осман и др. ^[11] недавно доказали, что вычисление приблизительного CEEI завершено с помощью PPAD ).

Бармен и Кришнамурти ^[12] изучают рынки Фишера, на которых все агенты имеют дополнительные полезности. Они показывают, что дробный CE (где некоторые товары разделены) всегда можно округлить до целого CE (где товары остаются неделимыми), изменяя бюджеты агентов. Изменение в каждом бюджете может достигать максимальной цены товара в дробной CE.

Бабайофф, Нисан и Талгам-Коэн ^[13] изучали, существует ли CE, когда доходы являются общими , т. Е. Не удовлетворяют конечному набору равенств. Другими словами: существует ли CE почти для всех векторов доходов. Они доказали существование трех товаров, четырех товаров и двух агентов. Они доказали отсутствие пяти товаров и двух агентов. Позже было доказано, что с четырьмя товарами и тремя агентами CE может не существовать, когда оценки неаддитивны, но всегда существует, когда оценки аддитивны. ^[14]

См. Также [ править ]

• Общее равновесие

Ссылки [ править ]