В математике аддитивность (в частности, конечная аддитивность) и сигма-аддитивность (также называемая счетной аддитивностью) функции (часто меры ), определенной на подмножествах данного набора, являются абстракциями того, как интуитивно понятные свойства размера ( длины , площади , объема ) объекта установить сумму при рассмотрении нескольких объектов. Аддитивность - более слабое условие, чем σ-аддитивность; то есть σ-аддитивность влечет аддитивность.
Аддитивные (или конечно аддитивные) функции множества
Позволять - функция, определенная на алгебре множеств со значениями в [−∞, + ∞] (см. расширенную строку вещественных чисел ). Функцияназывается аддитивным, или конечно аддитивным, если всякий раз, когда A и B являются непересекающимися множествами в, надо
(Следствием этого является то, что аддитивная функция не может принимать значения одновременно и −∞, и + ∞, поскольку выражение ∞ - ∞ не определено.) °
С помощью математической индукции можно доказать, что аддитивная функция удовлетворяет
для любой непересекающиеся множества в .
σ-аддитивные функции множества
Предположим, что является σ-алгеброй . Если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств в , надо
- ,
мы говорим, что μ счетно аддитивна или σ-аддитивна.
Любая σ-аддитивная функция является аддитивной, но не наоборот, как показано ниже.
τ-аддитивные функции множества
Предположим, что помимо сигма-алгебры , имеем топологию τ. Если для любого ориентированного семейства измеримых открытых множеств ⊆ ∩ τ,
- ,
мы говорим, что μ является τ-аддитивным. В частности, если μ внутренне регулярное (относительно компактов), то оно τ-аддитивно. [1]
Характеристики
Основные свойства
К полезным свойствам аддитивной функции μ можно отнести следующее:
- Либо μ (∅) = 0, либо μ присваивает ∞ всем наборам в своей области определения, либо μ присваивает −∞ всем наборам в своей области определения.
- Если μ неотрицательно и A ⊆ B , то μ ( A ) ≤ μ ( B ).
- Если A ⊆ B и μ ( B ) - μ ( A ) определено, то μ ( B \ A ) = μ ( B ) - μ ( A ).
- Для A и B имеем μ ( A ∪ B ) + μ ( A ∩ B ) = μ ( A ) + μ ( B ).
Примеры
Примером σ-аддитивной функции является функция μ, определенная над множеством степеней действительных чисел , такая что
Если является последовательностью непересекающихся множеств действительных чисел, то либо ни одно из множеств не содержит 0, либо ровно одно из них содержит. В любом случае равенство
держит.
Дополнительные примеры σ-аддитивных функций см. В разделах «Мера» и « Мера со знаком».
Аддитивная функция, не являющаяся σ-аддитивной
Пример аддитивной функции, которая не является σ-аддитивной, получается при рассмотрении μ, определенной над множествами Лебега действительных чисел формулой
где λ обозначает меру Лебега, а lim - предел Банаха .
Аддитивность этой функции можно проверить, используя линейность предела. То, что эта функция не является σ-аддитивной, следует из рассмотрения последовательности непересекающихся множеств
для n = 0, 1, 2, ... Объединение этих множеств является положительными действительными числами , и μ, примененный к объединению, тогда равен единице, в то время как μ, примененный к любому из отдельных наборов, равен нулю, поэтому сумма μ ( A n ) также равен нулю, что доказывает контрпример.
Обобщения
Можно определить аддитивные функции со значениями в любом аддитивном моноиде (например, в любой группе или, чаще, в векторном пространстве ). Для сигма-аддитивности необходимо дополнительно, чтобы на этом множестве было определено понятие предела последовательности . Например, спектральные меры - это сигма-аддитивные функции со значениями в банаховой алгебре . Другой пример, также из квантовой механики, - положительная операторная мера .
Смотрите также
- подписанная мера
- мера (математика)
- аддитивная карта
- субаддитивная функция
- σ-конечная мера
- Теорема Хана – Колмогорова.
- τ-аддитивность
Эта статья включает материал из дополнения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
Рекомендации
- ^ Теория меры Фремлина Д.Х. , Том 4 , Торрес Фремлин, 2003.