Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений

В математике , то спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений является частью спектральной теории , связанной с определением спектра и разложения по собственным функциям , связанного с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением . В своей диссертации Герман Вейль обобщил классическую теорию Штурма – Лиувилля на конечном отрезке до дифференциальных операторов второго порядка.с особенностями на концах интервала, возможно полубесконечного или бесконечного. В отличие от классического случая, спектр может больше не состоять только из счетного набора собственных значений, но может также содержать непрерывную часть. В этом случае разложение по собственным функциям включает интеграл по непрерывной части по отношению к спектральной мере , задаваемый Титчмарш - кодаировая формула . Теория была введена в окончательной упрощенной форме для сингулярных дифференциальных уравнений даже степени Кодаирой и другие, используя фон Неймана «s спектральная теорема . Он нашел важные приложения в квантовой механике , теории операторов игармонический анализ на полупростых группах Ли .

Введение [ править ]

Спектральная теория для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на компактном интервале была разработана Жаком Шарлем Франсуа Штурмом и Жозефом Лиувиллем в девятнадцатом веке и теперь известна как теория Штурма – Лиувилля . На современном языке это применение спектральной теоремы для компактных операторов из - за Дэвида Гильберта . В своей диссертации, опубликованной в 1910 году, Герман Вейль распространил эту теорию на обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с особенностямив конечных точках интервала, теперь может быть бесконечным или полубесконечным. Он одновременно разработал спектральную теорию, адаптированную к этим специальным операторам, и ввел граничные условия в терминах своей знаменитой дихотомии между предельными точками и предельными окружностями .

В 1920-х годах Джон фон Нейман установил общую спектральную теорему для неограниченных самосопряженных операторов , которую Кунихико Кодаира использовал для оптимизации метода Вейля. Кодаира также обобщил метод Вейля на сингулярные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка и получил простую формулу для спектральной меры . Та же самая формула была независимо получена Э. К. Титчмаршем в 1946 году (научное общение между Японией и Соединенным Королевством было прервано Второй мировой войной ). Титчмарш следовал методу немецкого математика Эмиля Хильба., который вывел разложения по собственным функциям, используя теорию комплексных функций вместо теории операторов . Другие методы, избегающие спектральной теоремы, были позже независимо разработаны Левитаном, Левинсоном и Йошидой, которые использовали тот факт, что резольвента сингулярного дифференциального оператора может быть аппроксимирована компактными резольвентами, соответствующими задачам Штурма – Лиувилля для собственных подынтервалов. Другой метод нашел Марк Григорьевич Крейн ; его использование функционалов направления было впоследствии обобщено Израилем Глазманом на произвольные обыкновенные дифференциальные уравнения четного порядка.

Вейль применил свою теорию к Гаусс «S гипергеометрического дифференциального уравнения , получая таким образом далеко идущее обобщение преобразования формулы Gustav Ferdinand Мелера (1881) для дифференциального уравнения Лежандра , переоткрыт русского физика В. Фока в 1943 году, и , как правило называется преобразованием Мелера – Фока . Соответствующий обыкновенный дифференциальный оператор является радиальной частью оператора Лапласа на 2-мерном гиперболическом пространстве . В целом, теорема Планшереля для SL (2, R) из Harish Chandra и Гельфанде- Наймарк может быть выведен из теории Вейля для гипергеометрического уравнения, как и теория сферических функций для групп изометрий гиперболических пространств высшей размерности. Позднее развитие Хариш Чандры теоремы Планшереля для общих вещественных полупростых групп Ли сильно повлияло на методы, разработанные Вейлем для разложений по собственным функциям, связанных с сингулярными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Не менее важно, что теория заложила математические основы для анализа уравнения Шредингера и матрицы рассеяния в квантовой механике .

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений [ править ]

Приведение к стандартной форме [ править ]

Пусть D - дифференциальный оператор второго порядка на (a, b), задаваемый формулой

${\ Displaystyle Df (х) = - п (х) е ^ {\ простое \ простое} (х) + г (х) е ^ {\ простое} (х) + q (х) е (х),}$

где p - строго положительная непрерывно дифференцируемая функция, а q и r - непрерывные действительные функции.

Для x ₀ в ( a , b ) определим преобразование Лиувилля ψ формулой

${\ displaystyle \ psi (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} p (t) ^ {- 1/2} \, dt}$

Если

${\ Displaystyle U: L ^ {2} (a, b) \ mapsto L ^ {2} (\ psi (a), \ psi (b))}$

- унитарный оператор, определяемый формулой

${\ Displaystyle (Uf) (\ psi (x)) = f (x) \ times \ left (\ psi '(x) \ right) ^ {- 1/2}, \ \ \ forall x \ in (a, б)}$

тогда

${\ displaystyle U {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} U ^ {- 1} g = g '\ psi' + {\ frac {1} {2}} g {\ гидроразрыв {\ psi ''} {\ psi '}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}U{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}U^{-1}g&=\left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)\times \left(U{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}U^{-1}\right)g\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \psi }}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\cdot \psi '+{\frac {1}{2}}\left[g'\psi '+{\frac {1}{2}}g{\frac {\psi ''}{\psi '}}\right]\times {\frac {\psi ''}{\psi '}}\\&=g''\psi '^{2}+2g'\psi ''+{\frac {1}{2}}g\times \left[{\frac {\psi '''}{\psi '}}+{\frac {\psi ''^{2}}{\psi '^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle UDU^{-1}g=-g^{\prime \prime }+Rg^{\prime }+Qg,}$

куда

${\displaystyle R={\frac {p'+r}{p^{1/2}}}}$

и

${\displaystyle Q=q-{\frac {rp'}{4p}}+{\frac {p''}{4}}-{\frac {p'^{2}}{8p}}}$

Член в g ' может быть удален с помощью интегрирующего множителя Эйлера . Если S ' / S = - R / 2, то h = Sg удовлетворяет

${\displaystyle (SUDU^{-1}S^{-1})h=-h^{\prime \prime }+Vh,}$

где потенциал V определяется выражением

${\displaystyle V=Q+{\frac {S''}{S}}}$

Таким образом, дифференциальный оператор всегда можно привести к одному из видов ^[1]

${\displaystyle Df=-f^{\prime \prime }+qf.}$

Теорема существования [ править ]

Ниже приведен вариант классической теоремы существования Пикара для дифференциальных уравнений второго порядка со значениями в банаховом пространстве Е . ^[2]

Пусть α, β - произвольные элементы из E , A - ограниченный оператор на E, а q - непрерывная функция на [ a , b ].

Тогда при c = a или b дифференциальное уравнение

Df = Af

имеет единственное решение f в C ² ([ a , b ], E ), удовлетворяющее начальным условиям

f ( c ) = β, f '( c ) = α.

Фактически решение дифференциального уравнения с этими начальными условиями эквивалентно решению интегрального уравнения

f = h + T f

с T - ограниченное линейное отображение на C ([ a , b ], E ), определенное равенством

${\displaystyle Tf(x)=\int _{c}^{x}K(x,y)f(y)\,dy,}$

где K - ядро Вольтерра

К ( х , t ) = ( х - t ) ( q ( t ) - A )

и

h ( x ) = α ( x - c ) + β.

Поскольку || T ^k || стремится к 0, это интегральное уравнение имеет единственное решение, которое дает ряд Неймана

f = ( I - T ) ⁻¹ h = h + T h + T ² h + T ³ h + ···

Эту итеративную схему часто называют итерацией Пикара в честь французского математика Шарля Эмиля Пикара .

Основные собственные функции [ править ]

Если F дважды непрерывно дифференцируем (т.е. С ² ) на ( , б ) , удовлетворяющие Df = Х п , то е называется собственная функция из L с собственным значением λ.

• В случае компактного интервала [ a , b ] и q, непрерывного на [ a , b ], из теоремы существования следует, что для c = a или b и любого комплексного числа λ существует единственная C ² собственная функция f _λ на [ a , b ] с предписанными f _λ (c) и f ' _λ (c). Более того, для каждого x из [ a , b ], f _λ (x) и f '_λ (x) - голоморфные функции от λ.
• Для произвольного интервала ( a , b ) и q, непрерывного на ( a , b ), из теоремы существования следует, что для c из ( a , b ) и каждого комплексного числа λ существует единственная C ² собственная функция f _λ на ( a , b ) с предписанными f _λ (c) и f ' _λ (c). Более того, для каждого x из ( a , b ), f _λ (x) и f '_λ (x) - голоморфные функции от λ.

Формула Грина [ править ]

Если F и г являются C ² функции на ( , б ), то вронскиан Вт ( е , г ) определяется

W ( f , g ) (x) = f ( x ) g '( x ) - f ' ( x ) g ( x ).

Формула Грина, которая в этом одномерном случае представляет собой простое интегрирование по частям, утверждает, что для x , y в ( a , b )

${\displaystyle \int _{x}^{y}(Df)g-f(Dg)\,dt=W(f,g)(y)-W(f,g)(x).}$

Когда q непрерывно и f , g C ² на компактном интервале [ a , b ], эта формула также верна для x = a или y = b .

Когда f и g являются собственными функциями для одного и того же собственного значения, тогда

${\displaystyle {d \over dx}W(f,g)=0,}$

так что W ( f , g ) не зависит от x .

Классическая теория Штурма – Лиувилля [ править ]

Пусть [ a , b ] - конечный отрезок, q - вещественнозначная непрерывная функция на [ a , b ], и пусть H ₀ - пространство C ² функций f на [ a , b ], удовлетворяющих граничным условиям Робина

${\displaystyle \cos \alpha \,f(a)-\sin \alpha \,f^{\prime }(a)=0,\qquad \cos \beta \,f(b)-\sin \beta \,f^{\prime }(b)=0,}$

с внутренним продуктом

${\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$

На практике обычно одно из двух стандартных граничных условий:

• Граничное условие Дирихле f ( c ) = 0
• Граничное условие Неймана f '( c ) = 0

накладывается на каждую конечную точку c = a , b .

Дифференциальный оператор D, задаваемый формулой

${\displaystyle Df=-f^{\prime \prime }+qf}$

действует на H ₀ . Функция F в H ₀ , называется собственная функция из D (для выбора выше граничных значений) , если ДФ = λ F для некоторого комплексного числа X, соответствующей собственного значение . По формуле Грина D формально самосопряжен на H ₀ , поскольку вронскиан W (f, g) обращается в нуль, если оба f, g удовлетворяют граничным условиям:

( Df , g ) = ( f , Dg ) для f , g в H ₀ .

Как следствие, точно так же, как и для самосопряженной матрицы конечных размеров,

• собственные значения D действительны;
• на собственные подпространства для различных собственных значений ортогональны .

Оказывается, собственные значения можно описать принципом максимума-минимума Рэлея - Ритца ^[3] (см. Ниже). На самом деле это легко видеть , априорно , что собственные ограничены снизу , потому что оператор D сам по себе ограничен снизу на H ₀ :

• ${\displaystyle (Df,f)\geq M(f,f)}$для некоторой конечной (возможно, отрицательной) постоянной .${\displaystyle M}$

Фактически интегрируя по частям

${\displaystyle (Df,f)=[-f^{\prime }{\overline {f}}]_{a}^{b}+\int |f^{\prime }|^{2}+\int q|f|^{2}.}$

Для граничных условий Дирихле или Неймана первое слагаемое обращается в нуль и неравенство выполняется с M = inf q .

Для общих граничных условий Робена первое слагаемое можно оценить с помощью элементарной петропавловской версии неравенства Соболева :

« Для ε> 0 существует константа R> 0 такая, что | f (x) | ² ≤ ε (f ', f') + R (f, f) для всех f в C ¹ [a, b] ».

Фактически, поскольку

| f ( b ) - f ( x ) | ≤ ( b - a ) ^½ · || f '|| ₂ ,

требуется только оценка для f ( b ), и это следует из замены f ( x ) в приведенном выше неравенстве на ( x - a ) ⁿ · ( b - a ) ^{- n} · f ( x ) для достаточно большого n .

Функция Грина (обычный регистр) [ править ]

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений существуют единственные фундаментальные собственные функции φ _λ (x), χ _λ (x) такие, что

• D φ _λ = λ φ _λ , φ _λ ( a ) = sin α, φ _λ '( a ) = cos α
• D χ _λ = λ χ _λ , χ _λ ( b ) = sin β, χ _λ '( b ) = cos β

которые в каждой точке вместе со своими первыми производными голоморфно зависят от λ. Позволять

ω (λ) = W (φ _λ , χ _λ ),

вся голоморфная функция .

Эта функция ω (λ) играет роли характеристического полинома от D . В самом деле, единственность фундаментальных собственных функций означает, что их нули в точности являются собственными значениями D и что каждое ненулевое собственное подпространство одномерно. В частности, существует не более чем счетное число собственных значений оператора D, и если их бесконечно много, они должны стремиться к бесконечности. Оказывается, нули ω (λ) также имеют кратность единицу (см. Ниже).

Если λ не является собственным значением D на H ₀ , определим функцию Грина по

G _λ ( x , y ) = φ _λ ( x ) χ _λ ( y ) / ω (λ) для x ≥ y и χ _λ ( x ) φ _λ ( y ) / ω (λ) для y ≥ x .

Это ядро ​​определяет оператор во внутреннем пространстве продукта C [ a , b ] через

${\displaystyle (G_{\lambda }f)(x)=\int _{a}^{b}G_{\lambda }(x,y)f(y)\,dy.}$

Поскольку G _λ ( x , y ) непрерывна на [ a , b ] x [ a , b ], она определяет оператор Гильберта – Шмидта на пополнении H гильбертова пространства для C [ a , b ] = H ₁ (или, что эквивалентно, оператора плотное подпространство H ₀ ), принимающее значения в H ₁ . Этот оператор переводит H ₁ в H ₀ . Когда λ вещественно, G _λ ( x , y ) =G _λ ( у , х ) также реальный, поэтому определяет самосопряженный оператор на H . Более того,

• G _λ ( D - λ) = I на H ₀
• G _λ переводит H ₁ в H ₀ и ( D - λ) G _λ = I на H ₁ .

Таким образом, оператор G _λ можно отождествить с резольвентой ( D - λ) ⁻¹ .

Спектральная теорема [ править ]

Теорема. Собственные значения оператора D вещественны с кратностью один и образуют возрастающую последовательность λ ₁ <λ ₂ <···, стремящуюся к бесконечности.

Соответствующие нормированные собственные функции образуют ортонормированный базис H ₀ .

K-е собственное значение D дается принципом минимакса

${\displaystyle \lambda _{k}=\max _{{\rm {dim}}\,G=k-1}\,\min _{f\perp G}{(Df,f) \over (f,f)}.}$

В частности, если q ₁ ≤ q ₂ , то

${\displaystyle \lambda _{k}(D_{1})\leq \lambda _{k}(D_{2}).}$

На самом деле, пусть T = G _λ для больших и отрицательных λ. Тогда Т определяет компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H . По спектральной теореме для компактных операторов самосопряжённых, Н имеет ортогональный базис , состоящий из собственных векторов i | _п из Т с Т ψ _п = μ _п ψ _п , где μ _п стремится к нулю. Диапазон T содержит H _0, поэтому он плотный. Следовательно, 0 не является собственным значением T. Из резольвентных свойств T следует, что ψ _n лежит в H ₀ и что

D ψ _n = (λ + 1 / μ _n ) ψ _n

Принцип минимакса следует потому, что если

${\displaystyle \lambda (G)=\min _{f\perp G}{(Df,f) \over (f,f)},}$

тогда λ ( G ) = λ _k для линейной оболочки первых k  - 1 собственных функций. Для любого другого ( к  - 1) -мерном подпространстве G , некоторые е в линейной оболочке первых K собственных векторов должны быть ортогональны G . Следовательно, λ ( G ) ≤ ( Df , f ) / ( f , f ) ≤ λ _k .

Вронскиан как детерминант Фредгольма [ править ]

Для простоты предположим, что m ≤ q ( x ) ≤ M на [0, π] с граничными условиями Дирихле. Принцип минимакса показывает, что

${\displaystyle n^{2}+m\leq \lambda _{n}(D)\leq n^{2}+M.}$

Отсюда следует, что резольвента ( D - λ) ⁻¹ является оператором следового класса, если λ не является собственным значением D и, следовательно, определен определитель Фредгольма det I - μ ( D - λ) ⁻¹ .

Из граничных условий Дирихле следует, что

ω (λ) = φ _λ ( b ).

Используя итерацию Пикара, Титчмарш показал, что φ _λ ( b ), а значит, и ω (λ) является целой функцией конечного порядка 1/2:

ω (λ) = O (e ^{√ | λ |} )

В нуле μ функции ω (λ) φ _μ ( b ) = 0. Кроме того,

${\displaystyle \psi (x)=\partial _{\lambda }\varphi _{\lambda }(x)|_{\lambda =\mu }}$

удовлетворяет ( D  - μ) ψ = φ _μ . Таким образом

ω (λ) = (λ - μ) ψ ( b ) + O ((λ - μ) ² ).

Отсюда следует, что ^[4]

• μ - простой нуль функции ω (λ).

В противном случае ψ ( b ) = 0, так что ψ должна лежать в H ₀ . Но потом

(φ _μ , φ _μ ) = (( D - μ) ψ, φ _μ ) = (ψ, ( D - μ) φ _μ ) = 0,

противоречие.

С другой стороны, распределение нулей целой функции ω (λ) уже известно из принципа минимакса.

По теореме факторизации Адамара следует, что ^[5]

• ${\displaystyle \omega (\lambda )=C\prod (1-\lambda /\lambda _{n}),}$

для некоторой ненулевой константы C .

Следовательно

${\displaystyle {\rm {det}}\,(I-\mu (D-\lambda )^{-1})=\prod \left(1-{\mu \over \lambda _{n}-\lambda }\right)=\prod {1-(\lambda +\mu )/\lambda _{n} \over 1-\lambda /\lambda _{n}}={\omega (\lambda +\mu ) \over \omega (\lambda )}.}$

В частности, если 0 не является собственным значением D

${\displaystyle \omega (\mu )=\omega (0)\cdot {\rm {det}}\,(I-\mu D^{-1}).}$

Инструменты из абстрактной спектральной теории [ править ]

Функции ограниченной вариации [ править ]

Функция ρ ( x ) ограниченной вариации ^[6] на отрезке [ a , b ] является комплекснозначной функцией такой, что ее полная вариация V (ρ), супремум вариаций

${\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}|\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r})|}$

по всем рассечениям

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{k}=b}$

конечно. Действительная и мнимая части ρ являются действительными функциями ограниченной вариации. Если ρ вещественнозначен и нормирован так, что ρ (a) = 0, он имеет каноническое разложение как разность двух ограниченных неубывающих функций:

${\displaystyle \rho (x)=\rho _{+}(x)-\rho _{-}(x),}$

где ρ ₊ ( x ) и ρ _- ( x ) - суммарные положительные и отрицательные вариации ρ на [ a , x ].

Если f - непрерывная функция на [ a , b ], ее интеграл Римана – Стилтьеса относительно ρ

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)}$

определяется как предел аппроксимирующих сумм

${\displaystyle \sum _{r=0}^{k-1}f(x_{r})(\rho (x_{r+1})-\rho (x_{r}))}$

как сетку рассечения, заданную sup | x _{r +1} - x _r |, стремится к нулю.

Этот интеграл удовлетворяет

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,d\rho (x)\right|\leq V(\rho )\cdot \|f\|_{\infty }}$

и тем самым определяет ограниченный линейный функционал d ρ на C [ a , b ] с нормой || d ρ || = V (ρ).

Каждый линейный ограниченный функционал μ на C [ a , b ] имеет модуль | μ | определены для неотрицательного F от ^[7]

${\displaystyle |\mu |(f)=\sup _{0\leq |g|\leq f}|\mu (g)|.}$

Форма | μ | продолжается линейно до ограниченной линейной формы на C [ a , b ] с нормой || μ || и удовлетворяет характеризующему неравенству

| μ ( f ) | ≤ | μ | (| f |)

для f в C [ a , b ]. Если μ вещественный , т.е. действительный на действительных функциях, то

${\displaystyle \mu =|\mu |-(|\mu |-\mu )\equiv \mu _{+}-\mu _{-}}$

дает каноническое разложение как разность положительных форм, то есть форм, неотрицательных на неотрицательных функциях.

Всякая положительная форма μ однозначно продолжается до линейной оболочки неотрицательных ограниченных полунепрерывных снизу функций g по формуле ^[8]

${\displaystyle \mu (g)=\lim \mu (f_{n}),}$

где неотрицательные непрерывные функции f _n поточечно возрастают до g .

Таким образом, то же самое относится к произвольной ограниченной линейной форме μ, так что функция ρ ограниченной вариации может быть определена формулой ^[9]

${\displaystyle \rho (x)=\mu (\chi _{[a,x]}),}$

где χ _A обозначает характеристическую функцию подмножества A в [ a , b ]. Таким образом, μ = d ρ и || μ || = || d ρ ||. Кроме того, μ ₊ = d ρ ₊ и μ _- = d ρ _- .

Это соответствие между функциями ограниченной вариации и ограниченными линейными формами является частным случаем теоремы о представлении Рисса .

Поддержка М = d ρ является дополнением всех точек х в [ , Ь ] , где ρ постоянна на некоторой окрестности точки х ; по определению это замкнутое подмножество A в [ a , b ]. Кроме того, μ ((1-χ ) е ) = 0, так что μ ( F ) = 0 , если F обращается в нуль на А .

Спектральная мера [ править ]

Пусть H гильбертово пространство и самосопряженная ограниченный оператор на Н с , так что спектр из содержится в . Если - комплексный многочлен, то по теореме о спектральном отображении${\displaystyle T}$${\displaystyle 0\leq T\leq I}$ ${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle p(t)}$

${\displaystyle \sigma (p(T))=p(\sigma (T))}$

и поэтому

${\displaystyle \|p(T)\|\leq \|p\|_{\infty }}$

где обозначает равномерную норму на . По аппроксимационной теореме Вейерштрасса многочлены равномерно плотны в . Отсюда следует, что можно определить с помощью${\displaystyle \|\,\|_{\infty }}$${\displaystyle C[0,1]}$${\displaystyle C[0,1]}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle \forall f\in C[0,1]}$

${\displaystyle \sigma (f(T))=f(\sigma (T))}$и .${\displaystyle \|f(T)\|\leq \|f\|_{\infty }}$

Если - полунепрерывная снизу функция на , например, характеристическая функция подынтервала , то является поточечным возрастающим пределом неотрицательности .${\displaystyle 0\leq g\leq 1}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \chi _{[0,\alpha ]}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f_{n}\in C[0,1]}$

В соответствии с Секефальви-Nagy , ^[10] , если это вектор в Н , то векторы${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \eta _{n}=f_{n}(T)\xi }$

образуют последовательность Коши в Н , так как , ,${\displaystyle n\geq m}$

${\displaystyle \|\eta _{n}-\eta _{m}\|^{2}\leq (\eta _{n},\xi )-(\eta _{m},\xi ),}$

и ограничен и возрастает, поэтому имеет предел.${\displaystyle (\eta _{n},\xi )=(f_{n}(T)\xi ,\xi )}$

Отсюда следует, что можно определить как ^[11]${\displaystyle g(T)}$

${\displaystyle g(T)\xi =\lim f_{n}(T)\xi }$.

Если и - векторы из H , то${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }(f)=(f(T)\xi ,\eta )}$

определяет ограниченную линейную форму на Н . По теореме Рисса о представлении${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }=d\rho _{\xi ,\eta }}$

для единственной нормированной функции ограниченной вариации на .${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }}$${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle d\rho _{\xi ,\eta }}$(а иногда и сама по себе) называется спектральной мерой, определяемой и .${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$

Соответственно, оператор однозначно характеризуется уравнением${\displaystyle g(T)}$

${\displaystyle (g(T)\xi ,\eta )=\mu _{\xi ,\eta }(g)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).}$

Спектральный проектор определяется${\displaystyle E(\lambda )}$

${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[0,\lambda ]}(T),}$

так что

${\displaystyle \rho _{\xi ,\eta }(\lambda )=(E(\lambda )\xi ,\eta ).}$

Следует, что

${\displaystyle g(T)=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,dE(\lambda ),}$

что понимается в том смысле, что для любых векторов и ,${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle (g(T)\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d(E(\lambda )\xi ,\eta )=\int _{0}^{1}g(\lambda )\,d\rho _{\xi ,\eta }(\lambda ).}$

Поскольку единичный вектор является положительной формой (другими словами, пропорционален вероятностной мере на ) и неотрицателен и не убывает. Поляризация показывает, что все формы естественным образом могут быть выражены в терминах таких положительных форм, поскольку${\displaystyle \xi ,\,\mu _{\xi }=\mu _{\xi ,\xi }}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \rho _{\xi }=\rho _{\xi ,\xi }}$${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }}$

${\displaystyle \mu _{\xi ,\eta }={\frac {1}{4}}{\bigg (}\mu _{\xi +\eta }+i\mu _{\xi +i\eta }-\mu _{\xi -\eta }-i\mu _{\xi -i\eta }{\bigg )}}$

Если вектор таков, что линейная оболочка векторов плотна в H , т. Е. Является циклическим вектором для , то отображение, определяемое формулой${\displaystyle \xi }$${\displaystyle (T^{n}\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U(f)=f(T)\xi ,\,C[0,1]\rightarrow H}$

удовлетворяет

${\displaystyle (Uf_{1},Uf_{2})=\int _{0}^{1}f_{1}(\lambda ){\overline {f_{2}(\lambda )}}\,d\rho _{\xi }(\lambda ).}$

Пусть обозначит пополнение пространства Гильберта , связанные с возможно вырожденным внутренним продуктом на правой стороне. ^[12] Таким образом , продолжается до унитарного преобразования из на H . тогда просто умножение на ; и вообще умножение на . В этом случае поддержка ровно , так что${\displaystyle L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })}$${\displaystyle C[0,1]}$${\displaystyle U}$${\displaystyle L_{2}([0,1],\rho _{\xi })}$${\displaystyle UTU^{\ast }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle L_{2}([0,1],d\rho _{\xi })}$${\displaystyle Uf(T)U^{\ast }}$${\displaystyle f(\lambda )}$${\displaystyle d\rho _{\xi }}$${\displaystyle \sigma (T)}$

• самосопряженный оператор становится оператором умножения на пространстве функций на его спектре со скалярным произведением, задаваемым спектральной мерой .

Теория Вейля – Титчмарша – Кодаира [ править ]

Разложение по собственным функциям, связанное с сингулярными дифференциальными операторами вида

${\displaystyle Df=-(pf^{\prime })^{\prime }+qf}$

на открытом интервале ( a , b ) требует первоначального анализа поведения основных собственных функций вблизи конечных точек a и b для определения возможных граничных условий там. В отличие от обычного случая Штурма-Лиувилля, в некоторых случаях спектральные значения из D может иметь кратность 2. При разработке изложенных ниже стандартных предположений будут наложены на р и ц , что гарантирует , что спектр Dвсюду имеет кратность единицу и ограничен снизу. Сюда входят почти все важные приложения; модификации, необходимые для более общего случая, будут рассмотрены позже.

После выбора граничных условий, как в классической теории, резольвента оператора D , ( D + R ) ⁻¹ для большого и положительного R задается оператором T, соответствующим функции Грина, построенной из двух фундаментальных собственных функций. В классическом случае T был компактным самосопряженным оператором; в этом случае Т является лишь самосопряженным ограниченным оператором с 0 ≤ Т ≤ I. Абстрактная теория спектральной меры может быть применена таким образом , чтобы Т дать собственную функцию расширения для D .

Центральную идею доказательства Вейля и Кодаиры можно неформально объяснить следующим образом. Предположим, что спектр D лежит в [1, ∞), T = D ⁻¹ и пусть

${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)}$

- спектральная проекция D, соответствующая интервалу [1, λ]. Для произвольной функции f определим

${\displaystyle f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).}$

f ( x , λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ограниченной вариации ρ; или, что эквивалентно, как дифференцируемое отображение

${\displaystyle x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)}$

в банахово пространство E линейных ограниченных функционалов d ρ на C [α, β], если [α, β] - компактный подынтервал в [1, ∞).

Основное наблюдение Вейля заключалось в том, что d _λ f удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, принимающему значения в E :

${\displaystyle D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f.}$

После наложения начальных условий на первые две производные в фиксированной точке c это уравнение может быть решено в явном виде в терминах двух основных собственных функций и функционалов "начального значения"

${\displaystyle (d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot ),\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot ).}$

Теперь эту точку зрения можно перевернуть с ног на голову: f ( c , λ) и f _x ( c , λ) можно записать как

${\displaystyle f(c,\lambda )=(f,\xi _{1}(\lambda )),\quad f_{x}(c,\lambda )=(f,\xi _{2}(\lambda )),}$

где ξ ₁ (λ) и ξ ₂ (λ) задаются исключительно в терминах основных собственных функций. Функции ограниченной вариации

${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{i}(\lambda ),\xi _{j}(\lambda ))}$

определяют спектральную меру на спектре оператора D и могут быть явно вычислены из поведения основных собственных функций (формула Титчмарша – Кодаира).

Предельная окружность и предельная точка для сингулярных уравнений [ править ]

Пусть q ( x ) - непрерывная вещественная функция на (0, ∞), а D - дифференциальный оператор второго порядка

${\displaystyle Df=-f^{\prime \prime }+qf}$

на (0, ∞). Зафиксируем точку C в интервале (0, ∞) и для λ комплекс, пусть будет уникальные фундаментальные собственные функции из D на (0, ∞) , удовлетворяющих${\displaystyle \varphi _{\lambda },\theta _{\lambda }}$

${\displaystyle (D-\lambda )\varphi _{\lambda }=0,\quad (D-\lambda )\theta _{\lambda }=0}$

вместе с начальными условиями в c

${\displaystyle \varphi _{\lambda }(c)=1,\,\varphi _{\lambda }^{\prime }(c)=0,\,\theta _{\lambda }(c)=0,\,\theta _{\lambda }^{\prime }(c)=1.}$

Тогда их вронскиан удовлетворяет

${\displaystyle W(\varphi _{\lambda },\theta _{\lambda })=\varphi _{\lambda }\theta _{\lambda }^{\prime }-\theta _{\lambda }\varphi _{\lambda }^{\prime }\equiv 1,}$

поскольку он постоянен и равен 1 в точке c .

Пусть λ не является вещественным и 0 < x <∞. Если комплексное число таково, что удовлетворяет граничному условию для некоторых (или, что то же самое, является действительным), то, используя интегрирование по частям, получаем${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f=\varphi +\mu \theta }$${\displaystyle \cos \beta \,f(x)-\sin \beta \,f'(x)=0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle f'(x)/f(x)}$

${\displaystyle {\rm {Im}}(\lambda )\int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}={\rm {Im}}(\mu ).}$

Следовательно, множество удовлетворяющих этому уравнению не пусто. Этот набор представляет собой круг в сложной плоскости. Очки в его интерьере характеризуются${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{{\rm {Im}}(\mu ) \over {\rm {Im}}(\lambda )}}$

если x > c и по

${\displaystyle \int _{x}^{c}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{{\rm {Im}}(\mu ) \over {\rm {Im}}(\lambda )}}$

если x < c .

Пусть D _x - замкнутый круг, заключенный в окружность. По определению эти закрытые диски вложены и уменьшаются, когда x приближается к 0 или ∞. Таким образом, в пределе круги стремятся либо к предельному кругу, либо к предельной точке на каждом конце. Если есть предельная точка или точка на предельной окружности в 0 или ∞, то есть квадрат интегрируем (L ² ) вблизи 0 или ∞, так как лежит в D _х для всех х> с (в случае ∞) и так ограничен не зависит от x . В частности: ^[13]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f=\varphi +\mu \theta }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \int _{c}^{x}|\varphi +\mu \theta |^{2}<{{\rm {Im}}(\mu ) \over {\rm {Im}}(\lambda )}}$

• всегда существуют ненулевые решения уравнения Df = λf, интегрируемые с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞ ;
• в случае предельной окружности все решения Df = λf квадратично интегрируемы вблизи 0 соответственно. ∞ .

Радиус диска D _x можно рассчитать как

${\displaystyle \left|{1 \over {2{\rm {Im}}(\lambda )\int _{c}^{x}|\theta |^{2}}}\right|}$

и это означает, что в случае предельной точки не может быть квадратично интегрируемым около 0, соответственно. ∞. Следовательно, мы имеем обратное ко второму утверждению выше:${\displaystyle \theta }$

• в случае предельной точки существует ровно одно ненулевое решение (с точностью до скалярных кратных) уравнения Df = λf, которое интегрируемо с квадратом вблизи 0 соответственно. ∞ .

С другой стороны, если Dg = λ ' g для другого значения λ', то

${\displaystyle h(x)=g(x)-(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy}$

удовлетворяет Dh = λ h , так что

${\displaystyle g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }+(\lambda ^{\prime }-\lambda )\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))g(y)\,dy.}$

Эта формула также может быть получена непосредственно изменением метода констант из (D-λ) g = (λ'-λ) g. Используя это для оценки g , следует, что ^[13]

• поведение предельной точки / предельной окружности в точках 0 или ∞ не зависит от выбора λ .

В более общем смысле, если Dg = (λ - r ) g для некоторой функции r ( x ), то ^[14]

${\displaystyle g(x)=c_{1}\varphi _{\lambda }+c_{2}\theta _{\lambda }-\int _{c}^{x}(\varphi _{\lambda }(x)\theta _{\lambda }(y)-\theta _{\lambda }(x)\varphi _{\lambda }(y))r(y)g(y)\,dy.}$

Отсюда следует, что ^[14]

• если r непрерывно в 0, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в 0 именно тогда, когда D является ,

так что в частности ^[15]

• если q (x) - a / x ² непрерывно в 0, то D является предельной точкой в ​​0 тогда и только тогда, когда a ≥ ¾ .

по аналогии

• если r имеет конечный предел в ∞, то D + r является предельной точкой или предельной окружностью в ∞ именно тогда, когда D есть ,

так что в частности ^[16]

• если q имеет конечный предел в ∞, то D является предельной точкой в ​​∞ .

В математической литературе можно найти множество более сложных критериев для определения предельной точки или предельного круга.

Функция Грина (особый случай) [ править ]

Рассмотрим дифференциальный оператор

${\displaystyle D_{0}f=-(p_{0}f^{\prime })^{\prime }+q_{0}f}$

на (0, ∞) с положительным q ₀ и непрерывным на (0, ∞) и p _0, непрерывно дифференцируемым в [0, ∞), положительным в (0, ∞) и p ₀ (0) = 0.

Более того, предположим, что после приведения к стандартному виду D ₀ становится эквивалентным оператором

${\displaystyle Df=-f^{\prime \prime }+qf}$

на (0, ∞), где q имеет конечный предел в ∞. Таким образом

• D - предельная точка на ∞ .

При 0 D может быть либо предельной окружностью, либо предельной точкой. В любом случае существует собственная функция Φ ₀ с D Φ ₀ = 0 и Φ _0, интегрируемая с квадратом вблизи 0. В случае предельной окружности Φ ₀ определяет граничное условие в 0:

${\displaystyle W(f,\Phi _{0})(0)=0.}$

Для комплекса λ пусть Φ _λ и Χ _λ удовлетворяют

• ( D - λ) Φ _λ = 0, ( D - λ) Χ _λ = 0
• Χ _λ интегрируем с квадратом вблизи бесконечности
• Φ _λ интегрируема с квадратом в 0, если 0 - предельная точка
• Φ _λ удовлетворяет указанному выше граничному условию, если 0 - предельная окружность .

Позволять

${\displaystyle \omega (\lambda )=W(\Phi _{\lambda },\mathrm {X} _{\lambda }),}$

константа , которая обращается в нуль именно тогда , когда Ф _А , и Х _А , пропорциональны, т.е. А , является собственным значением из D для этих граничных условий.

С другой стороны, этого не может произойти, если Im λ ≠ 0 или если λ отрицательно. ^[13]

Действительно, если D f = λ f с q ₀ - λ ≥ δ> 0, то по формуле Грина ( Df , f ) = ( f , Df ), поскольку W ( f , f ^* ) постоянна. Значит, λ должно быть реальным. Если в реализации D ₀ взять f вещественнозначным , то при 0 < x < y

${\displaystyle [p_{0}ff^{\prime }]_{x}^{y}=\int _{x}^{y}(q_{0}-\lambda )|f|^{2}+p_{0}(f^{\prime })^{2}.}$

Так как p ₀ (0) = 0 и f интегрируемо около 0, p ₀ f f 'должно обращаться в нуль в 0. Если x = 0, то f ( y ) f ' ( y )> 0, так что f ² равно 0. возрастает, что противоречит квадратичной интегрируемости f вблизи ∞.

Таким образом, добавляя положительный скаляр к q , можно считать, что

ω (λ) ≠ 0, когда λ не принадлежит [1, ∞) .

Если ω (λ) ≠ 0, функция Грина G _λ ( x , y ) в точке λ определяется равенством

${\displaystyle G_{\lambda }(x,y)=\Phi _{\lambda }(x)\mathrm {X} _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )\,\,(x\leq y),\,\,\,\,\mathrm {X} _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)/\omega (\lambda )\,\,(x\geq y).}$

и не зависит от выбора _λ и Χ _λ .

В примерах будет третья «плохая» собственная функция Ψ _λ, определенная и голоморфная для λ не в [1, ∞) такая, что Ψ _{λ не} удовлетворяет граничным условиям ни в 0, ни в ∞. Это означает, что для λ не из [1, ∞)

• W (Φ _λ , Ψ _λ ) нигде не обращается в нуль;
• W (Χ _λ , Ψ _λ ) нигде не обращается в нуль.

В этом случае _λ пропорционально Φ _λ + m (λ) Ψ _λ , где

• m (λ) = - W (Φ _λ , Χ _λ ) / W (Ψ _λ , Χ _λ ).

Пусть H ₁ - пространство интегрируемых с квадратом непрерывных функций на (0, ∞), и пусть H ₀ -

• пространство C ² функций f на (0, ∞) компактного носителя, если D - предельная точка в 0
• пространство C ² функций f на (0, ∞) с W ( f , Φ ₀ ) = 0 в 0 и с f = 0 вблизи ∞, если D - предельная окружность в 0.

Определим T = G _{0 с} помощью

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{\infty }G_{0}(x,y)f(y)\,dy.}$

Тогда T D = I на H ₀ , D T = I на H ₁ и оператор D ограничен снизу на H ₀ :

${\displaystyle (Df,f)\geq (f,f).}$

Таким образом , Т является самосопряженным ограниченным оператором с 0 ≤ T ≤ I .

Формально T = D ⁻¹ . Соответствующие операторы G _λ, определенные для λ не в [1, ∞), формально можно отождествить с

${\displaystyle (D-\lambda )^{-1}=T(I-\lambda T)^{-1}}$

и удовлетворяют G _λ ( D - λ) = I на H ₀ , ( D - λ) G _λ = I на H ₁ .

Спектральная теорема и формула Титчмарша – Кодаира [ править ]

Теорема . ^{[13] [17] [18]} Для каждого действительного числа λ пусть ρ (λ) определяется формулой Титчмарша – Кодаиры :

${\displaystyle \rho (\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{1 \over \pi }\int _{\delta }^{\lambda +\delta }{\rm {Im}}\,m(t+i\varepsilon )\,dt.}$

Тогда ρ (λ) - полунепрерывная снизу неубывающая функция от λ и если

${\displaystyle (Uf)(\lambda )=\int _{0}^{\infty }f(x)\Phi (x,\lambda )\,dx,}$

тогда U определяет унитарное преобразование L ² (0, ∞) на L ² ([1, ∞), dρ) такое, что UDU ⁻¹ соответствует умножению на λ.

Обратное преобразование U ⁻¹ дается формулой

${\displaystyle (U^{-1}g)(x)=\int _{1}^{\infty }g(\lambda )\Phi (x,\lambda )\,d\rho (\lambda ).}$

Спектр D равен носителю dρ.

Кодаира дал упрощенную версию ^{[19] [20]} оригинального доказательства Вейля. ^[13] ( М. Х. Стоун ранее показал ^[21], как часть работы Вейля может быть упрощена с помощью спектральной теоремы фон Неймана.)

Фактически, для T = D ⁻¹ с 0 ≤ T ≤ I спектральная проекция E (λ) матрицы T определяется формулой

${\displaystyle E(\lambda )=\chi _{[\lambda ^{-1},1]}(T)}$

Это также спектральная проекция D, соответствующая интервалу [1, λ].

Для f в H ₁ определим

${\displaystyle f(x,\lambda )=(E(\lambda )f)(x).}$

f ( x , λ) можно рассматривать как дифференцируемое отображение в пространство функций ρ ограниченной вариации; или, что эквивалентно, как дифференцируемое отображение

${\displaystyle x\mapsto (d_{\lambda }f)(x)}$

в банахово пространство E ограниченных линейных функционалов d ρ на C [α, β] для любого компактного подынтервала [α, β] в [1, ∞).

Функционалы (или меры) d _λ f ( x ) удовлетворяют следующему E -значному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:

${\displaystyle D(d_{\lambda }f)=\lambda \cdot d_{\lambda }f,}$

с начальными условиями в c в (0, ∞)

${\displaystyle (d_{\lambda }f)(c)=d_{\lambda }f(c,\cdot )=\mu ^{(0)},\quad (d_{\lambda }f)^{\prime }(c)=d_{\lambda }f_{x}(c,\cdot )=\mu ^{(1)}.}$

Если φ _λ и χ _λ - специальные собственные функции, адаптированные к c , то

${\displaystyle d_{\lambda }f(x)=\varphi _{\lambda }(x)\mu ^{(0)}+\chi _{\lambda }(x)\mu ^{(1)}.}$

Более того,

${\displaystyle \mu ^{(k)}=d_{\lambda }(f,\xi _{\lambda }^{(k)}),}$

куда

${\displaystyle \xi _{\lambda }^{(k)}=DE(\lambda )\eta ^{(k)},}$

с

${\displaystyle \eta _{z}^{(0)}(y)=G_{z}(c,y),\,\,\,\,\eta _{z}^{(1)}(x)=\partial _{x}G_{z}(c,y),\,\,\,\,(z\notin [1,\infty )).}$

(Как следует из обозначений, ξ _λ ⁽⁰⁾ и ξ _λ ⁽¹⁾ не зависят от выбора z .)

Параметр

${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=(\xi _{\lambda }^{(i)},\xi _{\lambda }^{(j)}),}$

следует, что

${\displaystyle d_{\lambda }(E(\lambda )\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})=|\lambda -z|^{-2}\cdot d_{\lambda }\sigma _{ij}(\lambda ).}$

С другой стороны, существуют голоморфные функции a (λ), b (λ) такие, что

• φ _λ + a (λ) χ _λ пропорциональна Φ _λ ;
• φ _λ + b (λ) χ _λ пропорциональна _λ .

Поскольку W (φ _λ , χ _λ ) = 1, функция Грина задается выражением

${\displaystyle G_{\lambda }(x,y)={(\varphi _{\lambda }(x)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(y)) \over b(\lambda )-a(\lambda )}\,\,(x\leq y),\,\,\,\,{(\varphi _{\lambda }(x)+b(\lambda )\chi _{\lambda }(x))(\varphi _{\lambda }(y)+a(\lambda )\chi _{\lambda }(y)) \over b(\lambda )-a(\lambda )}\,\,(y\leq x).}$

Прямой расчет ^[22] показывает, что

${\displaystyle (\eta _{z}^{(i)},\eta _{z}^{(j)})={\rm {Im}}\,M_{ij}(z)/{\rm {Im}}\,z,}$

где так называемая характеристическая матрица M _ij ( z ) имеет вид

${\displaystyle M_{00}(z)={a(z)b(z) \over a(z)-b(z)},\,\,M_{01}(z)=M_{10}(z)={a(z)+b(z) \over 2(a(z)-b(z))},\,\,M_{11}(z)={1 \over a(z)-b(z)}.}$

Следовательно

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }({\rm {Im}}\,z)\cdot |\lambda -z|^{-2}\,d\sigma _{ij}(\lambda )={\rm {Im}}M_{ij}(z),}$

что сразу подразумевает

${\displaystyle \sigma _{ij}(\lambda )=\lim _{\delta \downarrow 0}\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\delta }^{\lambda +\delta }{\rm {Im}}\,M_{ij}(t+i\varepsilon )\,dt.}$

(Это частный случай «формулы обращения Стилтьеса» .)

Полагая ψ _λ ⁽⁰⁾ = φ _λ и ψ _λ ⁽¹⁾ = χ _λ , получаем

${\displaystyle (E(\mu )f)(x)=\sum _{i.j}\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\psi _{\lambda }^{(i)}(x)\psi _{\lambda }^{(j)}(y)f(y)\,dy\,d\sigma _{ij}(\lambda )=\int _{0}^{\mu }\int _{0}^{\infty }\Phi _{\lambda }(x)\Phi _{\lambda }(y)f(y)\,dy\,d\rho (\lambda ).}$

Это тождество эквивалентно спектральной теореме и формуле Титчмарша – Кодаира.

Приложение к гипергеометрическому уравнению [ править ]

Преобразование Мелера – Фока ^{[23] [24] [25]} касается разложения по собственным функциям, связанного с дифференциальным оператором Лежандра D

${\displaystyle Df=-((x^{2}-1)f^{\prime })^{\prime }=-(x^{2}-1)f^{\prime \prime }-2xf^{\prime }}$

на (1, ∞). Собственные функции - это функции Лежандра ^[26]

${\displaystyle P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(\cosh r)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\left({\sin \theta +ie^{-r}\cos \theta \over \cos \theta -ie^{-r}\sin \theta }\right)^{{1 \over 2}+i{\sqrt {\lambda }}}\,d\theta }$

с собственным значением λ ≥ 0. Два преобразования Мелера – Фока ^[27]

${\displaystyle Uf(\lambda )=\int _{1}^{\infty }f(x)\,P_{-1/2+i{\sqrt {\lambda }}}(x)\,dx}$

и

${\displaystyle U^{-1}g(x)=\int _{0}^{\infty }g(\lambda )\,{1 \over 2}\tanh \pi {\sqrt {\lambda }}\,d\lambda .}$

(Часто это записывается в терминах переменной τ = √ λ .)

Мелер и Фок изучали этот дифференциальный оператор, потому что он возник как радиальная компонента лапласиана на двумерном гиперболическом пространстве. В более общем плане ^[28] рассмотрим группу G = SU (1,1), состоящую из комплексных матриц вида

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{matrix}}\right)}$

с определителем | α | ² - | β | ² = 1.

Приложение к атому водорода [ править ]

Обобщения и альтернативные подходы [ править ]

Функция Вейля может быть определена на особом конце, что приводит к сингулярной версии теории Вейля – Титчмарша – Кодаира. ^[29] это относится, например, к случаю радиальных операторов Шредингера${\displaystyle a}$

${\displaystyle Df=-f^{\prime \prime }+{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}f+V(x)f,\qquad x\in (0,\infty )}$

Всю теорию также можно распространить на случай, когда коэффициенты могут быть мерами. ^[30]

Теория Гельфанда – Левитана [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ахиезер, Наум Ильич ; Глазман, Израэль Маркович (1993), Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Дувр, ISBN 978-0-486-67748-4
• Беллман, Ричард (1969), Теория устойчивости дифференциальных уравнений , Дувр, ISBN 978-0-486-62210-1
• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-011542-2
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики, Vol. Я , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Дьедонне, Жан (1969), Трактат по анализу, Vol. I [Основы современного анализа] , Academic Press, ISBN 978-1-4067-2791-3
• Дьедонне, Жан (1988), Трактат по анализу, Vol. VIII , Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
• Данфорд, Нельсон ; Шварц, Якоб Т. (1963), Линейные операторы, Часть II Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Wiley Interscience, ISBN 978-0-471-60847-9
• Хилле, Эйнар (1969), Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53083-4
• Кодаиры-, Кунихико~d (1949), «Проблема собственных значений для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и теории Гейзенберга S-матриц», Американский журнал математики , 71 (4): 921-945, DOI : 10,2307 / 2372377 , JSTOR  2372377
• Кодаира, Кунихико (1950), "Об обыкновенных дифференциальных уравнениях любого четного порядка и соответствующих разложениях по собственным функциям", American Journal of Mathematics , 72 (3): 502–544, doi : 10.2307 / 2372051 , JSTOR  2372051
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики II, анализ Фурье, самосопряженность , Academic Press, ISBN 978-0-12-585002-5
• Рис, Фриджес; Сёкефалви-Надь, Бела (1990). Функциональный анализ . Dover Publications. ISBN 0-486-66289-6.
• Стоун, Маршалл Харви (1932), Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу , AMS Colloquium Publications, 16 , ISBN 978-0-8218-1015-6
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Аспирантура по математике. 99 . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике. 140 . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. I, первое издание , Oxford University Press
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1962), Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, Vol. I, второе издание , Oxford University Press , ISBN 978-0-608-08254-7
• Виленкин, Наум Яковлевич (1968), Специальные функции и теория представлений групп , Переводы математических монографий, 22 , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1572-4
• Вайдманн, Иоахим (1987), Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов , Лекционные заметки по математике, 1258 , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-17902-5
• Вейль, Герман (1910), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Functionen" , Mathematische Annalen , 68 (2): 220–269, doi : 10.1007 / BF01474161
• Weyl, Hermann (1910), "Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singulären Stellen und ihre Eigenfunktionen", Nachr. Акад. Wiss. Гёттинген. Math.-Phys. : 442–446
• Вейль, Герман (1935), "Über дас Pick-Nevanlinnasche Interpolationsproblem унд зет infinitesimales Analogen", Анналы математики , 36 (1): 230-254, DOI : 10,2307 / 1968677 , JSTOR  1968677