В математическом анализе , А банахи предел является непрерывным линейным функционалом на банаховом пространстве все ограниченные комплексных -значных последовательности , такие , что для всех последовательностей, в , и комплексные числа :
- (линейность);
- если для всех , тогда (позитив);
- , где - оператор сдвига, определяемый формулой (инвариантность к сдвигу);
- если это последовательность сходится , то.
Следовательно, является продолжением непрерывного функционала где - комплексное векторное пространство всех последовательностей, сходящихся к (обычному) пределу в.
Другими словами, банахов предел расширяет обычные пределы, является линейным, инвариантным относительно сдвига и положительным. Однако существуют последовательности, для которых значения двух пределов Банаха не совпадают. Мы говорим, что в этом случае банахов предел не определяется однозначно.
Как следствие вышеупомянутых свойств, действительный предел Банаха также удовлетворяет:
Существование банаховых пределов обычно доказывается с помощью теоремы Хана – Банаха (подход аналитика) [1] или с помощью ультрафильтров (этот подход чаще встречается в теоретико-множественных изложениях). [2] В этих доказательствах обязательно используется аксиома выбора (так называемое неэффективное доказательство).
Почти конвергенция
Есть несходящиеся последовательности, у которых есть однозначно определенный предел Банаха. Например, если, тогда - постоянная последовательность, а
держит. Таким образом, для любого банахова предела эта последовательность имеет предел.
Ограниченная последовательность со свойством, что для каждого банахова предела Значение то же самое, называется почти сходящимся .
Банаховы пространства
Учитывая сходящуюся последовательность в , обычный предел не возникает из элемента , если двойственность Считается. Последнее означает- непрерывное сопряженное пространство (двойственное банахово пространство) к, и следовательно, индуцирует непрерывные линейные функционалы на , но не все. Любой банаховый лимит на является примером элемента двойственного банахова пространства которого нет в . Двойнойизвестно как пространство ba и состоит из всех ( знаковых ) конечно-аддитивных мер на сигма-алгебре всех подмножеств натуральных чисел или, что то же самое, всех (знаковых) борелевских мер на компактификации натуральных чисел Стоуна – Чеха .
Внешние ссылки
Рекомендации
- Балкар, Богуслав ; Штепанек, Петр (2000). Теория множин (на чешском языке) (2-е изд.). Прага: Academia. ISBN 802000470X.
- Конвей, Джон Б. (1994). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-97245-5.