Постоянная эластичность замещения

Постоянная эластичность замещения ( CES ), в экономике , является свойством некоторых производственных функций и функций полезности . Несколько экономистов участвовали в этой теме и внесли свой вклад в окончательный вывод константы. Среди них Том Маккензи, Джон Хикс и Джоан Робинсон. Жизненно важный экономический элемент меры заключается в том, что она дает производителю четкое представление о том, как перемещаться между различными режимами или типами производства.

В частности, он возникает в конкретном типе функции агрегатора, который объединяет два или более типов потребительских товаров или два или более типов производственных ресурсов в совокупное количество. Эта агрегаторная функция демонстрирует постоянную эластичность замещения .

Производственная функция CES [ править ]

Несмотря на наличие нескольких факторов производства во взаимозаменяемости, наиболее распространенными являются формы эластичности замещения. В отличие от ограничений прямой эмпирической оценки, постоянная эластичность замещения проста в использовании и, следовательно, широко используется. ^[1] Макфадден заявляет, что;

Предположение о постоянном ES - это ограничение формы производственных возможностей, и можно охарактеризовать класс производственных функций, которые обладают этим свойством. Это было сделано Эрроу-Ченери-Минхас-Солоу для случая двухфакторного производства. ^[1]

Производственная функция CES - это неоклассическая производственная функция, которая демонстрирует постоянную эластичность замещения . Другими словами, технология производства имеет постоянное процентное изменение соотношения факторов (например, труда и капитала ) из-за процентного изменения предельной нормы технического замещения . Два фактора (капитал, труд) CES производственной функции , введенный Solow , ^[2] , а затем сделали популярным Стрелком , Chenery , Minhas и Солоу является: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\ displaystyle Q = F \ cdot \ left (a \ cdot K ^ {\ rho} + (1-a) \ cdot L ^ {\ rho} \ right) ^ {\ frac {\ upsilon} {\ rho}} }$

куда

• ${\displaystyle Q}$ = Количество вывода
• ${\displaystyle F}$= Фактор производительности
• ${\displaystyle a}$ = Поделиться параметром
• ${\displaystyle K}$, = Количество основных факторов производства (капитал и труд)${\displaystyle L}$
• ${\displaystyle \rho }$= = Параметр подстановки${\displaystyle {\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$
• ${\displaystyle \sigma }$= = Эластичность замещения${\displaystyle {\frac {1}{1-\rho }}}$
• ${\displaystyle \upsilon }$= степень однородности производственной функции. Где = 1 (постоянный возврат к масштабу) , <1 (убывающий возврат к масштабу) , > 1 (возрастающий возврат к масштабу) .${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \upsilon }$${\displaystyle \upsilon }$

Как следует из названия, производственная функция CES демонстрирует постоянную эластичность замещения между капиталом и трудом. Функции Леонтьева, линейные функции и функции Кобба – Дугласа являются частными случаями производственной функции CES. То есть,

• Если приближается к 1, мы имеем линейную функцию или функцию идеальных замен;${\displaystyle \rho }$
• Если в пределе приближается к нулю, мы получаем производственную функцию Кобба – Дугласа ;${\displaystyle \rho }$
• При приближении к отрицательной бесконечности мы получаем производственную функцию Леонтьева или идеального дополнения.${\displaystyle \rho }$

Общая форма производственной функции CES с n входами: ^[7]

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}$

куда

• ${\displaystyle Q}$ = Количество вывода
• ${\displaystyle F}$ = Фактор производительности
• ${\displaystyle a_{i}}$ = Поделиться параметром входа i, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=1}$
• ${\displaystyle X_{i}}$ = Количество факторов производства (i = 1,2 ... n)
• ${\displaystyle s={\frac {1}{1-r}}}$ = Эластичность замены.

Расширение функциональной формы CES (Solow) для учета нескольких факторов производства создает некоторые проблемы. Однако универсального способа сделать это не существует. Удзава показал, что единственно возможные производственные функции n-факторов (n> 2) с постоянными частичными эластичностями замещения требуют либо того, чтобы все эластичности между парами факторов были идентичны, либо, если они отличаются, все они должны равняться друг другу, а все остальные эластичности единство. ^[8] Это верно для любой производственной функции. Это означает, что использование функциональной формы CES для более чем двух факторов обычно означает, что среди всех факторов не существует постоянной эластичности замещения.

Вложенные функции CES обычно встречаются в моделях частичного и общего равновесия . Различные гнезда (уровни) позволяют ввести соответствующую эластичность замещения.

Служебная функция CES [ править ]

Та же самая функциональная форма CES возникает как функция полезности в теории потребителей . Например, если существуют типы потребительских товаров , то совокупное потребление можно определить с помощью агрегатора CES:${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}$

Здесь снова коэффициенты являются параметрами акций и эластичностью замещения. Следовательно, потребительские товары являются идеальной заменой, когда приближается к бесконечности, и идеальным дополнением, когда приближается к нулю. Агрегатор CES также иногда называют агрегатором Armington , который обсуждался Armington (1969). ^[9]${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$

Функции полезности CES - это частный случай гомотетических предпочтений .

Ниже приведен пример функции полезности CES для двух товаров и с равными долями: ^{[10] : 112}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle u(x,y)=(x^{r}+y^{r})^{1/r}.}$

Функция расходы в этом случае:

${\displaystyle e(p_{x},p_{y},u)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(r-1)/r}\cdot u.}$

Непрямой функция полезности является обратным:

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},I)=(p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)})^{(1-r)/r}\cdot I.}$

Функции спроса :

${\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I,}$

${\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{1/(r-1)}}{p_{x}^{r/(r-1)}+p_{y}^{r/(r-1)}}}\cdot I.}$

Функция полезности CES - один из случаев, рассмотренных Дикситом и Стиглицем (1977) в их исследовании оптимального разнообразия продуктов в контексте монополистической конкуренции . ^[11]

Обратите внимание на разницу между полезностью CES и изоэластичной полезностью : функция полезности CES - это порядковая функция полезности, которая представляет предпочтения для определенных потребительских наборов товаров, а изоэластичная функция полезности - это кардинальная функция полезности, которая представляет предпочтения в лотереях. Непрямая (двойная) функция полезности CES использовалась для получения согласованных с полезностью систем спроса на бренды, в которых потребности категорий определяются эндогенно с помощью многокатегорийной косвенной (двойной) функции полезности CES. Также было показано, что предпочтения CES самодвойственны и что как первичные, так и двойственные предпочтения CES образуют системы кривых безразличия, которые могут проявлять любую степень выпуклости. ^[12]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Анатомия производственных функций типа CES в 3D
• Решение закрытой формы для фирмы с N-мерной технологией CES
• Функция доходов монополистов