Эластичность замены

Эластичность замещения - это эластичность отношения двух вводимых ресурсов к производственной функции (или полезности) по отношению к соотношению их предельных продуктов (или полезностей). ^[1] На конкурентном рынке он измеряет процентное изменение двух используемых ресурсов в ответ на процентное изменение их цен. ^[2] Он дает меру кривизны изокванты и, таким образом, взаимозаменяемость между входами (или товарами), то есть насколько легко заменить один вход (или товар) другим. ^[3]

История концепции [ править ]

Джон Хикс представил эту концепцию в 1932 году. Джоан Робинсон независимо открыла ее в 1933 году, используя математическую формулировку, эквивалентную формулировке Хикса, хотя в то время это не было реализовано. ^[4]

Определение [ править ]

Общее определение эластичности X по отношению к Y сводится к бесконечно малым изменениям и дифференцируемым переменным. Эластичность замещения - это изменение соотношения использования двух товаров по отношению к соотношению их предельной стоимости или цен. Чаще всего используется соотношение капитала (K) и труда (L) по отношению к соотношению их предельного продукта и / или цены аренды (r) и заработной платы (w). Другое приложение - отношение потребительских товаров 1 и 2 к соотношению их предельных полезностей или их цен. Начнем с приложения потребления. ${\ displaystyle E_ {Y} ^ {X} = {\ frac {\% \ {\ mbox {изменение в X}}} {\% \ {\ mbox {изменение в Y}}}}}$${\ displaystyle E_ {Y} ^ {X} = {\ frac {dX} {dY}} {\ frac {Y} {X}}}$${\ displaystyle MP_ {K}}$${\ displaystyle MP_ {L}}$

Пусть полезность сверх потребления дается выражением and let . Тогда эластичность замещения равна:${\ Displaystyle U (c_ {1}, c_ {2})}$${\ Displaystyle U_ {c_ {i}} = dU (c_ {1}, c_ {2}) / d {c_ {i}}}$

${\ displaystyle E_ {21} = {\ frac {d \ ln (c_ {2} / c_ {1})} {d \ ln (MRS_ {12})}} = {\ frac {d \ ln (c_ { 2} / c_ {1})} {d \ ln (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}})}} = {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1 })} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}})} {U_ {c_ {1}} / U_ {c_ {2}}}}} = {\ frac {\ frac {d (c_ {2} / c_ {1})} {c_ {2} / c_ {1}}} {\ frac {d (p_ {1} / p_ {2})} {p_ {1} / p_ {2}}}}}$

где - предельная норма замещения . Последнее равенство представляет , где - цены товаров 1 и 2. Это соотношение из условия первого порядка для задачи максимизации потребительской полезности во внутреннем равновесии Эрроу – Дебре, где предельные полезности двух товаров пропорциональны ценам. Интуитивно мы смотрим на то, как выбор потребителя в отношении предметов потребления меняется по мере изменения их относительных цен.${\ displaystyle MRS}$${\ displaystyle MRS_ {12} = p_ {1} / p_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}}$

Также обратите внимание, что :${\ displaystyle E_ {21} = E_ {12}}$

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})}}={\frac {d\left(-\ln(c_{2}/c_{1})\right)}{d\left(-\ln(U_{c_{1}}/U_{c_{2}})\right)}}={\frac {d\ln(c_{1}/c_{2})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=E_{12}}$

Эквивалентная характеристика эластичности замещения: ^[5]

${\displaystyle E_{21}={\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{12})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(MRS_{21})}}=-{\frac {d\ln(c_{2}/c_{1})}{d\ln(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(U_{c_{2}}/U_{c_{1}})}{U_{c_{2}}/U_{c_{1}}}}}=-{\frac {\frac {d(c_{2}/c_{1})}{c_{2}/c_{1}}}{\frac {d(p_{2}/p_{1})}{p_{2}/p_{1}}}}}$

В моделях с дискретным временем, эластичность замещения потребления в периоды , и известна как эластичность межвременного замещения .${\displaystyle t}$${\displaystyle t+1}$

Точно так же, если производственная функция равна, то эластичность замещения равна:${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln MRTS_{12}}}={\frac {d\ln(x_{2}/x_{1})}{d\ln({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}}={\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}})}{{\frac {df}{dx_{1}}}/{\frac {df}{dx_{2}}}}}}=-{\frac {\frac {d(x_{2}/x_{1})}{x_{2}/x_{1}}}{\frac {d({\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}})}{{\frac {df}{dx_{2}}}/{\frac {df}{dx_{1}}}}}}}$

где - предельная скорость технического замещения .${\displaystyle MRTS}$

Обратной стороной эластичности замещения является эластичность дополнительности .

Пример [ править ]

Рассмотрим производственную функцию Кобба – Дугласа .${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{a}x_{2}^{1-a}}$

Предельная ставка технической замены составляет

${\displaystyle MRTS_{21}={\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}$

Обозначения менять удобно. Обозначить

${\displaystyle {\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\theta }$

Переписывая это, мы имеем

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {a}{1-a}}\theta }$

Тогда эластичность замещения равна ^[6]

${\displaystyle \sigma _{21}={\frac {dln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{dln(MRTS_{21})}}={\frac {dln({\frac {x_{1}}{x_{2}}})}{dln(\theta )}}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{\frac {\theta }{d\theta }}={\frac {d{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}{d\theta }}{\frac {\theta }{\frac {x_{1}}{x_{2}}}}={\frac {a}{1-a}}{\frac {1-a}{a}}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=1}$

Экономическая интерпретация [ править ]

Учитывая исходное распределение / комбинацию и конкретную замену при распределении / комбинации для исходного, чем больше величина эластичности замещения (предельная степень эластичности замещения относительного распределения), тем выше вероятность замещения. У рынка всегда есть 2 стороны; здесь мы говорим о получателе, поскольку эластичность предпочтений - это эластичность получателя.

Эластичность замещения также определяет, как изменяются относительные расходы на товары или вводимые факторы при изменении относительных цен. Пусть обозначают расходы по сравнению с , что на . Это:${\displaystyle S_{21}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

${\displaystyle S_{21}\equiv {\frac {p_{2}c_{2}}{p_{1}c_{1}}}}$

При изменении относительной цены относительные расходы изменяются в зависимости от:${\displaystyle p_{2}/p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {dS_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left[1+{\frac {d\left(c_{2}/c_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{c_{2}/c_{1}}}\right]={\frac {c_{2}}{c_{1}}}\left(1-E_{21}\right)}$

Таким образом, приводит ли увеличение относительной цены к увеличению или уменьшению относительных расходов на, зависит от того, является ли эластичность замещения меньше или больше единицы.${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$

Интуитивно понятно, что прямым следствием повышения относительной цены является увеличение расходов на , поскольку данное количество является более дорогостоящим. С другой стороны, если предположить, что рассматриваемые товары не являются товарами Гиффена , рост относительной цены на них ведет к падению относительного спроса на них , так что количество покупаемых товаров падает, что снижает расходы на .${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$

Какой из этих эффектов преобладает, зависит от величины эластичности замещения. Когда эластичность замещения меньше единицы, преобладает первый эффект: относительный спрос на него падает, но пропорционально меньше, чем рост его относительной цены, так что относительные расходы возрастают. В этом случае товары являются брутто-дополнениями .${\displaystyle c_{2}}$

И наоборот, когда эластичность замещения больше единицы, преобладает второй эффект: сокращение относительного количества превышает увеличение относительной цены, так что относительные расходы на продукцию падают. В этом случае товары являются валовыми заменителями .${\displaystyle c_{2}}$

Обратите внимание, что когда эластичность замещения равна единице (как в случае Кобба – Дугласа), расходы по отношению к не зависят от относительных цен.${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$

См. Также [ править ]

• Постоянная эластичность замещения
• Предельная ставка технического замещения

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хикс, младший (1932). Теория заработной платы . Макмиллан. Впервые определился там.
• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон; Зеленый (2007). Микроэкономическая теория . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195073409.
• Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). WW Norton & Company . ISBN 978-0-393-95735-8.
• Кламп, Райнер; Макадам, Питер; Уиллман, Альпо (2007). «Факторное замещение и технический прогресс, увеличивающий фактор в Соединенных Штатах: Нормализованный системный подход на стороне предложения». Обзор экономики и статистики . 89 (1): 183–192. DOI : 10.1162 / rest.89.1.183 . S2CID  57570638 .

Внешние ссылки [ править ]

• Эластичность замещения , Гонсало Л. Фонсекка, эссе, Новая школа социальных исследований .