В экономике и эконометрике , то функция Кобба-Дуглас является частное функциональной формы производственной функции , широко используются для представления технологической взаимосвязи между количествами двух или более входов ( в частности , труд и капитал) и количеством продукции , которое может производиться этими входами. Форма Кобба-Дугласа была разработана и проверена на основе статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в период с 1927 по 1947 год; [1] согласно Дугласу, сама функциональная форма была разработана ранее Филипом Викстидом . [2]
Формулировка
В наиболее стандартной форме для производства одного товара с двумя факторами функция имеет следующий вид:
где:
- Y = общий объем производства (реальная стоимость всех товаров, произведенных за год или 365,25 дней)
- L = трудозатраты (отработанные человеко-часы в год или 365,25 дня)
- K = капитальные затраты (мера всех машин, оборудования и зданий; стоимость капитальных вложений, деленная на цену капитала) [ требуется пояснение ]
- A = общая факторная производительность
- α и β - эластичности капитала и труда по выпуску соответственно. Эти значения являются константами, определяемыми доступной технологией.
Эластичность выпуска измеряет реакцию выпуска на изменение уровня труда или капитала, используемых в производстве, при прочих равных . Например, если α = 0,45 , увеличение использования капитала на 1% приведет к увеличению выпуска примерно на 0,45% .
Иногда этот термин имеет более узкое значение, требуя , чтобы функция отображения постоянная отдача от масштаба , а это означает , что удвоение использования капитала K и труда L будет также двойной выход Y . Это верно, если
- α + β = 1 ,
Если
- α + β <1 ,
отдача от масштаба уменьшается, это означает, что процентное увеличение капитала K и труда L приведет к меньшему процентному увеличению выпуска Y , [3]
и если
- α + β > 1 ,
отдача от масштаба увеличивается, означает , что процентное увеличение капитала K и труда L будет производить больший процент увеличения выхода Y . [4] Предполагая совершенную конкуренцию и α + β = 1 , можно показать , что α и β являются долями капитала и труда в выпуске.
В обобщенном виде функция Кобба – Дугласа моделирует более двух товаров. Функцию Кобба – Дугласа можно записать как [5]
где
- A - параметр эффективности
- n - общее количество входных переменных (товаров)
- x 1 , ..., x n - (неотрицательные) количества потребленных, произведенных товаров и т. д.
- - параметр эластичности товара i
История
Пол Дуглас объяснил, что его первая формулировка производственной функции Кобба-Дугласа была разработана в 1927 году; при поиске функциональной формы для связи оценок, которые он рассчитал для рабочих и капитала, он поговорил с математиком и коллегой Чарльзом Коббом , который предложил функцию вида Y = AL β K 1− β , ранее использовавшуюся Кнутом Викселлом , Филипом Викстидом , и Леон Вальрас , хотя Дуглас благодарит только Викстида и Вальраса за их вклад. [6] Вскоре после смерти Кнута Викселла в 1926 году Пол Дуглас и Чарльз Кобб реализовали функцию Кобба-Дугласа в своей работе, впервые охватывающей предметный подход теории производителя. [7] Оценивая это методом наименьших квадратов , он получил результат для показателя труда 0,75, который впоследствии был подтвержден Национальным бюро экономических исследований как 0,741. Более поздняя работа в 1940-х годах подтолкнула их к тому, чтобы учесть показатели для K и L изменяться, что привело к оценкам, которые впоследствии оказались очень близкими к усовершенствованным показателям производительности, разработанным в то время. [8]
Основная критика в то время заключалась в том, что оценки производственной функции, хотя и кажущиеся точными, основывались на таких разреженных данных, что было трудно им доверять. Дуглас заметил: «Я должен признать, что был обескуражен этой критикой и думал отказаться от усилий, но кое-что подсказало мне, что я должен держаться». [8] Прорыв произошел в использовании данных переписи населения США , которые носили перекрестный характер и давали большое количество наблюдений. Дуглас представил результаты этих исследований вместе с результатами для других стран в своем выступлении в 1947 году в качестве президента Американской экономической ассоциации . Вскоре после этого Дуглас ушел в политику и почувствовал недомогание, что не привело к дальнейшему развитию с его стороны. Однако два десятилетия спустя его производственная функция получила широкое распространение и была принята экономистами, такими как Пол Самуэльсон и Роберт Солоу . [8] Производственная функция Кобба-Дугласа особенно примечательна тем, что впервые агрегированная или общеэкономическая производственная функция была разработана, оценена и затем представлена специалистам для анализа; он ознаменовал знаменательное изменение в подходе экономистов к макроэкономике с точки зрения микроэкономики. [9]
Критика
Функцию критиковали за отсутствие основы. На Кобба и Дугласа повлияли статистические данные, которые, по-видимому, показали, что доли труда и капитала в общем объеме производства в развитых странах были постоянными во времени; они объяснили это статистической подгонкой регрессии их производственной функции методом наименьших квадратов . Сейчас есть сомнения в том, существует ли постоянство во времени. [ необходима цитата ] . Производственная функция содержит принципиальное допущение, которое не всегда может обеспечить наиболее точное представление о производственных возможностях страны и эффективности предложения. Это предположение представляет собой «постоянную долю рабочей силы в выпуске», которая может оказаться неэффективной в применении к странам, рынки труда которых растут значительными темпами. [10] Другой проблемой в фундаментальной композиции производственной функции Кобба-Дугласа является наличие смещения одновременного уравнения. Когда предполагается конкуренция, смещение одновременного уравнения оказывает влияние на все типы функций, связанных с решениями фирм, включая функцию Кобба-Дугласа. В некоторых случаях это смещение одновременного уравнения не проявляется. Однако это становится очевидным при использовании асимптотических приближений методом наименьших квадратов. [11]
Производственная функция Кобба-Дугласа не была разработана на основе каких-либо знаний в области техники, технологии или управления производственным процессом [ цитата необходима ] . Это обоснование может быть верным с учетом определения термина «капитал». Рабочие часы и капитал нуждаются в более точном определении. Если капитал определяется как здание, труд уже включен в развитие этого здания. Здание состоит из товаров, рабочей силы, рисков и общих условий. Вместо этого она была разработана, потому что у нее были привлекательные математические характеристики [ необходима цитата ] , такие как убывающая предельная отдача от любого фактора производства и свойство, согласно которому оптимальные доли затрат на любой данный ввод фирмы, использующей технологию Кобба-Дугласа, постоянны. Изначально под него не было инженерных сетей. В современную эпоху некоторые экономисты пытаются построить модели на основе действий отдельных агентов, вместо того, чтобы навязывать функциональную форму всей экономике [ необходима цитата ] . Производственная функция Кобба – Дугласа, если ее правильно определить, может применяться на микроэкономическом уровне до макроэкономического уровня.
Однако многие современные авторы [ кто? ] разработали модели, которые дают производственные функции Кобба – Дугласа на микроэкономической основе , включая многие новые кейнсианские модели. [12] Тем не менее математической ошибкой является предположение, что только потому, что функция Кобба – Дугласа применима на микроэкономическом уровне, она всегда применима и на макроэкономическом уровне. Точно так же не обязательно, чтобы макрос Кобба-Дугласа применялся на дезагрегированном уровне. Раннее микрооснование агрегированной технологии Кобба-Дугласа, основанной на линейных действиях, было получено в Houthakker (1955). [13] Производственная функция Кобба-Дугласа несовместима с современными эмпирическими оценками эластичности замещения между капиталом и трудом, которые предполагают, что капитал и труд являются валовыми дополнениями. Мета-анализ 3186 оценок 2021 года пришел к выводу, что «масса свидетельств, собранных в эмпирической литературе, категорически отвергает спецификацию Кобба-Дугласа». [14]
Cobb – Douglas коммунальные услуги
Функция Кобба – Дугласа часто используется как функция полезности . [15] [5] Утилита является функцией величин принадлежащий потребляемые товары:
Функции полезности представляют собой порядковые предпочтения и не имеют естественных единиц, в отличие от производственных функций. В результате монотонное преобразование функции полезности представляет те же предпочтения. В отличие от производственной функции Кобба-Дугласа, где сумма показателей определяет степень экономии за счет масштаба, сумма может быть нормализована к единице для функции полезности, поскольку нормализация - это монотонное преобразование исходной функции полезности. Итак, определим а также , так , и напишите служебную функцию как:
Потребитель максимизирует полезность при ограничении бюджета, заключающемся в том, что стоимость товаров меньше его богатства. . Сдача обозначают цены товаров, он решает:
Оказывается, решением для спроса Кобба-Дугласа является
С , потребитель тратит фракцию своего состояния на хорошем j . Обратите внимание, что это решение для любого или же поскольку одни и те же предпочтения порождают одинаковый спрос.
Функция косвенной полезности может быть рассчитана путем подстановки требованийв функцию полезности. Определите константу) и получаем:
который является частным случаем полярной формы Гормана . Функция расходов является обратной функцией косвенной функции полезности: [16] : 112
Различные представления производственной функции
Форму функции Кобба-Дугласа можно оценить как линейную зависимость, используя следующее выражение:
где
Модель также можно записать как
Как уже отмечалось, общая функция Кобба-Дугласа, используемая в макроэкономическом моделировании, является
где K - капитал, а L - труд. Когда показатели модели в сумме равны единице, производственная функция является однородной первого порядка , что подразумевает постоянную отдачу от масштаба - то есть, если все вводимые ресурсы масштабируются с помощью общего коэффициента больше нуля, выпуск будет масштабироваться с тем же коэффициентом.
Связь с производственной функцией CES
Постоянная эластичность замещения (CES) производственная функция (в случае два-фактора) является
в котором предельный случай γ = 0 соответствует функции Кобба – Дугласа,с постоянной отдачей от масштаба. [17]
Чтобы увидеть это, журнал функции CES,
можно довести до предела, применив правило Л'Опиталя :
Следовательно, .
Производственная функция Translog
Производственная функция translog представляет собой аппроксимацию функции CES полиномом Тейлора второго порядка от переменной о , т.е. случай Кобба – Дугласа. [18] [19] Название translog означает «трансцендентный логарифмический». Он часто используется в эконометрике из- за того, что он линейен по параметрам, что означает, что можно использовать обычные методы наименьших квадратов , если исходные данные можно считать экзогенными .
В двухфакторном случае выше производственная функция транслоготипа
где , , , , а также определены соответствующим образом. В трехфакторном случае производственная функция транслога равна:
где = общая факторная производительность, = труд, = капитал, = материалы и принадлежности, и = вывод.
Смотрите также
- Леонтьевская производственная функция
- Граница производственных возможностей
- Теория производства
Рекомендации
- ^ Кобб, CW; Дуглас, PH (1928). «Теория производства» (PDF) . Американский экономический обзор . 18 (Дополнение): 139–165. JSTOR 1811556 . Проверено 26 сентября 2016 года .
- ^ Барро, Роберт Дж .; Сала-и-Мартин, Ксавьер (2004). Экономический рост (второе изд.). MIT Press. п. 29, сл. 7. ISBN 0-262-02553-1.
- ^ Жак, Ян (2018). Математика для экономики и бизнеса (Девятое изд.). Харлоу, Соединенное Королевство: Pearson Education. п. 168. ISBN 9781292191713.
- ^ Жак, Ян (2018). Математика для экономики и бизнеса (Девятое изд.). Харлоу, Соединенное Королевство: Pearson Education. п. 168. ISBN 9781292191713.
- ^ а б Браун, Мюррей (18 мая 2016 г.). Новый экономический словарь Пэлгрейва . Springer. ISBN 9781349588022.
- ^ Браун, Мюррей (2017). «Функции Кобба – Дугласа». Новый экономический словарь Пэлгрейва . Palgrave Macmillan UK. С. 1–4. DOI : 10.1057 / 978-1-349-95121-5_480-2 . ISBN 978-1-349-95121-5.
- ^ Нечиба, Томас Дж. (2017). Микроэкономика: интуитивный подход с исчислением (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: обучение Cengage. п. 126. ISBN 978-1-305-65046-6.
- ^ а б в Дуглас, Пол Х. (октябрь 1976 г.). «Производственная функция Кобба-Дугласа еще раз: ее история, ее тестирование и некоторые новые эмпирические значения». Журнал политической экономии . 84 (5): 903–916. DOI : 10.1086 / 260489 . S2CID 154435697 .
- ^ Филипе, Иисус; Адамс, Ф. Джерард (2005). «Оценка функции Кобба-Дугласа: ретроспективный взгляд». Восточный экономический журнал . 31 (3): 427–445. JSTOR 40326423 .
- ^ Хайкова, Дана; Гурник, Яромир (октябрь 2006 г.). «Производственная функция Кобба-Дугласа: случай конвергенции экономики» . Чешский журнал экономики и финансов (пользователь финансирует) . 57 (9–10): 465–476 . Проверено 25 апреля 2021 года .
- ^ Хох, Ирвинг (октябрь 1958 г.). «Смещение одновременного уравнения в контексте производственной функции Кобба-Дугласа». Econometrica . 26 (4): 566–578. JSTOR 1907517 .
- ^ Уолш, Карл (2003). Денежно-кредитная теория и политика (2-е изд.). Кембридж: MIT Press .
- ^ Хутаккер, HS (1955), "Парето распределения и функция Кобба-Дугласа в деятельности Анализ", Обзор экономических исследований , 23 (1): 27-31, DOI : 10,2307 / 2296148 , JSTOR 2296148
- ^ Гечер, Гавранек, Ирсова, Колкунова (2021), «Измерение замещения капитала и труда: важность выбора метода и предвзятости публикации», Обзор экономической динамики , doi : 10.1016 / j.red.2021.05.003CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Бренес, Адриан (2011). Функция полезности Кобба-Дугласа .
- ^ Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Нортон. ISBN 0-393-95735-7.
- ^ Зильберберг, Юджин; Суен, Крыло (2001). «Эластичность замещения» . Структура экономики: математический анализ (третье изд.). Бостон: Ирвин МакГроу-Хилл. С. 246–2477. ISBN 0-07-234352-4.
- ^ Berndt, Ernst R .; Кристенсен, Лауриц Р. (1973). «Функция Translog и замена оборудования, конструкций и рабочей силы в производстве США 1929–68». Журнал эконометрики . 1 (1): 81–113. DOI : 10.1016 / 0304-4076 (73) 90007-9 .
- ^ Винн, РФ; Холден, К. (1974). Введение в прикладной эконометрический анализ . Нью-Йорк: Холстед Пресс. С. 62–65. ISBN 0-333-16711-2.
дальнейшее чтение
- Реншоу, Джефф (2005). Математика для экономики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 516–526. ISBN 0-19-926746-4.
Внешние ссылки
- Анатомия производственных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
- Анализ Кобба-Дугласа как функции полезности
- Решение закрытой формы для фирмы с производственной функцией N-input