Полная мера

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Полная мера»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А полная мера (или, точнее, полное пространство с мерой ) является мерой пространство , в котором каждое подмножество любого множества нулевой измерима (имеющий меру нуль ). Более формально пространство с мерой ( X , Σ,  μ ) полно тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle S \ substeq N \ in \ Sigma {\ mbox {и}} \ mu (N) = 0 \ \ Rightarrow \ S \ in \ Sigma.}$

Мотивация [ править ]

Необходимость рассмотрения вопросов полноты может быть проиллюстрирована рассмотрением проблемы пространств продуктов.

Предположим, что мы уже построили меру Лебега на вещественной прямой : обозначим это пространство с мерой через ( R ,  B ,  λ ). Теперь мы хотим построить некоторую двумерную меру Лебега λ ² на плоскости R ² в качестве меры продукта . Наивно, мы бы взять σ - алгебра на R ² , чтобы быть B  ⊗  B , наименьшая σ - алгебра , содержащая все измеряемые «прямоугольники» ₁  ×  ₂ для _я ∈  B .

Хотя этот подход действительно определяет пространство измерения , он имеет недостаток. Поскольку каждое одноэлементное множество имеет одномерную нулевую меру Лебега,

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} (\ {0 \} \ times A) = \ lambda (\ {0 \}) \ cdot \ lambda (A) = 0}$

для «любого» подмножества A из R . Однако предположим, что A - неизмеримое подмножество реальной прямой, такое как множество Витали . Тогда λ ² -мера для {0} ×  A не определена, но

${\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} ,}$

и этот больший набор действительно имеет λ ² -меру ноль. Итак, эта «двумерная мера Лебега», как только что определено, не является полной, и требуется некоторая процедура завершения.

Построение полной меры [ править ]

Для (возможно, неполного) пространства с мерой ( X , Σ,  μ ) существует полное расширение ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) этого пространства с мерой. Наименьшее такое расширение (т.е. наименьшая σ- алгебра Σ ₀ ) называется пополнением пространства с мерой.

Завершение можно построить следующим образом:

• пусть Z - множество всех подмножеств подмножеств нулевой µ- меры в X (интуитивно понятно, что те элементы Z, которые еще не входят в Σ, являются теми, которые препятствуют выполнению полноты);
• пусть Σ ₀ - σ -алгебра, порожденная Σ и Z (т. е. наименьшая σ -алгебра, содержащая каждый элемент Σ и Z );
• μ имеет продолжение на Е ₀ (который является уникальным , если μ является σ -конечным ), называются внешняя мера по ц , задаваемое инфимуму

${\displaystyle \mu _{0}(C):=\inf\{\mu (D)\mid C\subseteq D\in \Sigma \}.}$

Тогда ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ) является полным пространством с мерой и является пополнением ( X , Σ,  μ ).

В приведенной выше конструкции можно показать, что каждый член Σ ₀ имеет вид A  ∪  B для некоторых A  ∈ Σ и некоторых B  ∈  Z , и

${\displaystyle \mu _{0}(A\cup B)=\mu (A).}$

Примеры [ править ]

• Борелевская мера, определенная на борелевской σ- алгебре, порожденной открытыми интервалами вещественной прямой, не является полной, и поэтому для определения полной меры Лебега необходимо использовать описанную выше процедуру завершения. Это иллюстрируется тем фактом, что множество всех борелевских множеств над действительными числами имеет ту же мощность, что и действительные числа. В то время как множество Кантора является борелевским, имеет нулевую меру, а его набор мощности имеет мощность, строго превышающую мощность действительных чисел. Таким образом, существует подмножество канторова множества, которое не содержится в борелевских множествах. Следовательно, мера Бореля неполна.
• n -мерная мера Лебега - это пополнение n -мерного произведения одномерного пространства Лебега на себя. Это также пополнение меры Бореля, как и в одномерном случае.

Свойства [ править ]

Теорема Махарама утверждает, что каждое полное пространство с мерой разложимо на меру на континууме и конечную или счетную меру .

Ссылки [ править ]

• Терехин, А.П. (2001) [1994], "Полная мера" , Энциклопедия математики , EMS Press