В математике , то Маркова-Какутаните фиксированную точку теоремы , названную в честь Андрея Марков и Шиий Какутани , утверждает , что коммутирующее семейство непрерывных аффинных отображений автомодельных одного компактного выпуклого множества в локально выпуклом топологическом векторном пространстве имеет общее неподвижную точку.
Заявление
Пусть E - локально выпуклое топологическое векторное пространство. Пусть C компактное выпуклое подмножество Е . Пусть S - коммутирующее семейство непрерывных и аффинных автоматических отображений T группы C , т. Е. T ( tx + (1 - t ) y ) = tT ( x ) + (1 - t ) T ( y ) для t в [ 0,1] , а х , у в с . Тогда отображения имеют общую неподвижную точку в C .
Доказательство единственного аффинного отображения на себя
Пусть T - непрерывное аффинное отображение C в себя .
Для x в C определим другие элементы C как
Поскольку C компактен, в C есть сходящаяся подсеть :
Для того, чтобы доказать , что у является неподвижной точкой, то достаточно показать , что п ( Ty ) = е ( у ) для каждого е в двойственной Е . (Двойственный разделяет точки по теореме Хана-Банаха; здесь используется предположение о локальной выпуклости.)
Поскольку C компактно, | f | ограниченно на С положительными постоянная М . С другой стороны
Взяв N = N i и перейдя к пределу при стремлении i к бесконечности, получаем, что
Следовательно
Доказательство теоремы
Множество неподвижных точек одного аффинного отображения T является непустым компактным выпуклым множеством C T по результату для одного отображения. Остальные отображения в семействе S коммутируют с T, поэтому оставим C T инвариантным. Применяя результат для одного отображения последовательно, следует, что любое конечное подмножество S имеет непустое множество неподвижных точек, заданное как пересечение компактных выпуклых множеств C T, когда T пробегает подмножество. Из компактности в C следует , что множество
непусто (компактно и выпукло).
Рекомендации
- Марков А. (1936), "Теоретические теории на абельских ансамблях", Докл. Акад. АН СССР , 10 : 311–314.
- Какутани, С. (1938), "Две теоремы о неподвижной точке о бикомпактных выпуклых множествах", Proc. Imp. Акад. Токио , 14 : 242–245
- Рид, М .; Саймон Б. (1980), Функциональный анализ , методы математической физики, 1 (2-е исправленное издание), Academic Press, стр. 152, ISBN 0-12-585050-6