Свойство конечного пересечения

В общей топологии филиале математики , непустое семейство из подмножеств одного множества X называются имеют конечное свойство пересечения (FIP) , если пересечение над любой конечной подсовокупностью А является непустым . Он обладает свойством сильного конечного пересечения (SFIP), если пересечение по любому конечному поднабору A бесконечно.

Центрированная система множеств представляет собой совокупность множеств с конечным свойством пересечения.

Определение [ править ]

Позвольте быть набором и пусть быть непустым семейством подмножеств, индексированных произвольным набором . Коллекция имеет свойство конечного пересечения ( FIP ), если любая конечная подгруппа из двух или более множеств имеет непустое пересечение, то есть является непустым набором для каждого непустого конечного . ${\ displaystyle X}$ ${\mathcal {A}}=\{A_{i}\}_{i\in I}$ $X$ $I$ ${\mathcal {A}}$ $\bigcap _{i\in J}A_{i}$ $J\subseteq I$

Если это непустое семейство множеств, то следующие эквиваленты: ${\mathcal {A}}$

${\mathcal {A}}$ обладает свойством конечного пересечения.
$Π$ -система порождено не пустое множество в качестве элемента. ${\mathcal {A}}$
${\mathcal {A}}$ это подбаза фильтра .
${\mathcal {A}}$ является подмножеством некоторого предварительного фильтра .
${\mathcal {A}}$ является подмножеством некоторого правильного фильтра .

Обсуждение [ править ]

Пустое множество не может принадлежать ни одной коллекции со свойством конечного пересечения. Условие тривиально выполняется, если пересечение по всей коллекции непусто (в частности, если сама коллекция пуста), а также тривиально выполняется, если коллекция является вложенной, что означает, что коллекция полностью упорядочена по включению ( эквивалентно, для любой конечной подколлекции конкретный элемент подколлекции содержится во всех других элементах подколлекции), например, вложенная последовательность интервалов (0, 1 / n ). Однако это не единственные возможности. Например, если X = (0, 1) и для каждого положительного целого числа i , X _i- это набор элементов X, имеющих десятичное расширение с цифрой 0 в i- м десятичном разряде , тогда любое конечное пересечение непусто (просто возьмите 0 в этих конечных местах и 1 в остальных), но пересечение всех X _i для i ≥ 1 пусто, поскольку ни один элемент из (0, 1) не имеет всех нулевых цифр.

Свойство конечного пересечения полезно при формулировке альтернативного определения компактности :

пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство замкнутых подмножеств, обладающих свойством конечного пересечения, имеет непустое пересечение. ^[1]^[2]

Эта формулировка компактности используется в некоторых доказательствах теоремы Тихонова и несчетность из действительных чисел (смотрите следующий раздел).

Приложения [ править ]

Теорема - Пусть X будет непустое компактное хаусдорфово пространство , что удовлетворяет свойству , что ни одна точка не установятся открыта . Тогда X является несчетным .

Доказательство

Мы покажем, что если U ⊆ X непусто и открыто и если x - точка X , то существует окрестность V ⊂ U , замыкание которой не содержит x ( x может быть или не быть в U ). Выберите y в U, отличный от x (если x находится в U , тогда должен существовать такой y, иначе U будет открытым одноточечным множеством; если x не находится в U , это возможно, посколькуU не пусто). Тогда по условию хаусдорфового, выберите непересекающиеся окрестности W и K из й и Y соответственно. Тогда K ∩ U будет окрестностью y, содержащейся в U , замыкание которой не содержит x, как хотелось бы.

Теперь предположим , что F : N → X является взаимно однозначное соответствие , и пусть { х _я : я ∈ N } обозначим образ из е . Пусть X - первое открытое множество, и выберем окрестность U ₁ ⊂ X , замыкание которой не содержит x ₁ . Во-вторых, выберем окрестность U ₂ ⊂ U ₁ , замыкание которой не содержит x ₂ . Продолжайте этот процесс, выбирая окрестность U _{n +1}⊂ U _n , замыкание которого не содержит x _{n +1} . Тогда набор { U _я : я ∈ N } удовлетворяет центрировано и , следовательно , пересечение их замыканий не пусто в силу компактности X . Следовательно, на этом пересечении есть точка x . Никакой x _{i не} может принадлежать этому пересечению, потому что x _i не принадлежит замыканию U _i . Это означает, что x не равно x _i для всех i иf не сюръективен ; противоречие. Следовательно, X несчетно.

Все условия в формулировке теоремы необходимы:

1. Мы не можем устранить условие Хаусдорфа; счетное множество (по крайней мере, с двумя точками) с недискретной топологией компактно, имеет более одной точки и удовлетворяет тому свойству, что ни один набор точек не является открытым, но не является несчетным.

2. Мы не можем исключить условие компактности, как показывает множество рациональных чисел .

3. Мы не можем исключить условие, что одноточечные множества не могут быть открытыми, как показывает любое конечное пространство с дискретной топологией .

Следствие - каждый замкнутый интервал [ , Ь ] с в < Ь несчетно. Следовательно, R несчетно.

Следствие - Каждый совершенный , локально компактное хаусдорфово несчетно.

Доказательство

Пусть X - совершенное компактное хаусдорфово пространство, тогда из теоремы сразу следует, что X несчетно. Если X является совершенным, локально компактное хаусдорфово пространство , которое не является компактным, то одна точка компактификацией из X является идеальным, Бикомпакт. Следовательно, одноточечная компактификация X несчетна. Поскольку удаление точки из несчетного набора по-прежнему оставляет несчетное множество, X также является несчетным.

Примеры [ править ]

Собственный фильтр на множестве обладает свойством конечного пересечения. Π -системы имеет конечное свойство пересечения тогда и только тогда , когда он не имеет пустое множество в качестве элемента.

Теоремы [ править ]

Пусть X непусто, F ⊆ 2 ^X , F обладает свойством конечного пересечения. Тогда существует U ультрафильтр (в 2 ^Х ) такое , что F ⊆ U .

См. Подробности и доказательства в Csirmaz & Hajnal (1994) . ^[3] Этот результат известен как лемма об ультрафильтре .

Варианты [ править ]

Семейство множеств A обладает свойством сильного конечного пересечения (SFIP), если каждое конечное подсемейство A имеет бесконечное пересечение.

Ссылки [ править ]

^ Манкрес, Джеймс (2004). Топология . Нью-Дели: Прентис-Холл Индии. п. 169. ISBN. 978-81-203-2046-8.
^ «Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение» . PlanetMath .
^ Чирмаз, Ласло; Хайнал, Андраш (1994), Matematikai logika (на венгерском языке) , Будапешт: Университет Этвеша Лоранда .

«Свойство конечного пересечения» . PlanetMath .

[munkres-1] Манкрес, Джеймс (2004). Топология . Нью-Дели: Прентис-Холл Индии. п. 169. ISBN. 978-81-203-2046-8.

[2] «Пространство компактно тогда и только тогда, когда любое семейство замкнутых множеств, имеющих fip, имеет непустое пересечение» . PlanetMath .

[3] Чирмаз, Ласло; Хайнал, Андраш (1994), Matematikai logika (на венгерском языке) , Будапешт: Университет Этвеша Лоранда .

[1]