Пи-система

В математике , A π -системы (или пи-системы ) на множестве представляет собой совокупность определенных подмножеств из таких , что${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle P}$является непустым .
• Если тогда .${\displaystyle A,B\in P}$${\displaystyle A\cap B\in P}$

То есть является непустым семейством подмножеств , которое замкнуто относительно непустых конечных пересечений . ^{[nb 1]} Важность π- систем проистекает из того факта, что если две вероятностные меры согласуются относительно π -системы, то они соглашаются относительно 𝜎-алгебры, порожденной этой π- системой. Более того, если для π-системы выполняются другие свойства, такие как равенство интегралов , то они сохраняются и для порожденной 𝜎-алгебры. Это так, когда набор подмножеств, для которых выполняется это свойство, является 𝜆-системой . π${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega }$-системы также полезны для проверки независимости случайных величин.

Это желательно, потому что на практике с π- системами часто проще работать, чем с 𝜎-алгебрами. Например, может быть неудобно работать с 𝜎-алгебрами, порожденными бесконечным числом множеств. Поэтому вместо этого мы можем исследовать объединение всех 𝜎-алгебр, порожденных конечным числом множеств. Это образует π-систему, которая порождает желаемую 𝜎-алгебру. Другой пример может служить совокупностью всех интервалов в реальной линии , вместе с пустым множеством, которое является π -системы , который генерирует очень важный Борель а-алгебру подмножеств вещественных прямой.${\displaystyle \sigma (E_{1},E_{2},\ldots ).}$${\textstyle \bigcup _{n}\sigma (E_{1},\ldots ,E_{n}).}$

Определения [ править ]

Π -система является непустой совокупностью множеств , замкнутыми относительно непустых конечных пересечений, что эквивалентно , содержащего пересечение любых два из его элементов. Если каждое множество в этой π -системе является подмножеством, то оно называется π -системой на${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega .}$

Для любого непустого семейства подмножеств существует π -система называется π -система порождено , что является единственной наималейшей π -система , содержащим каждый элемент равно пересечением все П -систем , содержащий а может явно описывается как множество всех возможных непустых конечных пересечений элементов${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Omega ,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{\Sigma },}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varSigma }}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle \Sigma ,}$${\displaystyle \Sigma :}$

${\displaystyle \left\{E_{1}\cap \cdots \cap E_{n}~:~1\leq n\in \mathbb {N} {\text{ and }}E_{1},\ldots ,E_{n}\in \Sigma \right\}.}$

Непустое семейство множеств обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда порождаемая им π-система не содержит пустого множества в качестве элемента.

Примеры [ править ]

• Поскольку интервалы образуют π -систему, а интервалы образуют π-систему, если пустое множество также включено.${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle (-\infty ,a]}$${\displaystyle (a,b]}$
• Топология (совокупность открытых подмножеств ) любого топологического пространства является π -системы.
• Каждый фильтр является π- системой. Каждая π-система , не содержащая пустого множества, является предварительным фильтром (также известным как база фильтра).
• Для любой измеримой функции множество   определяет π -системы, и называется π -система генерируется путем ( В качестве альтернативы, определяет π -системы , порожденной )${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{f}=\left\{f^{-1}((-\infty ,x])\colon x\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle \left\{f^{-1}((a,b])\colon a,b\in \mathbb {R} ,a<b\right\}\cup \{\varnothing \}}$${\displaystyle f.}$
• Если и являются π -системами для и соответственно, то является π -системой для декартова произведения${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2},}$${\displaystyle \{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in P_{1},A_{2}\in P_{2}\}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}.}$
• Всякая 𝜎-алгебра является π- системой.

Связь с λ- системами [ править ]

Λ-система на это множество подмножеств , удовлетворяющих${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Omega ,}$

• ${\displaystyle \Omega \in D,}$
• если то (где ),${\displaystyle A\in D}$${\displaystyle A^{c}\in D}$${\displaystyle A^{c}:=\Omega \setminus A}$
• если - последовательность (попарно) непересекающихся подмножеств в, то${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

Хотя верно, что любая 𝜎-алгебра удовлетворяет свойствам быть одновременно π- системой и-системой, неверно, что любая π -система является-системой, и, более того, неверно, что любая π - система является 𝜎-алгеброй. Однако полезная классификация состоит в том, что любая система множеств, которая является одновременно 𝜆-системой и π- системой, является 𝜎-алгеброй. Это используется как шаг в доказательстве теоремы π - λ .

Π - λ теорема [ править ]

Пусть будет λ-система, и пусть   будет π -система , содержащейся в The П - λ теорема ^[1] утверждает , что σ-алгебра , порожденная содержатся в${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq D}$${\displaystyle D.}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle D~:~}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})\subset D.}$

Теорема π - λ может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории меры . Например, он используется при доказательстве утверждения единственности теоремы Каратеодори о продолжении для σ- конечных мер. ^[2]

Теорема π - λ тесно связана с теоремой о монотонных классах , которая обеспечивает аналогичную связь между монотонными классами и алгебрами и может использоваться для получения многих из тех же результатов. Поскольку π -системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть легче идентифицировать множества, которые в них находятся, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство-систему, часто относительно легко. Несмотря на различие между двумя теоремами, теорему π - λ иногда называют теоремой о монотонных классах. ^[1]

Пример [ править ]

Пусть есть две меры на 𝜎-алгебре и предположим, что она порождается π -системой, если${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}:F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F,}$${\displaystyle F=\sigma (I)}$${\displaystyle I.}$

1. ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)}$для всех и${\displaystyle A\in I,}$
2. ${\displaystyle \mu _{1}(\Omega )=\mu _{2}(\Omega )<\infty ,}$

тогда Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о продолжении для конечных мер. Если этот результат не кажется очень примечательным, примите во внимание тот факт, что обычно очень трудно или даже невозможно полностью описать каждое множество в-алгебре, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента.${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}.}$

Идея доказательства ^[2] Определим набор множеств

${\displaystyle D=\left\{A\in \sigma (I)\colon \mu _{1}(A)=\mu _{2}(A)\right\}.}$

По первому предположению, и согласовать и таким образом Ко второму предположению, и в дальнейшем может быть показано , что D является λ-система. Из теоремы π - λ следует, что и так То есть меры согласуются на${\displaystyle \mu _{1}}$${\displaystyle \mu _{2}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq D.}$${\displaystyle \Omega \in D,}$${\displaystyle \sigma (I)\subseteq D\subseteq \sigma (I),}$${\displaystyle D=\sigma (I).}$${\displaystyle \sigma (I).}$

π -Системы в вероятности [ править ]

π -системы чаще используются при изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. Это в первую очередь связано с вероятностными понятиями, такими как независимость , хотя это также может быть следствием того факта, что теорема π - λ была доказана вероятностным специалистом Евгением Дынкиным . Стандартные тексты теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов, а не π- систем.

Равенство в распределении [ править ]

Π - λ теорема мотивирует общее определение распределения вероятностей в виде случайной величины с точки зрения ее кумулятивной функции распределения . Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной - это вероятностная мера

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]}$ для всех ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$

где - борелевская 𝜎-алгебра. Мы говорим, что случайные величины и (на двух, возможно, разных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закону ), что обозначается как если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, то есть мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если тогда то есть в точности сказать это и согласиться с π- системой, которая порождает и так в приведенном выше примере :${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle Y\colon ({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \left\{(-\infty ,a]\colon a\in \mathbb {R} \right\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим, что X и Y - две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве с соответственно сгенерированными π -системами, и совместная кумулятивная функция распределения равна${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$

${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} \left[X\leq a,Y\leq b\right]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],}$ для всех ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} .}$

Однако и потому что ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$

является π -системы , порожденное случайной пары в тг - λ теорема используется , чтобы показать , что совместная функция распределения достаточно определить совместный закон Другими словами, и имеют такое же распределение , если и только если они имеют один и тот же сустав кумулятивная функция распределения.${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

В теории случайных процессов известно , что два процесса равны по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} .}$

${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$

Доказательство этого - еще одно приложение теоремы π - λ . ^[3]

Независимые случайные величины [ править ]

Теория π -систем играет важную роль в вероятностном понятии независимости . Если и - две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве, то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π -системы удовлетворяют${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$

${\displaystyle \operatorname {P} \left[A\cap B\right]=\operatorname {P} [A]\operatorname {P} [B]}$для всех и${\displaystyle A\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {I}}_{Y},}$

то есть независимы. Фактически это частный случай использования π -систем для определения распределения${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X},{\mathcal {I}}_{Y}}$${\displaystyle (X,Y).}$

Пример [ править ]

Пусть где будут IID стандартных нормальных случайных величин. Определите переменные радиуса и аргумента (arctan)${\displaystyle Z=\left(Z_{1},Z_{2}\right),}$${\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

${\displaystyle R={\sqrt {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}}},\qquad \Theta =\tan ^{-1}\left(Z_{2}/Z_{1}\right).}$

Тогда и являются независимыми случайными величинами.${\displaystyle R}$${\displaystyle \Theta }$

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π -системы независимы: т. Е.${\displaystyle {\mathcal {I}}_{R},{\mathcal {I}}_{\Theta }}$

${\displaystyle \operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]=\operatorname {P} [R\leq \rho ]\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]}$ для всех ${\displaystyle \rho \in [0,\infty ),\,\theta \in [0,2\pi ].}$

Подтверждение этого - упражнение по изменению переменных. Fix, и тогда вероятность может быть выражена как интеграл от функции плотности вероятности${\displaystyle \rho \in [0,\infty )}$${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$${\displaystyle Z.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} [R\leq \rho ,\Theta \leq \theta ]&=\int _{R\leq \rho ,\,\Theta \leq \theta }{\frac {1}{2\pi }}\exp \left({-{\frac {1}{2}}(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})}\right)dz_{1}\,dz_{2}\\[5pt]&=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{\rho }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}r\,dr\,d{\tilde {\theta }}\\[5pt]&=\left(\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2\pi }}\,d{\tilde {\theta }}\right)\left(\int _{0}^{\rho }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}r\,dr\right)\\[5pt]&=\operatorname {P} [\Theta \leq \theta ]\operatorname {P} [R\leq \rho ].\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств  - тождества и отношения между множествами, включающими дополнения, включения ⊆ и конечные объединения ∪ и пересечения ∩.
• δ-кольцо
• Семейство наборов
• Поле множеств  - алгебраическое понятие в теории меры
• Идеал (теория множеств)  - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость
• λ-система (система Дынкина)
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Gut, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Нью-Йорк: Спрингер. DOI : 10.1007 / b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
• Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с мартингейлами . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40605-6.