В математике под последовательностью вложенных интервалов понимается набор наборов действительных чисел.
- Я н
такой, что каждый набор I n является интервалом реальной прямой для n = 1, 2, 3, ..., и что далее
- I n + 1 - это подмножество I n
для всех п . Другими словами, интервалы уменьшаются: левый конец перемещается только вправо, а правый - только влево.
Главный вопрос, который необходимо задать, - это природа пересечения всех I n . Без какой-либо дополнительной информации все, что можно сказать, это то, что пересечение J всех I n , то есть множество всех точек, общих для интервалов, является либо пустым множеством , либо точкой, либо некоторым интервалом.
Возможность пустого пересечения можно проиллюстрировать пересечением, когда I n - открытый интервал
- (0, 2 - п ) .
Здесь пересечение пусто, потому что никакое число x не может быть больше 0 и меньше каждой дроби 2 - n .
Ситуация иная для закрытых интервалов . Теорема о вложенных интервалах утверждает, что если каждый I n является замкнутым и ограниченным интервалом, скажем,
- I n = [ a n , b n ]
с участием
- а н ≤ б н
тогда в предположении вложенности пересечение I n не пусто. Это может быть одноэлементный набор { c } или другой закрытый интервал [ a , b ]. Более конкретно, требование вложенности означает, что
- а п ≤ а п + 1
а также
- б н ≥ б н + 1 .
Более того, если длина интервалов сходится к 0, то пересечение I n одноэлементно.
Можно рассмотреть дополнение каждого интервала, записанное как . По законам Де Моргана дополнение к пересечению представляет собой объединение двух непересекающихся открытых множеств. По связанности в реальной линии должно быть что - то между ними. Это показывает, что пересечение (даже бесчисленное количество) вложенных, замкнутых и ограниченных интервалов непусто.
Высшие измерения
В двух измерениях есть аналогичный результат: вложенные замкнутые диски в плоскости должны иметь общее пересечение. Этот результат был продемонстрирован Германом Вейлем для классификации сингулярного поведения некоторых дифференциальных уравнений .
Смотрите также
Рекомендации
- Фриди, Дж. А. (2000), "3.3 Теорема о вложенных интервалах", Вводный анализ: теория исчисления , Academic Press, стр. 29, ISBN 9780122676550.
- Шилов, Георгий Э. (2012), «1.8 Принцип вложенных интервалов», Элементарный действительный и комплексный анализ , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, стр. 21–22, ISBN 9780486135007.
- Сохраб, Хушанг Х. (2003), «Теорема 2.1.5 (теорема о вложенных интервалах)», « Базовый вещественный анализ» , Springer, с. 45, ISBN 9780817642112.