Волоконное пространство Зейферта

Сеиферт расслоение является 3-многообразием вместе с разложением как объединение непересекающихся окружностей. Другими словами, это -расслоение ( расслоение кругов ) над двумерным орбифолдом . Многие 3-многообразия являются расслоениями Зейферта, и они составляют все компактные ориентированные многообразия в 6 из 8 геометрий Терстона гипотезы о геометризации .${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Определение [ править ]

Стандартный расслоенный тор, соответствующий (5,2), получается приклеиванием вершины цилиндра к основанию с поворотом на 2/5 против часовой стрелки.

Многообразие Зейферты является замкнутым 3-многообразием вместе с разложением на объединение непересекающихся окружностей (называемых волокон) таким образом, что каждое волокно имеет трубчатую окрестность, образует стандартный расслаивающийся тор.

Стандарт расслаивается тор , соответствующий паре взаимно простых чисел ( , б ) с > 0 является поверхность пучка автоморфизма диска заданного путем поворота на угол 2л б / (с естественной расслоению кружками). Если a = 1, средний слой называется обычным , а при a > 1 средний слой - исключительным . Компактное расслоение Зейферта имеет лишь конечное число исключительных слоев.

Набор волокон образует двумерное орбифолд , обозначаемый B и называемый базой, также называемой поверхностью орбиты, расслоения. Он имеет нижележащую двумерную поверхность B ₀ , но может иметь некоторые особые точки орбифолда, соответствующие исключительным слоям.

Определение расслоения Зейферта можно обобщить несколькими способами. Многообразие Зейферта часто может иметь границу (также расслоенную на окружности, так что это объединение торов). При изучении неориентируемых многообразий иногда полезно позволить волокнам иметь окрестности, которые выглядят как поверхностный пучок отражения (а не вращения) диска, так что некоторые волокна имеют окрестности, похожие на расслоенные бутылки Клейна, в которых В этом случае могут быть однопараметрические семейства исключительных кривых. В обоих этих случаях база B расслоения обычно имеет непустую границу.

Классификация [ править ]

Герберт Зейферт классифицировал все замкнутые расслоения Зейферта в терминах следующих инвариантов. Многообразия Зейферта обозначаются символами

${\ displaystyle \ {b, (\ varepsilon, g); (a_ {1}, b_ {1}), \ dots, (a_ {r}, b_ {r}) \} \,}$

где: - один из 6 символов:, (или Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII в исходной записи Зейферта), означающих:${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$

• ${\displaystyle o_{1}}$если B является ориентируемым и М ориентируемо.
• ${\displaystyle o_{2}}$если B ориентируем, а M не ориентируем.
• ${\displaystyle n_{1}}$если B неориентируема и M неориентируема, и все образующие сохраняют ориентацию слоя.${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{2}}$если B неориентируем, а M ориентируем, значит, все образующие обратную ориентацию слоя.${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{3}}$если B неориентируемый и M неориентируемый и ровно одна образующая сохраняет ориентацию слоя.${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$
• ${\displaystyle n_{4}}$если B неориентируемый и M неориентируемый, и ровно два образующих, сохраняющих ориентацию слоя.${\displaystyle g\geq 3}$${\displaystyle \pi _{1}(B)}$

Здесь

• g - род нижележащего двумерного многообразия поверхности орбиты.
• b - целое число, нормализованное до 0 или 1, если M неориентируемое, и нормализованное до 0, если дополнительно some равно 2.${\displaystyle a_{i}}$
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})}$- пары чисел, определяющие тип каждой из r исключительных орбит. Они нормализованы так, что когда M ориентируем, а когда M не ориентируем.${\displaystyle 0<b_{i}<a_{i}}$${\displaystyle 0<b_{i}\leq a_{i}/2}$

Расслоение Зейферта символа

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}}$

может быть построено из символа

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

путем хирургического вмешательства для добавления волокон типов b и .${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

Если отбросить условия нормализации, то символ можно будет изменить следующим образом:

• Изменение знака у обоих и не имеет никакого эффекта.${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$
• Добавление 1 к b и вычитание из него не имеет никакого эффекта. (Другими словами, мы можем добавлять целые числа к каждому из рациональных чисел при условии, что их сумма остается постоянной.)${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$
• Если коллектор не ориентируемый, изменение знака не имеет никакого значения.${\displaystyle b_{i}}$
• Добавление волокна типа (1,0) не имеет никакого эффекта. Каждый символ при выполнении этих операций эквивалентен уникальному нормализованному символу. При работе с ненормализованными символами целое число b может быть установлено равным нулю путем добавления волокна типа .${\displaystyle (1,b)}$

Два замкнутых ориентированных или неориентируемых расслоения Зейферта изоморфны как ориентированные или неориентируемые расслоения тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же нормализованный символ. Однако иногда два многообразия Зейферта могут быть гомеоморфными, даже если они имеют разные нормализованные символы, потому что некоторые многообразия (например, линзовые пространства) могут иметь более одного вида расслоений Зейферта. Также ориентированное расслоение при изменении ориентации становится расслоением Зейферта, символ которого имеет знак всех b s, измененных, что после нормализации дает ему символ

${\displaystyle \{-b-r,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}}$

и оно гомеоморфно этому как неориентированное многообразие.

Сумма является инвариантом ориентированных расслоений, который равен нулю тогда и только тогда , когда расслоение становится тривиальным после того , конечное покрытие B .${\displaystyle b+\sum b_{i}/a_{i}}$

Орбиобразие эйлерова характеристика орбифолда B задается${\displaystyle \chi (B)}$

${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})}$,

где обычная эйлерова характеристика лежащей в основе топологической поверхности орбифолда B . Поведение M во многом зависит от знака орбиобразию Эйлера характеристики B .${\displaystyle \chi (B_{0})}$${\displaystyle B_{0}}$

Фундаментальная группа [ править ]

Фундаментальная группа M укладывается в точную последовательность

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1}$

где π ₁ ( B ) - орбифолдная фундаментальная группа B (которая не совпадает с фундаментальной группой лежащего в основе топологического многообразия). Образ группы π ₁ ( S ¹ ) циклический, нормальный и порожден элементом h, представленным любым регулярным слоем, но отображение из π ₁ ( S ¹ ) в π ₁ ( M ) не всегда инъективно.

Фундаментальная группа M имеет следующее представление образующими и соотношениями:

B ориентируемый:

${\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle }$

где ε равно 1 для типа o ₁ и равно −1 для типа o ₂ .

B неориентируемый:

${\displaystyle \langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle }$

где ε _i равно 1 или −1 в зависимости от того, сохраняет ли соответствующая образующая v _i ориентацию волокна или меняет ее на обратную. (Таким образом, все ε _i равны 1 для типа n ₁ , все -1 для типа n ₂ , только первый - один для типа n ₃ , и только первые два - один для типа n _4. )

Положительная орбифолдная эйлерова характеристика [ править ]

Нормализованные символы расслоений Зейферта с положительной орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Эти многообразия Зейферта часто имеют много различных расслоений Зейферта. У них есть сферическая геометрия Терстона, если фундаментальная группа конечна, и геометрия Терстона S ² × R, если фундаментальная группа бесконечна. Эквивалентно, геометрия S ² × R, если многообразие неориентируемо, или если b + Σ b _i / a _i = 0, и сферическая геометрия в противном случае.

{ b ; ( o ₁ , 0);} ( b интеграл) равен S ² × S ¹ для b = 0, иначе это линзовое пространство L ( b , 1). В частности, {1; ( o ₁ , 0);} = L (1,1) - 3-сфера.

{ b ; ( o ₁ , 0); ( a ₁ , b ₁ )} ( b интеграл) - это линзовое пространство L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ).

{ b ; ( o ₁ , 0); ( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ )} ( b интеграл) равен S ² × S ^1, если ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0 , иначе линзовое пространство L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ) где ma ₁ - n ( ba ₁ + b ₁ ) = 1.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b интеграл) Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 a ₃ | ( b +1) а ₃ + б ₃ | и первая группа гомологий порядка 4 | ( b +1) a ₃ + b ₃ |.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b интеграл) Фундаментальная группа является центральным расширением группы тетраэдра порядка 12 с помощью циклической группы.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b интеграл) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка | 12 b + 6 + 4 б ₂ + 3 б ₃ | и двойное покрытие 48-го порядка октаэдрической группы 24-го порядка.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b интеграл) Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m = | 30 b +15 +10 b ₂ +6 b ₃ | и совершенное двойное покрытие порядка 120 группы икосаэдров. Многообразия являются факторами сферы гомологий Пуанкаре по циклическим группам порядка m . В частности, {−1; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, 1), (5, 1)} - сфера Пуанкаре.

{ b ; ( n ₁ , 1);} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые трехмерные многообразия с геометрией S ² × R. Если b четно, оно гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, ассоциированному с обращающим ориентацию автоморфизмом 2-сферы.

{ b ; ( n ₁ , 1); ( a ₁ , b ₁ )} ( b равно 0 или 1.) Это неориентируемые трехмерные многообразия с геометрией S ² × R. Если ba ₁ + b ₁ четно, оно гомеоморфно проективной плоскости, умноженной на окружность, в противном случае оно гомеоморфно поверхностному расслоению, ассоциированному с обращающим ориентацию автоморфизмом 2-сферы.

{ b ; ( n ₂ , 1);} ( b интеграл.) Это призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 | б | и первая группа гомологий порядка 4, за исключением b = 0, когда это сумма двух копий реального проективного пространства, и | b | = 1, когда это линзовое пространство с фундаментальной группой порядка 4.

{ b ; ( n ₂ , 1); ( a ₁ , b ₁ )} ( b интеграл.) Это (единственное) призматическое многообразие с фундаментальной группой порядка 4 a ₁ | ba ₁ + b ₁ | и первая группа гомологий порядка 4 a ₁ .

Нулевая орбифолдная эйлерова характеристика [ править ]

Нормализованные символы расслоений Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой приведены в списке ниже. Многообразия имеют евклидову геометрию Терстона, если они неориентируемы или если b + Σ b _i / a _i = 0, и ниль-геометрию в противном случае. Эквивалентно многообразие имеет евклидову геометрию тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа имеет абелеву группу конечного индекса. Существует 10 евклидовых многообразий, но четыре из них имеют два разных расслоения Зейферта. Все поверхностные расслоения, ассоциированные с автоморфизмами 2-тора следа 2, 1, 0, −1 или −2, являются расслоениями Зейферта с нулевой орбифолдной эйлеровой характеристикой (расслоения других ( Аносова ) автоморфизмов не являются расслоениями Зейферта, но имеютгеометрия золя ). Все многообразия с ниль-геометрией имеют единственное расслоение Зейферта и характеризуются своими фундаментальными группами. Все пространства ацикличны.

{ b ; ( o ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b интеграл, b _i равно 1 или 2) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированная евклидова 2- расслоение торов над окружностью и является поверхностным расслоением, связанным с вращением 2-тора порядка 3 (след −1).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b интеграл, b _i равно 1 или 3) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированный евклидов 2-тор расслоение над окружностью, и является поверхностным расслоением, связанным с вращением 2-тора порядка 4 (след 0).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b интеграл, b ₂ равно 1 или 2, b ₃ равно 1 или 5) Для b + Σ b _i / a _i = 0 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью и поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 6 (след 1).

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b интеграл) Это ориентированные 2-торические расслоения для автоморфизмов 2-тора со следом −2. При b = −2 это ориентированное евклидово 2-торическое расслоение над окружностью (поверхностное расслоение, связанное с вращением 2-тора порядка 2) и гомеоморфно {0; ( N ₂ , 2);}.

{ b ; ( o ₁ , 1); } ( b интеграл) Это ориентированное расслоение с 2-торами над окружностью, заданное как расслоение поверхностей, ассоциированное с автоморфизмом 2-тора со следом 2. При b = 0 это евклидов и 3-тор (поверхностное расслоение, связанное с тождественным отображением 2-тора).

{ b ; ( o ₂ , 1); } ( b равно 0 или 1) Два неориентируемых евклидовых пучка бутылок Клейна над окружностью. Первая гомология - это Z + Z + Z / 2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1. Первый раз Клейна бутылка S ¹ и другой является поверхность расслоения , ассоциированное к Дену твист из бутылки Клейна . Они гомеоморфны торовым расслоениям { b ; ( n ₁ , 2);}.

{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}   Гомеоморфно неориентируемому евклидову бутылочному расслоению Клейна {1; ( П ₃ , 2);}, с первой гомологии Z + Z / 4 Z .

{ b ; ( n ₁ , 2); } ( b равно 0 или 1). Это неориентируемые евклидовы поверхностные расслоения, связанные с обращающими ориентацию автоморфизмами 2-го тора без неподвижных точек. Первая гомология - это Z + Z + Z / 2 Z, если b = 0, и Z + Z, если b = 1. Они гомеоморфны пучкам бутылок Клейна { b ; ( o ₂ , 1);}.

{ b ; ( n ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b интеграл) Для b = −1 это ориентировано евклидово.

{ b ; ( n ₂ , 2); } ( b интеграл) При b = 0 это ориентированное евклидово многообразие, гомеоморфное 2-торовому расслоению {−2; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} над циклом, связанным с вращением 2-го порядка 2-тора.

{ b ; ( п ₃ , 2); } ( b равно 0 или 1) Два других неориентируемых пучка евклидовых бутылок Клейна. Тот, у которого b = 1, гомеоморфен {0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}. Первая гомология - это Z + Z / 2 Z + Z / 2 Z, если b = 0, и Z + Z / 4 Z, если b = 1. Эти два пучка бутылок Клейна являются поверхностными расслоениями, ассоциированными с y-гомеоморфизмом и произведением этого и твиста.

Отрицательная орбифолдная эйлерова характеристика [ править ]

Это общий случай. Все такие расслоения Зейферта с точностью до изоморфизма определяются своей фундаментальной группой. Тотальные пространства асферичны (другими словами, все высшие гомотопические группы обращаются в нуль). Они имеют геометрий Терстона типа универсальной накрывающей SL ₂ ( R ) , если конечное покрытие некоторых расколов в качестве продукта, в этом случае они имеют геометрий Терстона типа H ₂ × R . Это происходит, если многообразие неориентируемо или b + Σ b _i / a _i = 0.

Ссылки [ править ]

• А. В. Чернавский (2001) [1994], "Расслоение Зейферта" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Герберт Зайферт , Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume , Acta Mathematica 60 (1933) 147–238 (Есть перевод W. Heil, опубликованный Государственным университетом Флориды в 1976 году и найденный в: Herbert Seifert , William Threlfall , Seifert and Threllfall: a учебник топологии , Чистая и прикладная математика, Academic Press Inc (1980), том 89).
• Питер Орлик , Многообразия Зейферта , Конспект лекций по математике 291, Springer (1972).
• Франк Раймонд , Классификация действий окружности на трехмерных многообразиях , Труды Американского математического общества 31, (1968) 51–87.
• Уильям Х. Джако , Лекции по топологии 3-многообразий ISBN 0-8218-1693-4 
• Уильям Х. Джако , Питер Б. Шелен , Волокнистые пространства Зейферта в трех многообразиях: серия мемуаров № 220 ( Мемуары Американского математического общества ; т. 21, № 220) ISBN 0-8218-2220-9 
• Мэтью Г. Брин (2007). «Волокнистые пространства Зайферта: заметки для курса, прочитанного весной 1993 года». arXiv : 0711.1346 .
• Джон Хемпель, 3-многообразия , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3695-1 
• Питер Скотт , Геометрии трехмерных многообразий. ( опечатки ), Bull. Лондонская математика. Soc. 15 (1983), нет. 5, 401–487.