Сферический 3-х коллектор

В математике , A сферический 3-многообразие М представляет собой 3-многообразие вида

${\ Displaystyle M = S ^ {3} / \ Gamma}$

где это конечная подгруппа из SO (4) свободно действующая поворотами на 3-сфере . Все такие многообразия первичны , ориентируемы и замкнуты . Сферические трехмерные многообразия иногда называют трехмерными эллиптическими многообразиями или многообразиями Клиффорда-Клейна.${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ Displaystyle S ^ {3}}$

Свойства [ править ]

Сферическое трехмерное многообразие имеет конечную фундаментальную группу, изоморфную самой Γ. Гипотеза об эллиптизации , доказанная Григорием Перельманом , утверждает, что, наоборот, все компактные трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой являются сферическими многообразиями.${\ Displaystyle S ^ {3} / \ Gamma}$

Фундаментальная группа является либо циклической , либо центральным расширением диэдральной , тетраэдрической , октаэдрической или икосаэдрической группы с помощью циклической группы четного порядка. Это делит набор таких многообразий на 5 классов, описанных в следующих разделах.

Сферические многообразия - это в точности многообразия со сферической геометрией, одной из восьми геометрий гипотезы о геометризации Терстона .

Циклический случай (линзовые промежутки) [ править ]

Многообразия с Γ циклическими являются в точности трехмерными линзовыми пространствами . Линзовое пространство не определяется своей фундаментальной группой (существуют негомеоморфные линзовые пространства с изоморфными фундаментальными группами); но любое другое сферическое многообразие есть.${\ Displaystyle S ^ {3} / \ Gamma}$

Трехмерные линзовые пространства возникают как частные по действию группы, порожденной элементами вида${\ Displaystyle S ^ {3} \ subset \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ omega & 0 \\ 0 & \ omega ^ {q} \ end {pmatrix}}.}$

где . Такое линзовое пространство имеет фундаментальную группу для всех , поэтому пространства с разными не гомотопически эквивалентны. Кроме того, известны следующие классификации с точностью до гомеоморфизма и гомотопической эквивалентности. Трехмерные пространства и :${\ Displaystyle \ омега = е ^ {2 \ пи я / р}}$${\ Displaystyle L (p; q)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L(p;q_{1})}$${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. гомотопически эквивалентны тогда и только тогда, когда для некоторых${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. гомеоморфен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

В частности, линзовые пространства L (7,1) и L (7,2) дают примеры двух трехмерных многообразий, которые гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.

Линзовое пространство L (1,0) - это 3-сфера, а линзовое пространство L (2,1) - это 3-х мерное действительное проективное пространство.

Линзовые пространства могут быть представлены как расслоенные пространства Зейферта многими способами, обычно как расслоенные пространства над 2-сферой с не более чем двумя исключительными слоями, хотя линзовое пространство с фундаментальной группой порядка 4 также имеет представление как расслоенное пространство Зейферта над сферой. проективная плоскость без исключительных слоев.

Двугранный случай (призматические многообразия) [ править ]

Призма многообразие представляет собой замкнутую 3-мерное многообразие М , фундаментальная группа является центральным расширением группы диэдра.

Фундаментальная группа π ₁ ( M ) группы M является произведением циклической группы порядка m на группу, имеющую представление

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

для целых чисел к , т , п с к ≥ 1, м ≥ 1, п ≥ 2 и м копервичных до 2 л .

В качестве альтернативы фундаментальная группа имеет представление

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

для взаимно простых целых чисел m , n с m ≥ 1, n ≥ 2. (Здесь n равно предыдущему n , а m здесь в 2 ^{k -1} умножено на предыдущее m .)

Продолжим последнюю презентацию. Эта группа является метациклической группой порядка 4 mn с абелианизацией порядка 4 m (так что m и n оба определяются этой группой). Элемент y порождает циклическую нормальную подгруппу порядка 2 n , а элемент x имеет порядок 4 m . Центр циклический порядка 2 м и порождается й ² , и фактор - центром является группой диэдра порядка 2 п .

Когда m = 1, эта группа является бинарной диэдральной или дициклической группой . Самый простой пример - m = 1, n = 2, когда π ₁ ( M ) - группа кватернионов порядка 8.

Призма многообразие однозначно определяется их основными группы: если замкнутое 3-многообразие имеет ту же основную группу в качестве многообразия призмы М , то гомеоморфный с М .

Призма-многообразия можно представить в виде расслоений Зейферта двумя способами.

Тетраэдрический футляр [ править ]

Фундаментальная группа - это произведение циклической группы порядка m на группу, имеющую представление

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

для целых чисел k , m с k ≥ 1, m ≥ 1 и m взаимно просто с 6.

В качестве альтернативы фундаментальная группа имеет представление

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

для нечетного целого числа m ≥ 1. (Здесь m в 3 ^{k -1} раз больше предыдущего m .)

Продолжим последнюю презентацию. У этой группы порядка 24 м . Элементы x и y порождают нормальную подгруппу, изоморфную кватернионной группе порядка 8. Центр циклический порядка 2 m . Он порождается элементами z ³ и x ² = y ² , а фактор-центр по центру - это группа тетраэдра, что эквивалентно знакопеременной группе A ₄ .

При m = 1 эта группа является бинарной тетраэдрической группой .

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены по существу уникальным образом как расслоенные пространства Зейферта : фактормногообразие является сферой и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 3.

Октаэдрический корпус [ править ]

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m, взаимно простой с 6, с бинарной группой октаэдра (порядка 48), которая имеет представление

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены по существу уникальным образом как расслоенные пространства Зейферта : фактормногообразие представляет собой сферу и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 4.

Икосаэдрический корпус [ править ]

Фундаментальная группа является произведением циклической группы порядка m, взаимно простой с 30, с бинарной группой икосаэдра (порядок 120), которая имеет представление

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

Когда m равно 1, многообразие является сферой гомологий Пуанкаре .

Эти многообразия однозначно определяются своими фундаментальными группами. Все они могут быть представлены по существу уникальным образом как расслоенные пространства Зейферта: фактормногообразие представляет собой сферу и существует 3 исключительных слоя порядков 2, 3 и 5.

Ссылки [ править ]

• Питер Орлик , Многообразия Зейферта , Конспект лекций по математике, т. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• Уильям Джако , Лекции по топологии 3-многообразий ISBN 0-8218-1693-4 
• Уильям Терстон , Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, New Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5.