Первичный коллектор

В топологии , ветвь математики , А простое многообразие является п - многообразие , которое не может быть выражено в виде нетривиальной связной суммы двух п -многообразий. Нетривиальный означает, что ни один из двух не является n- сферой . Аналогичное понятие является то , что из неприводимого п -многообразия, которая является одной , в которой любой вкладывается ( п  - 1) -сфера ограничивает встроенный п - шар . В этом определении подразумевается использование подходящей категории , например категории дифференцируемых многообразий.или категория кусочно-линейных многообразий .

Понятия неприводимости в алгебре и теории многообразий связаны. Неприводимое многообразие первично, хотя обратное неверно. С точки зрения алгебраиста первичные многообразия следует называть «неприводимыми»; однако тополог (в частности, тополог 3-многообразий) считает приведенное выше определение более полезным. Единственное компактное , связанные 3-многообразие , которые являются простыми , но не неприводимым являются тривиальным 2-сфера расслоения над окружностью S ¹ и скрученное 2-сферическое расслоение над S ¹ .

Согласно теореме о Хельмутом Кнезере и Джон Милнором , каждом компактное, ориентируемом 3-многообразием является связной суммой уникального ( до гомеоморфизма ) сбора простых 3-многообразий.

Определения [ править ]

Рассмотрим конкретно трехмерные многообразия .

Неприводимое многообразие [ править ]

Трехмерное многообразие неприводимо, если любая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, A дифференцируемый подключено 3-многообразия является неприводимым , если каждое дифференцируемым подмногообразием гомеоморфного в сферу ограничивает подмножество (то есть, ) , которое гомеоморфно замкнутому мяч${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle S = \ partial D}$

${\ displaystyle D ^ {3} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ | \ | x | \ leq 1 \}.}$

Предположение о дифференцируемости не имеет значения, поскольку каждое топологическое 3-многообразие имеет уникальную дифференцируемую структуру. Однако предположение, что сфера является гладкой (т. Е. Что она является дифференцируемым подмногообразием), тем не менее важно: действительно, сфера должна иметь трубчатую окрестность .${\ displaystyle M}$

3-многообразие, которое не является неприводимым, называется приводимым .

Первичные многообразия [ править ]

Связное 3-многообразие является простым, если оно не может быть выражено как связная сумма двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой (или, что то же самое, ни одно из которых не гомеоморфно ).${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle N_ {1} \ # N_ {2}}$${\ Displaystyle S ^ {3}}$${\ displaystyle M}$

Примеры [ править ]

Евклидово пространство [ править ]

Трехмерное евклидово пространство неприводимо: все гладкие 2-сферы в нем связаны шарами.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

С другой стороны, рогатая сфера Александера не является гладкой сферой в том , что не ограничивает шар. Таким образом, условие, что сфера должна быть гладкой, необходимо.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Сфера, линзовые пространства [ править ]

3-сфера является неприводимым. Пространство продукта не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера (где - некоторая точка ) имеет связное дополнение, которое не является шаром (это произведение 2-сферы и линии).${\ Displaystyle S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle S ^ {2} \ раз S ^ {1}}$${\ Displaystyle S ^ {2} \ times \ {pt \}}$${\ displaystyle pt}$${\ Displaystyle S ^ {1}}$

Линзы пространство с (и , таким образом , не то же самое ) неприводит.${\displaystyle L(p,q)}$${\displaystyle p\neq 0}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

Первичные многообразия и неприводимые многообразия [ править ]

Трехмерное многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно первично, за исключением двух случаев: произведение и неориентируемое расслоение 2-сферы над окружностью первично, но не неприводимо.${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

От несводимого к простому [ править ]

Неприводимое многообразие первично. В самом деле, если выразить в виде связанной суммы${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2},}$

затем получается путем вынимания шарика из и из каждого , а затем склеивания двух образовавшихся двух сфер вместе. Эти две (теперь объединенные) 2-сферы образуют 2-сферу в . Тот факт , что это неприводимые означает , что это 2-сфера должна связанных мяч. Отмена операции склеивания, либо или получается путем приклеивания этого шара к ранее удаленному шару на их границах. Эта операция просто дает 3-сферу. Это означает, что один из двух факторов или на самом деле был (тривиальной) 3-сферой и , следовательно, является простым.${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle M}$

От простого к несократимому [ править ]

Пусть - первичное 3-многообразие, и пусть - 2-сфера, вложенная в него. Сокращение одного может получить только одно многообразие или, возможно, можно получить только два многообразия и . В последнем случае приклеивание шаров к вновь созданным сферическим границам этих двух многообразий дает два многообразия и такие, что${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}.}$

Так как простое число, скажем , одно из этих двух . Это означает , что это минус мяч, и поэтому сам мяч. Таким образом, сфера является границей шара, и поскольку мы рассматриваем случай, когда существует только такая возможность (созданы два многообразия), многообразие неприводимо.${\displaystyle M}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$

Остается рассмотреть случай , где можно разрезать вдоль и получить только один кусок, . В этом случае существует замкнутый простой кривой в пересекающихся в одной точке. Пусть объединение двух трубчатых окрестностей в и . В краевом оказывается 2-сфера, порезы на две части, и дополнение . Поскольку оно простое и не является шаром, дополнение должно быть шаром. Многообразие , возникающее в результате этого факта, почти определено, и тщательный анализ показывает, что оно либо другое, неориентируемое,${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \partial R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$пучок волокон из более чем .${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

Ссылки [ править ]

• Уильям Жако . Лекции по топологии 3-многообразий . ISBN 0-8218-1693-4.

См. Также [ править ]

• 3-х коллекторный
• Связанная сумма
• Разложение на простые числа (3-многообразие)