В математике гипотеза о геометризации Терстона утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть связана с ним. Это аналог теоремы униформизации для двумерных поверхностей , согласно которой каждой односвязной римановой поверхности может быть задана одна из трех геометрий ( евклидова , сферическая или гиперболическая ). В трех измерениях не всегда возможно назначить одну геометрию целому топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое трехмерное многообразиемогут быть разложены каноническим способом на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном ( 1982 ) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза об эллиптизации Терстона .
Поле | Геометрическая топология |
---|---|
Предполагается | Уильям Терстон |
Предполагается в | 1982 г. |
Первое доказательство | Григорий Перельман |
Первое доказательство в | 2006 г. |
Последствия | Гипотеза Пуанкаре Гипотеза об эллиптизации Терстона |
Из теоремы Терстона о гиперболизации следует, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.
Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о полной геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с хирургией . Сейчас есть несколько разных рукописей (см. Ниже) с подробностями доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической пространственной форме являются следствиями гипотезы геометризации, хотя есть более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.
Гипотеза
Трехмерное многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края .
Замкнутое 3-многообразие имеет простое разложение : это означает , что это связная сумма из простых 3-многообразий (это разложение по существу уникальное для небольшой проблемы в случае , кроме неориентируемых многообразий ). Это сводит большую часть изучения трехмерных многообразий к случаю простых трехмерных многообразий: тех, которые не могут быть записаны в виде нетривиальной связной суммы.
Вот утверждение гипотезы Терстона:
- Каждое ориентированное простое замкнутое трехмерное многообразие можно разрезать по торам, так что внутренность каждого из полученных многообразий имеет геометрическую структуру с конечным объемом.
Существует 8 возможных геометрических структур в 3-х измерениях, описанных в следующем разделе. Существует единственный минимальный способ разрезания неприводимого ориентированного трехмерного многообразия вдоль торов на части, которые являются многообразиями Зейферта или атороидальными, называется разложением JSJ , что не совсем то же самое, что разложение в гипотезе геометризации, потому что некоторые из частей в гипотезе геометризации Разложение JSJ может не иметь геометрических структур конечного объема. (Например, отображающий тор отображения Аносова тора имеет решаемую структуру конечного объема, но его JSJ-разложение разрезает его вдоль одного тора, чтобы произвести произведение тора и единичного интервала, а внутренняя часть этого не имеет геометрическая структура конечного объема.)
Для неориентированных многообразий проще всего сформулировать гипотезу о геометризации - сначала взять ориентированное двойное покрытие . Также можно работать напрямую с неориентируемыми многообразиями, но это создает некоторые дополнительные сложности: может потребоваться разрезать по проективным плоскостям и бутылкам Клейна, а также по сферам и торам, а многообразия с проективной плоской граничной компонентой обычно не имеют геометрическая структура.
В двух измерениях аналогичное утверждение говорит, что каждая поверхность (без границы) имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики с постоянной кривизной; нет необходимости предварительно разрезать коллектор.
Восемь геометрий Терстона
Геометрии модели -односвязный гладкое многообразие X вместе с переходным действием группы Ли G на X с компактными стабилизаторами.
Модельная геометрия называется максимальной, если G максимальна среди групп, гладко и транзитивно действующих на X с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.
Геометрическая структура на многообразии М является диффеоморфизмом из М к X / Г для некоторой геометрической модели X , где Γ является дискретной подгруппой G свободно действующей на X ; это частный случай полной (G, X) -структуры . Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает такое, модель которого максимальна.
3-мерная модель геометрия Х имеет отношение к гипотезе геометризации , если оно является максимальным , и , если существует, по крайней мере , одно компактное многообразия с геометрической структурой по образцу X . Терстон классифицировал 8 геометрических моделей, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются геометриями Терстона . (Существует также несчетное количество геометрических моделей без компактных частных.)
Есть некоторая связь с группами Бианки : трехмерными группами Ли. Большинство геометрий Терстона может быть реализовано как левоинвариантная метрика на группе Бианки. Однако S 2 × R не может быть, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бьянки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бианки, большинство из которых задают модельные геометрии без компактных представителей.
Сферическая геометрия S 3
Стабилизатор точки - это O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли O (4, R ) с двумя компонентами. Соответствующие многообразия - это в точности замкнутые трехмерные многообразия с конечной фундаментальной группой. Примеры включают 3-сферу , сферу гомологий Пуанкаре , пространства Ленса . Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа IX . Все многообразия с такой геометрией компактны, ориентируемы и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта (часто несколькими способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о трехмерных сферических многообразиях . Под действием потока Риччи многообразия с такой геометрией схлопываются в точку за конечное время.
Евклидова геометрия E 3
Стабилизатор точки - это O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли R 3 × O (3, R ) с двумя компонентами. Примерами являются 3-тор и, в более общем смысле, отображающий тор автоморфизма конечного порядка 2-тора; см. расслоение торов . Имеется ровно 10 конечных замкнутых трехмерных многообразий с этой геометрией: 6 ориентируемых и 4 неориентируемых. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группах Бианки типа I или VII 0 . Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру расслоения Зейферта (иногда двумя способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о расслоениях Зейферта . При потоке Риччи многообразия с евклидовой геометрией остаются инвариантными.
Гиперболическая геометрия H 3
Стабилизатор точки - это O (3, R ), а группа G - это 6-мерная группа Ли O + (1, 3, R ) с двумя компонентами. Таких примеров огромное количество, и их классификация до конца не изучена. Примером с наименьшим объемом является многообразие Weeks . Другие примеры даются пространством Зейферта – Вебера , или «достаточно сложными» операциями Дена на зацеплениях, или большинством многообразий Хакена . Гипотеза геометризации означает, что замкнутое трехмерное многообразие является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно неприводимо, атороидально и имеет бесконечную фундаментальную группу. Эта геометрия может быть смоделирована как левой инвариантной метрики на группе Bianchi типа V . Под действием потока Риччи расширяются многообразия с гиперболической геометрией.
Геометрия S 2 × R
Стабилизатор точки - это O (2, R ) × Z / 2 Z , а группа G - это O (3, R ) × R × Z / 2 Z с 4 компонентами. Четыре конечных многообразий объема с этой геометрией: S 2 × S 1 , отображение тор антипода карты S 2 , подсоединенных суммы двух копий 3-мерного проективного пространства, и произведения S 1 с двумерный проективное пространство. Первые два представляют собой торы отображения тождественного отображения и отображения антиподов 2-сферы и являются единственными примерами 3-многообразий, которые являются простыми, но не неприводимыми. Третий - единственный пример нетривиальной связной суммы с геометрической структурой. Это единственная модельная геометрия, которая не может быть реализована как левоинвариантная метрика на трехмерной группе Ли. Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта (часто несколькими способами). При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к одномерному многообразию.
Геометрия H 2 × R
Стабилизатор точки - это O (2, R ) × Z / 2 Z , а группа G - это O + (1, 2, R ) × R × Z / 2 Z с 4 компонентами. Примеры включают произведение гиперболической поверхности на окружность или, в более общем смысле, отображающий тор изометрии гиперболической поверхности. Многообразия конечного объема с такой геометрией имеют структуру расслоения Зейферта, если они ориентируемы. (Если они не ориентируемы, естественное расслоение на окружности не обязательно является расслоением Зейферта: проблема в том, что некоторые слои могут «переориентировать»; другими словами, их окрестности выглядят как расслоенные сплошные бутылки Клейна, а не как сплошные торы. [1] ) Классификация таких (ориентированных) многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта . Эту геометрию можно моделировать как левоинвариантную метрику на группе Бианки типа III . При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.
Геометрия универсальной крышки SL (2, «R»)
Универсальная крышка из SL (2, R ) обозначается. Он волокна над H 2 . Группа G состоит из двух компонентов. Его идентификационная составляющая имеет структуру. Стабилизатор точки - O (2, R ).
Примеры этих многообразий включают: многообразие единичных векторов касательного расслоения к гиперболической поверхности и, в более общем смысле, сферы гомологии Брискорна (за исключением 3-сферы и додекаэдрического пространства Пуанкаре ). Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бианки типа VIII . Многообразия конечного объема с такой геометрией ориентируемы и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта . Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта . При нормированном потоке Риччи многообразия с такой геометрией сходятся к двумерному многообразию.
Нулевая геометрия
Это расслоение над E 2 и является геометрией группы Гейзенберга . Стабилизатор точки - O (2, R ). Группа G имеет 2 компоненты и является полупрямым произведением 3-мерной группы Гейзенберга на группу O (2, R ) изометрий окружности. Компактные многообразия с этой геометрией включают отображающий тор скручивания Дена 2-тора или фактор группы Гейзенберга по «целочисленной группе Гейзенберга». Эта геометрия может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на группе Бианки типа II . Многообразия конечного объема с такой геометрией компактны, ориентируемы и имеют структуру расслоенного пространства Зейферта . Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта . Под нормированной Риччи потока, компактные многообразия с этой геометрией сходится к R 2 с плоской метрикой.
Геометрия Солнца
Эта геометрия (также называемые Со геометрией ) слоями над линией со слоем плоскости, и является геометрией компоненты единицы группы G . Стабилизатором точки является группа диэдра порядка 8. Группа G имеет 8 компонент и является группой отображений из 2-мерного пространства Минковского в себя, которые либо являются изометриями, либо умножают метрику на −1. Компонента единицы имеет нормальную подгруппу R 2 с фактор - R , где R действует на R 2 с 2 (действительных) подпространств, при различных вещественных собственных значений продукта 1. Это является группа Bianchi типа VI 0 и геометрии может быть смоделирована как левоинвариантная метрика на этой группе. Все многообразия конечного объема с решаемой геометрией компактны. Компактные многообразия с SOLV геометрии являются либо отображение тором из в карте аносовской из 2-торы (такое отображением является изоморфизм из 2-торы , заданной обратимой 2 на 2 матрицу, собственные значения действительны и различны, например,) или их частные по группам порядка не выше 8. Собственные значения автоморфизма тора порождают порядок вещественного квадратичного поля, и решаемые многообразия в принципе можно классифицировать в терминах единиц и идеальных классов этого поля. порядок, хотя подробности вроде нигде не записаны. При нормированном потоке Риччи компактные многообразия с такой геометрией сходятся (довольно медленно) к R 1 .
Уникальность
Замкнутое 3-многообразие имеет геометрическую структуру не более одного из 8 типов выше, но некомпактные 3-многообразия конечного объема иногда могут иметь более одного типа геометрической структуры. (Тем не менее, многообразие может иметь много различных геометрических структур одного и того же типа; например, поверхность рода не меньше 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Точнее, если M - многообразие с геометрической структурой конечного объема, то тип геометрической структуры почти определяется следующим образом в терминах фундаментальной группы π 1 ( M ):
- Если π 1 ( M ) конечно, то геометрическая структура на M сферическая, а M компактно.
- Если π 1 ( M ) практически циклический, но не конечный, то геометрическая структура на M - это S 2 × R , и M компактно.
- Если π 1 ( M ) практически абелева, но не виртуально циклическая, то геометрическая структура на M евклидова и M компактна.
- Если π 1 ( M ) практически нильпотентен, но не виртуально абелева, то геометрическая структура на M является ниль-геометрией и M компактно.
- Если π 1 ( M ) виртуально разрешима, но не виртуально нильпотентна, то геометрическая структура на M является решаемой геометрией и M компактна.
- Если π 1 ( M ) имеет бесконечную нормальную циклическую подгруппу, но не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M либо H 2 × R, либо универсальное покрытие SL (2, R ). Многообразие M может быть как компактным, так и некомпактным. Если он компактный, то две геометрии можно различить по тому, имеет ли π 1 ( M ) подгруппу конечного индекса, которая распадается как полупрямое произведение нормальной циклической подгруппы и чего-то еще. Если многообразие некомпактно, то фундаментальная группа не может различать две геометрии, и есть примеры (например, дополнение к узлу-трилистнику), где многообразие может иметь геометрическую структуру конечного объема любого типа.
- Если π 1 ( M ) не имеет бесконечной нормальной циклической подгруппы и не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M гиперболическая, и M может быть либо компактным, либо некомпактным.
Многообразия бесконечного объема могут иметь много различных типов геометрической структуры: например, R 3 может иметь 6 различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 геометрий модели гомеоморфны ему. Более того, если объем не должен быть конечным, существует бесконечное количество новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной 3-мерной группы Ли.
Существует несколько способов разложить замкнутое 3-многообразие на части с геометрической структурой. Например:
- Взятие связных сумм с несколькими копиями S 3 не меняет многообразия.
- Связная сумма двух проективных 3-пространств имеет геометрию S 2 × R , а также является связной суммой двух частей с геометрией S 3 .
- Продукт поверхности отрицательной кривизны и круга имеет геометрическую структуру, но также может быть разрезан по торам для получения более мелких деталей, которые также имеют геометрическую структуру. Есть много подобных примеров для расслоенных пространств Зейферта.
Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным образом, а затем разрезав их, используя минимально возможное количество торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является результатом потока Риччи; Фактически, поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора начальной метрики.
История
Медаль Поля была присуждена Терстон в 1982 году , частично за доказательство гипотезы геометризации для Хакен многообразий .
Случай 3-многообразий, которые должны быть сферическими, был медленнее, но дал искру, необходимую Ричарду С. Гамильтону для развития его потока Риччи . В 1982 году Гамильтон показал, что для данного замкнутого трехмерного многообразия с метрикой положительной кривизны Риччи поток Риччи схлопывает многообразие в точку за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая, поскольку метрика становится «почти круглой». прямо перед крахом. Позже он разработал программу, чтобы доказать гипотезу геометризации потока Риччи с помощью хирургии . Идея состоит в том, что поток Риччи, как правило, порождает сингулярности, но можно продолжить поток Риччи за сингулярностью, используя операцию по изменению топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области положительной кривизны и расширяет области отрицательной кривизны, поэтому он должен уничтожить части многообразия с геометриями "положительной кривизны" S 3 и S 2 × R , в то время как то, что остается на больших временах, должно иметь толщина тонкого разложения в «толстой» части с гиперболической геометрией и «тонким» графой многообразием .
В 2003 году Григорий Перельман набросал доказательство гипотезы о геометризации, показав, что поток Риччи действительно может продолжаться за сингулярностями и имеет поведение, описанное выше. Основная трудность при проверке доказательства Перельманом гипотезы о геометризации заключалась в критическом использовании его теоремы 7.4 в препринте «Поток Риччи с перестройками на трехмерных многообразиях». Эта теорема была сформулирована Перельманом без доказательства. Сейчас существует несколько различных доказательств теоремы Перельмана 7.4 или ее вариантов, которых достаточно для доказательства геометризации. Есть работа Шиоя и Ямагучи, в которой используются теорема Перельмана об устойчивости и теорема о расслоении для пространств Александрова. [2] [3] [4] Этот метод с подробностями, ведущими к доказательству геометризации, можно найти в изложении Брюса Клейнера и Джона Лотта . [5]
Второй путь к последней части доказательства геометризации Перельмана - это метод Бессьера и др. , [6] [7], в котором используется теорема Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена и норма Громова для трехмерных многообразий. [8] [9] Европейское математическое общество опубликовало книгу тех же авторов с полными деталями их версии доказательства. [10]
Кроме того, содержащее доказательство теоремы Перельмана 7.4, есть бумага Моргана и Tian , [11] еще один документ из Кляйнера и Лотта, [12] , а также документ по Jianguo Cao и Цзяньте Ge. [13]
Заметки
- ^ Fintushel, Рональд (1976). «Локальные действия S 1 на 3-многообразиях» . Тихоокеанский математический журнал . 66 (1): 111–118. DOI : 10,2140 / pjm.1976.66.111 .
- ^ Shioya, T .; Ямагути, Т. (2005). «Объемные сжатые трехмерные многообразия с нижней границей кривизны». Математика. Энн . 333 (1): 131–155. arXiv : math / 0304472 . DOI : 10.1007 / s00208-005-0667-х .
- ^ Капович, В. (2007). «Теорема Перельмана об устойчивости». Обзоры дифференциальной геометрии, метрики и сравнительной геометрии . т. XI. Международная пресса. С. 103–136. ISBN 978-1-57146-117-9.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка )На arXiv есть препринт : math / 0703002 - ^ Ямагути, Т. (1996). «Теорема сходимости в геометрии пространств Александрова». Actes de la Table Ronde de Geometrie Differentielle (Luminy, 1992) . том 1 семин. Congr. Париж: Soc. математика. Франция. С. 601–642. ISBN 2-85629-047-7.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - ^ Kleiner, B .; Лотт, Дж. (2008). «Заметки о бумагах Перельмана». Геометрия и топология . 12 (5): 2587–2855. arXiv : math / 0605667 . DOI : 10,2140 / gt.2008.12.2587 .На arXiv есть препринт : math / 0605667
- ^ Bessieres, L .; Besson, G .; Boileau, M .; Maillot, S .; Порти, Дж. (2007). «Слабое схлопывание и геометризация асферических трехмерных многообразий». arXiv : 0706.2065 [ math.GT ].
- ^ Bessieres, L .; Besson, G .; Boileau, M .; Maillot, S .; Порти, Дж. (2010). «Коллапсирующие неприводимые трехмерные многообразия с нетривиальной фундаментальной группой». Изобретать. Математика. 179 (2): 435–460. Bibcode : 2010InMat.179..435B . DOI : 10.1007 / s00222-009-0222-6 .
- ^ Отал, Ж.-П. (1998). "Гиперболизация Терстона многообразий Хакена". Обзоры по дифференциальной геометрии . Vol. III. Кембридж, Массачусетс: Междунар. Нажмите. С. 77–194. ISBN 1-57146-067-5.
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - ^ Громов, М. (1983). «Объем и ограниченные когомологии». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. (56): 5–99.
- ^ Л. Бессьер, Г. Бессон, М. Буало, С. Майо, Дж. Порти, «Геометризация трехмерных многообразий», EMS Tracts in Mathematics, volume 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. Доступно по адресу https: / /www-fourier.ujf-grenoble.fr/~besson/book.pdf
- ^ Морган, Джон; Тиан, Банда (2014). Гипотеза геометризации . Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд; Институт математики Клэя, Кембридж, Массачусетс. п. 291. ISBN. 978-0-8218-5201-9.
- ^ Кляйнер, Брюс; Лотт, Джон (2014). «Локально схлопывающиеся 3-многообразия». Astérisque . 365 (7–99).
- ^ Цао, Цзяньго; Ге, Цзянь (2011). «Простое доказательство теоремы Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий». J. Geom. Анальный . 21 (4): 807–869.
Рекомендации
- Л. Бессьер, Г. Бессон, М. Буало, С. Майо, Дж. Порти, «Геометризация трехмерных многообразий», EMS Tracts in Mathematics, volume 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. [1]
- М. Буало Геометризация трехмерных многообразий с симметриями.
- Ф. Бонахон Геометрические структуры на трехмерных многообразиях Справочник по геометрической топологии (2002) Elsevier.
- Аллен Хэтчер: Заметки по базовой топологии с тремя коллекторами, 2000 г.
- Дж. Изенберг, М. Джексон, поток Риччи локально однородных геометрий на римановом многообразии , J. Diff. Геом. 35 (1992) нет. 3 723–741.
- Г. Перельман, Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения , 2002
- Г. Перельман, Поток Риччи с перестройкой на трехмерных многообразиях , 2003 г.
- Г. Перельман, Конечное время исчезновения решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях , 2003 г.
- Брюс Кляйнер и Джон Лотт, Заметки о статьях Перельмана (май 2006 г.) (дополняет детали доказательства Перельмана гипотезы о геометризации).
- Цао, Хуай-Донг; Чжу, Си-Пин (июнь 2006 г.). "Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации: применение теории Гамильтона-Перельмана потока Риччи" ( PDF ) . Азиатский математический журнал . 10 (2): 165–498. DOI : 10.4310 / AJM.2006.v10.n2.a2 . Проверено 31 июля 2006 .Исправленная версия (декабрь 2006 г.): Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации.
- Джон В. Морган . Недавний прогресс в гипотезе Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий. Вестник амер. Математика. Soc. 42 (2005) нет. 1, 57–78 (пояснительная статья кратко объясняет восемь геометрий и гипотезу геометризации, а также дает набросок доказательства Перельмана гипотезы Пуанкаре)
- Морган, Джон В .; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация трехмерных многообразий . Серия лекций в университете. ISBN 978-0-8218-4963-7. Проверено 26 сентября 2010 .
- Морган, Джон В .; Тиан, Ганг (2014), Гипотеза геометризации , Clay Mathematics Monographs, 5 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-5201-9
- Скотт, Питер Геометрии трехмерных многообразий. ( опечатки ) Бык. Лондонская математика. Soc. 15 (1983), нет. 5, 401–487.
- Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 6 (3): 357–381. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN 0002-9904 . Руководство по ремонту 0648524 . Это дает исходную формулировку гипотезы.
- Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрических форм и доказательство того, что их всего восемь)
- Уильям Терстон. Геометрия и топология трехмерных многообразий , Принстон, 1980, конспект лекций по геометрическим структурам на трехмерных многообразиях.
Внешние ссылки
- «Геометрия 3-многообразий (видео)» . Архивировано из оригинала на 27 января 2010 года . Проверено 20 января 2010 года .Публичная лекция по гипотезам Пуанкаре и геометризации, прочитанная К. Макмалленом в Гарварде в 2006 году.