Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , А многообразие Хакен является компактным , P²-неприводимого 3-многообразия , что является достаточно большим , что означает , что она содержит правильно внедренную двухстороннюю несжимаемую поверхность . Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена является компактным ориентируемым неприводимым трехмерным многообразием, содержащим ориентируемую несжимаемую поверхность.

Трехмерное многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеном . Гипотеза Виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном. Это предположение было доказано Яном Аголом . [1]

Многообразия Хакена были введены Вофгангом Хакеном  ( 1961 ). Хакен (1962) доказал, что многообразия Хакена имеют иерархию , в которой они могут быть разбиты на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакен также показал, что существует конечная процедура поиска несжимаемой поверхности, если она есть в трехмерном многообразии. Уильям Жако и Ульрих Эртель ( 1984 ) предложили алгоритм определения того, является ли 3-многообразие Хакеном.

Нормальные поверхности повсеместно используются в теории многообразий Хакена, и их простая и жесткая структура естественным образом приводит к алгоритмам.

Иерархия Хакена [ править ]

Мы будем рассматривать только случай ориентируемых многообразий Хакена, поскольку это упрощает обсуждение; регулярная окрестность ориентируемой поверхности в ориентируемом 3-многообразии просто «загустеет до» версия поверхности, т.е. тривиального I -расслоения . Таким образом, регулярная окрестность - это трехмерное подмногообразие с краем, содержащее две копии поверхности.

Учитывая ориентируемое Хакен коллектора М , по определению оно содержит ориентируемую, несжимаемую поверхность S . Возьмем регулярную окрестность S и удалим ее внутренность из M , в результате получится M ' . В сущности, мы вырезать M вдоль поверхности S . (В одном измерении это аналогично разрезанию поверхности по окружности или дуге.) Это теорема, согласно которой любое ориентируемое компактное многообразие с граничной компонентой, не являющейся сферой, имеет бесконечную первую группу гомологий, что означает, что оно имеет правильно встроенную двустороннюю неразрывную несжимаемую поверхность, и это снова многообразие Хакена. Таким образом, мы можем выбрать другую несжимаемую поверхность в M ', и обрежьте его. Если в конечном итоге эта последовательность разрезания приводит к многообразию, части (или компоненты) которого представляют собой всего лишь 3-шары, мы называем эту последовательность иерархией.

Приложения [ править ]

Иерархия делает доказательство некоторых видов теорем о многообразиях Хакена делом индукции. Одно доказывает теорему для 3-шаров. Затем доказывается, что если теорема верна для частей, полученных в результате разрезания многообразия Хакена, то она верна для этого многообразия Хакена. Ключевым моментом здесь является то, что резка происходит по поверхности, которая была очень «красивой», т. Е. Несжимаемой. Это делает возможным доказательство шага индукции во многих случаях.

Хакен набросал доказательство алгоритма проверки гомеоморфности двух многообразий Хакена. Его набросок был наполнен существенными усилиями Фридхельма Вальдхаузена , Клауса Йохансона, Джеффри Хемиона, Сергея Матвеева и др. Поскольку существует алгоритм проверки того, является ли 3-многообразие Хакеном (см. Жако – Оертель), основная проблема распознавания 3-многообразий может считаться решенной для многообразий Хакена.

Вальдхаузен  ( 1968 ) доказал, что замкнутые многообразия Хакена топологически жесткие : грубо говоря, любая гомотопическая эквивалентность многообразий Хакена гомотопна гомеоморфизму (в случае границы необходимо условие на периферийную структуру). Итак, эти трехмерные многообразия полностью определяются своей фундаментальной группой. Кроме того, Вальдхаузен доказал, что фундаментальные группы многообразий Хакена имеют разрешимую проблему слов; это верно и для виртуальных многообразий Хакена.

Иерархия сыграла решающую роль в теореме Уильяма Терстона о гиперболизации многообразий Хакена, которая является частью его революционной программы геометризации трехмерных многообразий.

Йохансон (1979) доказал , что atoroidal , anannular , граница-неприводимым, Хакен три-многообразия имеют конечные группы классов отображений . Этот результат может быть получен из комбинации жесткости Мостова с теоремой о геометризации Терстона.

Примеры многообразий Хакена [ править ]

Обратите внимание, что некоторые семейства примеров содержатся в других.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена. С приложением Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга» (PDF) . Documenta Mathematica . 18 : 1045–1087. Руководство по ремонту  3104553 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Хакен, Вольфганг (1961). "Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für den Kreisknoten" . Acta Mathematica . 105 (3–4): 245–375. DOI : 10.1007 / BF02559591 . ISSN  0001-5962 . Руководство по ремонту  0141106 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Хакен, Вольфганг (1968). «Некоторые результаты о поверхностях в трехмерных многообразиях» . В Хилтоне, Питер Дж. (Ред.). Исследования по современной топологии . Математическая ассоциация Америки (распространяется Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ). С. 39–98. ISBN 978-0-88385-105-0. Руководство по ремонту  0224071 .
  • Хакен, Вольфганг (1962). "Über das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten. I". Mathematische Zeitschrift . 80 : 89–120. DOI : 10.1007 / BF01162369 . ISSN  0025-5874 . Руководство по ремонту  0160196 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  • Хемпель, Джон (1976). 3-многообразия . Анналы математических исследований. 86 . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-8218-3695-8. Руководство по ремонту  0415619 .
  • Жако, Уильям ; Эртель, Ульрих (1984). «Алгоритм, чтобы решить, является ли 3-многообразие многообразием Хакена». Топология . 23 (2): 195–209. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90039-9 . ISSN  0040-9383 . Руководство по ремонту  0744850 .
  • Йоханнсон, Клаус (1979). «О группе классов отображений простых трехмерных многообразий». В Фенн, Роджер А. (ред.). Топология многообразий малой размерности (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977) . Конспект лекций по математике. 722 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 48–66. DOI : 10.1007 / BFb0063189 . ISBN 978-3-540-09506-4. Руководство по ремонту  0547454 .
  • Вальдхаузен, Фридхельм (1968). «О достаточно больших неприводимых трехмерных многообразиях» . Анналы математики . Вторая серия. 87 (1): 56–88. DOI : 10.2307 / 1970594 . ISSN  0003-486X . JSTOR  1970594 . Руководство по ремонту  0224099 .