В математике , в частности в области динамических систем и геометрической топологии , отображение Аносова на многообразии M - это определенный тип отображения из M в себя с довольно четко обозначенными локальными направлениями «расширения» и «сжатия». Системы Аносова представляют собой особый случай Аксиома систем.
Диффеоморфизмы Аносова были введены Дмитрием Викторовичем Аносовым , который доказал, что их поведение в определенном смысле родовое (когда они вообще существуют). [1]
Обзор
Следует различать три тесно связанных определения:
- Если дифференцируемое отображение f на M имеет гиперболическую структуру на касательном расслоении , то оно называется отображением Аносова . Примеры включают в себя карту Бернулли и карту кота Арнольда .
- Если отображение является диффеоморфизмом , то оно называется диффеоморфизмом Аносова .
- Если поток на многообразии разбивает касательное расслоение на три инвариантных подрасслоения , одно подрасслоение экспоненциально сжимается, другое экспоненциально расширяется, а третье, нерасширяющееся, не сжимающееся одномерное подрасслоение (натянутое на направление потока), то течение называется потоком Аносова .
Классическим примером диффеоморфизма Аносова является отображение кошки Арнольда .
Аносов доказал, что диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы и образуют открытое подмножество отображений (потоков) с топологией C 1 .
Не всякое многообразие допускает диффеоморфизм Аносова; например, на сфере таких диффеоморфизмов нет . Простейшими примерами допускающих их компактных многообразий являются торы: они допускают так называемые линейные диффеоморфизмы Аносова , которые являются изоморфизмами, не имеющими собственного значения модуля 1. Было доказано, что любой другой диффеоморфизм Аносова на торе топологически сопряжен с одним из них. своего рода.
Проблема классификации многообразий, допускающих диффеоморфизмы Аносова, оказалась очень сложной, и по состоянию на 2012 г.[Обновить]нет ответа. Единственные известные примеры - это инфранильные многообразия , и предполагается, что они единственные.
Достаточным условием транзитивности является неблуждаемость всех точек: .
Также неизвестно, каждый ли сохраняющий объем диффеоморфизм Аносова эргодичен. Аносов доказал это подпредположение. Это также верно для сохраняющие объем диффеоморфизмы Аносова.
Для транзитивный диффеоморфизм Аносова существует уникальная мера SRB (аббревиатура расшифровывается как Sinai, Ruelle и Bowen) поддерживается на так что его бассейн имеет полный объем, где
Поток Аносова на (касательных расслоениях) римановых поверхностей
В качестве примера в этом разделе развивается случай потока Аносова на касательном расслоении к римановой поверхности отрицательной кривизны . Этот поток можно понять в терминах потока на касательном расслоении модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии. Римановы поверхности отрицательной кривизны могут быть определены как фуксовы модели , то есть как отношения верхней полуплоскости и фуксовой группы . Для дальнейшего пусть H - верхняя полуплоскость; пусть Γ - фуксова группа; пусть M = H / Γ - риманова поверхность отрицательной кривизны, являющаяся фактором «M» по действию группы Γ, и пусть- касательное расслоение векторов единичной длины на многообразии M , и пустькасательное расслоение векторов единичной длины на H . Обратите внимание, что пучок векторов единичной длины на поверхности является главным пучком комплексного линейного расслоения .
Векторные поля Ли
Начнем с того, что изоморфна группе Ли PSL (2, R ) . Эта группа является группой сохраняющих ориентацию изометрий верхней полуплоскости. Алгебра Ли из PSL (2, R ) является SL (2, R ), и представлена матрицами
которые имеют алгебру
определяют правоинвариантные потоки на многообразии, а также на . Определение а также эти потоки определяют векторные поля на P и Q , векторы которых лежат в TP и TQ . Это просто стандартные, обычные векторные поля Ли на многообразии группы Ли, и приведенное выше представление является стандартным изложением векторного поля Ли.
Поток Аносова
Связь с потоком Аносова происходит из осознания того, что является геодезическим потоком на P и Q . Векторные поля Ли, будучи (по определению) инвариантными по отношению к действию элемента группы, имеют, что эти поля остаются инвариантными по отношению к конкретным элементамгеодезического потока. Другими словами, пространства TP и TQ разбиваются на три одномерных пространства или подрасслоения , каждое из которых инвариантно относительно геодезического потока. Последний шаг - заметить, что векторные поля в одном подгруппе расширяются (и расширяются экспоненциально), поля в другом не меняются, а поля в третьем сжимаются (и делают это экспоненциально).
Точнее, касательное расслоение TQ можно записать как прямую сумму
или в какой-то момент , прямая сумма
соответствующие образующим алгебры Ли Y , J и X соответственно, переносимые левым действием элемента группы g из начала координат e в точку q . То есть есть а также . Каждое из этих пространств является подрасслоением и сохраняется (инвариантно) под действием геодезического потока ; то есть под действием элементов группы.
Чтобы сравнить длины векторов в в разных точках q нужна метрика. Любой внутренний продукт напродолжается до левоинвариантная римановой метрики на Р , и , таким образом , чтобы риманова метрика на Q . Длина вектора экспоненциально расширяется как exp (t) под действием . Длина вектора экспоненциально сжимается как exp (-t) под действием . Векторы вбез изменений. Это можно увидеть, изучив, как коммутируют элементы группы. Геодезический поток инвариантен,
но два других сжимаются и расширяются:
а также
где напомним, что касательный вектор в дается производной , по отношению к т , из кривой , Настройки .
Геометрическая интерпретация течения Аносова
Действуя по сути верхней полуплоскости, соответствует геодезической на верхней полуплоскости, проходящей через точку. Действие является стандартным действием преобразования Мёбиуса группы SL (2, R ) на верхней полуплоскости, так что
Общая геодезическая задается формулой
с a , b , c и d реальными, с. Кривые а также называются орициклами . Орициклы соответствуют движению нормальных векторов орисферы по верхней полуплоскости.
Смотрите также
- Эргодический поток
- Система Морса – Смейла
- Псевдо-Аносовская карта
Заметки
- ^ Дмитрий В. Аносов , Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях с отрицательной кривизной , (1967) Proc. Стеклова Математика. 90 .
Рекомендации
- "Y-система, U-система, C-система" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Энтони Мэннинг, Динамика геодезических и орицикловых потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны , (1991), появившаяся в главе 3 в « Эргодической теории, символической динамике и гиперболических пространствах» , Тим Бедфорд, Майкл Кин и серия Кэролайн, ред. Издательство Оксфордского университета, Оксфорд (1991). ISBN 0-19-853390-X (Содержит пояснительное введение в поток Аносова на SL (2, R ).)
- Эта статья включает материал из диффеоморфизма Аносова на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .
- Тошиказу Сунада , Магнитные потоки на римановой поверхности , Proc. KAIST Math. Мастерская (1993), 93–108.