В математике , эргодические потоки возникают в геометрии , через геодезические и орицикл потоки замкнутых гиперболических поверхностей . Оба из этих примеров были поняты в терминах теории унитарных представлений о локально компактных группах : если Γ является фундаментальной группа из замкнутой поверхности , рассматриваются в качестве дискретной подгруппы группы Мёбиуса G = PSL (2, R ), то поток геодезических и орициклов можно отождествить с естественными действиями подгрупп A вещественных положительных диагональных матриц иN нижних унитреугольных матриц на единичном касательном расслоении G / Γ. Теорема Амброуза-Какутани выражает каждый эргодический поток как поток, построенный из обратимого эргодического преобразования на пространстве меры с использованием функции потолка. В случае геодезического потока эргодическое преобразование можно понять в терминах символической динамики ; и в терминах эргодических действий группы Γ на границе S 1 = G / AN и G / A = S 1 × S 1 \ diag S 1 . Эргодические потоки также естественным образом возникают как инварианты в классификации алгебр фон Неймана : поток весов для фактора типа III 0 является эргодическим потоком на пространстве с мерой .
Теорема Хедлунда: эргодичность геодезических и орициклических потоков
Метод, использующий теорию представлений, основан на следующих двух результатах: [1]
- Если G = SL (2, R) действует унитарно в гильбертовом пространстве H и ξ является единичным вектором фиксированной подгруппой N верхних унитреугольных матриц, то ξ фиксируется G .
- Если G = SL (2, R) действует унитарно в гильбертовом пространстве H и ξ является единичным вектором фиксированного подгруппы А диагональных матриц с определителем 1 , то ξ фиксируется G .
(1) Как топологическое пространство, однородное пространство X = G / N может быть отождествлено с R 2 \ {0 } со стандартным действием G как матриц 2 × 2 . Подгруппа группы N имеет два вида орбит: орбиты, параллельные оси x, при y ≠ 0 ; и точки на оси x . Следовательно, непрерывная функция на X , постоянная на N -орбитах, должна быть постоянной на действительной оси с удаленным началом. Таким образом, матрица коэффициентов ψ ( х ) = ( х g, ξ) удовлетворяет ф ( г ) = 1 для г в А · N . По унитарности || g ξ - ξ || 2 = 2 - ψ ( г ) - ψ ( г -1 ) = 0 , так что г ξ = ξ для всех г в B = A · N = N · A . Пусть теперь s - матрица. Тогда, как легко проверить, двойной класс BsB плотен в G ; это частный случай разложения Брюа . Поскольку ξ фиксируется B , матричный коэффициент ψ ( g ) постоянен на BsB . По плотности, ψ ( г ) = 1 для всех г в G . Же аргумент , как указано выше , показывает , что г ξ = £ , для всех г в G .
(2) Предположим , что ξ фиксируется A . Для унитарной однопараметрической группы N ≅ R пусть P [ a , b ] будет спектральным подпространством, соответствующим интервалу [ a , b ] . Пусть g ( s ) - диагональная матрица с элементами s и s −1 для | s | > 1 . Тогда g ( s ) P [ a , b ] g ( s ) −1 = P [ s 2 a , s 2 a ] . Как | s | стремится к бесконечности, последние проекции стремятся к 0 в сильной операторной топологии, если 0 < a < b или a < b <0 . Поскольку g ( s ) ξ = ξ , в любом случае P [ a , b ] ξ = 0 . По спектральной теореме ξ находится в спектральном подпространстве P ({0}) ; другими словами , ξ фиксируется N . Но тогда, в первый результат, ξ должен быть закреплен G .
Классические теоремы Густава Хедлунда начала 1930-х годов утверждают эргодичность геодезических и орициклических потоков, соответствующих компактным римановым поверхностям постоянной отрицательной кривизны. Теорема Хедлунда может быть переинтерпретирована в терминах унитарных представлений группы G и ее подгрупп. Пусть Γ - кокомпактная подгруппа в PSL (2, R ) = G / {± I }, для которой все нескалярные элементы гиперболичны. Пусть X = Γ \ G / K, где K - подгруппа вращений. Единичные касательное расслоение SX = Γ \ G , с геодезическим потоком задается правое действие А и потоком орициклов по правому действию N . Это действие является эргодическим, если L ∞ (Γ \ G ) A = C , т. Е. Функции, фиксированные посредством A, являются просто постоянными функциями. Так как Γ \ G компактно, это будет иметь место , если L 2 (Γ \ G ) = С . Пусть H = L 2 (Γ \ G ) . Таким образом, G действует унитарно на H справа. Любой ненулевой ξ в H, фиксируемый A, должен быть зафиксирован G согласно второму результату выше. Но в этом случае, если е является непрерывной функцией на G с компактным носителем с ∫ F = 1 , то ξ = ∫ F ( г ) г ξ дг . Правая часть равна £ , * п , непрерывная функция на G . Поскольку ξ правоинвариантно относительно G , следует, что ξ постоянна, как и требовалось. Следовательно, геодезический поток эргодичен. Заменяя A на N и используя первый результат выше, тот же аргумент показывает, что поток орициклов эргодичен.
Теорема Амвросия – Какутани – Кренгеля – Кубо
Индуцированные потоки
Примеры потоков, индуцированных из неособых обратимых преобразований пространств с мерой, были определены фон Нейманом (1932) в его теоретико-операторном подходе к классической механике и эргодической теории . Пусть T - неособое обратимое преобразование ( X , μ), порождающее автоморфизм τ группы A = L ∞ ( X ). Это приводит к обратимому преобразованию T ⊗ id пространства с мерой ( X × R , μ × m ), где m - мера Лебега, и, следовательно, автоморфизм τ ⊗ id алгебры A ⊗ L ∞ ( R ). Сдвиг L t определяет поток на R, сохраняющий m, и, следовательно, поток λ t на L ∞ ( R ). Пусть S = L 1 с соответствующим автоморфизмом σ группы L ∞ ( R ). Таким образом, τ ⊗ σ дает автоморфизм A ⊗ L ∞ ( R ), который коммутирует с потоком id ⊗ λ t . Пространство с индуцированной мерой Y определяется как B = L ∞ ( Y ) = L ∞ ( X × R ) τ ⊗ σ , функции, фиксированные автоморфизмом τ ⊗ σ. Это допускает индуцированный поток , данное ограничение ID ⊗ А , т к B . Поскольку λ t действует на L ∞ ( R ) эргодически , то фиксированные потоком функции можно отождествить с L ∞ ( X ) τ . В частности, если исходное преобразование является эргодическим, поток, который оно индуцирует, также является эргодическим.
Потоки встроены в функцию потолка
Индуцированное действие также можно описать в терминах унитарных операторов, и именно этот подход поясняет обобщение на специальные потоки, то есть потоки, построенные под функциями потолка. Пусть R преобразование Фурье на L 2 ( R , м ), унитарный оператор такой , что R λ ( т ) R * = V т , где λ ( т ) является перевод т и V т есть умножение на е ITX . Таким образом, V t лежит в L ∞ ( R ). В частности, V 1 = R S R ∗ . Функция потолка h - это функция в A с h ≥ ε1 с ε> 0. Тогда e ihx дает унитарное представление R в A , непрерывное в сильной операторной топологии и, следовательно, унитарный элемент W в A ⊗ L ∞ ( R ) , действующий на L 2 ( X , μ) ⊗ L 2 ( R ). В частности, W коммутирует с I ⊗ V t . Итак, W 1 = ( I ⊗ R ∗ ) W ( I ⊗ R ) коммутирует с I ⊗ λ ( t ). Действие T на L ∞ ( X ) индуцирует унитарную U на L 2 ( X ), используя квадратный корень из производной Радона – Никодима от μ ∘ T по μ. Индуцированная алгебра Б определяется как подалгебры A ⊗ L ∞ ( R ) , коммутирующего с T ⊗ S . Индуцированный поток σ t задается выражением σ t ( b ) = ( I ⊗ λ ( t )) b ( I ⊗ λ (- t )) .
Специальный поток , соответствующий функции потолок ч с базовой трансформации Т определена на алгебре B ( H ) задается элементами в ⊗ L ∞ ( R ) , коммутирующий с ( Т ⊗ I ) W 1 . Индуцированный поток соответствует функции потолка h 1, постоянной функции. Снова W 1 , а значит, ( T ⊗ I ) W 1 , коммутирует с I ⊗ λ ( t ). Специальный поток на B ( H ) снова задается формулой σ t ( b ) = ( I ⊗ λ ( t )) b ( I ⊗ λ (- t )) . Те же рассуждения, что и для индуцированных действий, показывают, что функции, фиксированные потоком, соответствуют функциям из A, фиксированным с помощью σ, так что специальный поток является эргодическим, если исходное неособое преобразование T эргодично.
Связь с разложением Хопфа
Если S t - эргодический поток на пространстве с мерой ( X , μ), соответствующий 1-параметрической группе автоморфизмов σ t множества A = L ∞ ( X , μ), то по разложению Хопфа либо каждое S t с t ≠ 0 диссипативен или каждый S t с t ≠ 0 консервативен. В диссипативном случае эргодический поток должен быть транзитивным, чтобы A можно было отождествить с L ∞ ( R ) относительно меры Лебега и R, действующего сдвигом.
Чтобы доказать результат для диссипативного случая, заметим, что A = L ∞ ( X , μ) - максимальная абелева алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве L 2 ( X , μ). Вероятностную меру μ можно заменить эквивалентной инвариантной мерой λ, и существует проекция p в A такая, что σ t ( p ) < p при t > 0 и λ ( p - σ t ( p )) = t . В этом случае а т ( р ) = Е ([ т , ∞)) , где Е представляет собой проекцию многозначной меры на R . Эти прогнозы порождают фон Неймана подалгебра B в A . По эргодичности σ t ( p )1, когда t стремится к −∞. Гильбертово пространство L 2 ( X , λ) могут быть идентифицированы с завершением подпространства F в А с X (| F | 2 ) <∞. Подпространство, соответствующее B, можно отождествить с L 2 ( R ), а B с L ∞ ( R ). Поскольку λ инвариантно относительно S t , оно реализуется унитарным представлением U t . По теореме Стоуна – фон Неймана для ковариантной системы B , U t гильбертово пространство H = L 2 ( X , λ) допускает разложение L 2 ( R ) ⊗где B и U t действуют только на первый тензорный множитель. Если есть элемент из А не в B , то она лежит в коммутанте B ⊗ C , то есть в B ⊗ B ( ). Если таким образом , может быть реализовано в виде матрицы с элементами B . Умножая на χ [ r , s ] в B , можно считать , что элементы a лежат в L ∞ ( R ) ∩ L 1 ( R ). Для таких функций f как элементарный случай эргодической теоремы среднее от σ t ( f ) по [- R , R ] стремится в слабой операторной топологии к ∫ f ( t ) dt . Следовательно, для подходящего χ [ r , s ] это даст элемент в A, лежащий в C ⊗ B () И не является кратным 1 ⊗ I . Но такой элемент коммутирует с U t, поэтому фиксируется σ t , что противоречит эргодичности. Следовательно, A = B = L ∞ ( R ).
Когда все σ t с t ≠ 0 консервативны, поток называется собственно эргодическим . В этом случае следует, что для любого ненулевого p в A и t ≠ 0, p ≤ σ t ( p ) ∨ σ 2 t ( p ) ∨ σ 3 t ( p ) ⋅⋅⋅ В частности, ∨ ± t > 0 σ t ( p ) = 1 при p ≠ 0.
Теорема Амвросия – Какутани – Кренгеля – Кубо.
Теорема утверждает, что каждый эргодический поток изоморфен специальному потоку, соответствующему потолочной функции с эргодическим базовым преобразованием. Если поток оставляет вероятностную меру инвариантной, то же самое верно и для базового преобразования.
Для простоты рассматривается только исходный результат Эмброуза (1941) - случай эргодического потока, сохраняющего вероятностную меру μ . Пусть A = L ∞ ( X , μ) и σ t эргодический поток. Поскольку поток консервативен, для любой проекции p ≠ 0, 1 в A существует T > 0 без σ T ( p ) ≤ p , так что (1 - p ) ∧ σ T ( p ) ≠ 0 . С другой стороны, при уменьшении r > 0 до нуля
в сильной операторной топологии или, что эквивалентно, слабой операторной топологии (эти топологии совпадают на унитарах, следовательно, инволюции, а значит, и проекции). В самом деле, достаточно показать, что если ν - любая конечная мера на A , то ν ( a r ) стремится к ν ( p ). Это следует потому, что f ( t ) = ν (σ t ( p )) является непрерывной функцией от t, так что среднее значение f по [0, r ] стремится к f (0), когда r стремится к 0. [2]
Обратите внимание, что 0 ≤ a r ≤ 1 . Теперь при фиксированном r > 0, следуя Амвросию (1941) , положим
Установите r = N –1 для N больших и f N = a r . Таким образом, 0 ≤ f N ≤ 1 в L ∞ ( X , μ) и f N стремится к характеристической функции p в L 1 ( X , μ). Но тогда, если ε = 1/4, то χ [0, ε] ( f N ) стремится к χ [0, ε] ( p ) = 1 - p в L 1 ( X ). [3] Используя разбиение A = pA ⊕ (1 - p ) A , это сводится к доказательству того, что если 0 ≤ h N ≤ 1 в L ∞ ( Y , ν) и h N стремится к 0 в L 1 ( Y , ν ), то χ [1 − ε, 1] ( h N ) стремится к 0 в L 1 ( Y , ν). Но это легко следует из неравенства Чебышева : действительно (1 − ε) χ [1 − ε, 1] ( h N ) ≤ h N , так что ν (χ [1 − ε, 1] ( h N )) ≤ (1 −ε) −1 ν ( h N ) , которая по предположению стремится к 0.
Таким образом, по определению q 0 ( r ) ∧ q 1 ( r ) = 0. Более того, при достаточно малом r = N −1 q 0 ( r ) ∧ σ T ( q 1 ( r ))> 0. Из приведенных выше рассуждений видно, что что q 0 ( r ) и q 1 ( r ) стремятся к 1 - p, а p, когда r = N −1 стремится к 0. Отсюда следует, что q 0 ( r ) σ T ( q 1 ( r )) стремится к (1 - p ) σ T ( p ) ≠ 0, поэтому не равно нулю при достаточно большом N. Зафиксировав одно такое N и при r = N −1 , положив q 0 = q 0 ( r ) и q 1 = q 1 ( r ), можно поэтому предположить, что
Из определения q 0 и q 1 также следует, что если δ < r / 4 = (4 N ) −1 , то
Фактически, если s < t
Возьмем s = 0, так что t > 0, и предположим, что e = σ t ( q 0 ) ∧ q 1 > 0. Значит, e = σ t ( f ) с f ≤ q 0 . Тогда σ t ( a r ) e = σ t ( a r f ) ≤ 1/4 e и a r e ≥ 3/4 e , так что
Следовательно || a r - σ t ( a r ) || ∞ ≥ 1/2. С другой стороны || a r - σ t ( a r ) || ∞ ограничено сверху 2 t / r , так что t ≥ r / 4. Следовательно, σ t ( q 0 ) ∧ q 1 = 0, если | т | ≤ δ.
Элементы a r непрерывно зависят по операторной норме от r на отрезке (0,1]; из сказанного выше σ t ( a r ) непрерывна по норме по t . Пусть B 0 - замыкание по операторной норме унитальной * -алгебры, порожденной σ t ( a r ). Оно коммутативно и сепарабельно, поэтому по теореме Гельфанда – Наймарка может быть отождествлено с компактным метрическим пространством C ( Z ), где Z - его спектр . По определению B 0 является подалгеброй из а и ее замыкания B в слабой или сильной операторной топологии могут быть идентифицированы с L ∞ ( Z , M) , где μ также используется для ограничения ц к B . подалгебра в инвариантна относительно потока σ т , что следовательно, эргодический. Анализ этого действия на B 0 и B дает все инструменты, необходимые для построения эргодического преобразования T и функции потолка h . Сначала это будет выполнено для B (так что A временно будет считаться совпадающим с B ) а затем продлен до A . [4]
Проекции q 0 и q 1 соответствуют характеристическим функциям открытых множеств. X 0 и X 1 Предположение о собственной эргодичности подразумевает, что объединение любого из этих открытых множеств под действием сдвига на σ t, когда t пробегает положительные или отрицательные действительные числа, является окончательным (т. Е. Дополнение имеет нулевую меру). Заменив X их пересечением, открытым множеством, можно предположить, что эти объединения исчерпывают все пространство (которое теперь будет локально компактным, а не компактным). Поскольку поток рекуррентен, любая орбита σ t проходит через оба множества бесконечно много раз, когда t стремится либо к + ∞, либо к −∞. Между заклинанием сначала в X 0, а затем в X 1 f должно принимать значение 1/2, а затем 3/4. Последний раз f, равный 1/2, по сравнению с первым, когда он равен 3/4, должен включать изменение t не менее чем на δ / 4 в соответствии с условием непрерывности Липшица. Следовательно, каждая орбита должна бесконечно часто пересекать множество Ω точек x, для которых f ( x ) = 1/2, f (σ t ( x ))> 1/2 при 0 < t ≤ δ / 4. Определение подразумевает, что различные пересечения с орбитой разделены расстоянием не менее δ / 4, поэтому Ω пересекает каждую орбиту только счетное количество раз, а пересечения происходят в бесконечно большие отрицательные и положительные моменты времени. Таким образом, каждая орбита разбивается на счетное количество полуоткрытых интервалов [ r n ( x ), r n +1 ( x )) длиной не менее δ / 4, причем r n ( x ) стремится к ± ∞, когда n стремится к ± ∞. Это разбиение можно нормализовать так, чтобы r 0 ( x ) ≤ 0 и r 1 ( x )> 0. В частности, если x лежит в Ω, то t 0 = 0. Функция r n ( x ) называется n- м возвратом. время до Ω .
Сечение Ω является борелевским множеством, поскольку на каждом компакте {σ t ( x )} с t из [ N −1 , δ / 4] с N > 4 / δ функция g ( t ) = f (σ т ( х )) имеет Greater инфимума , чем 1/2 + М -1 для достаточно большого целого числа М . Следовательно, Ω можно записать как счетное пересечение множеств, каждое из которых является счетным объединением замкнутых множеств; поэтому Ω - борелевское множество. Это означает , в частности , что функции г п борелевские функции на X . Для данного y в Ω обратимое преобразование Бореля T определяется на Ω как S ( y ) = σ t ( y ), где t = r 1 ( y ), время первого возврата в Ω. Функции r n ( y ) ограничиваются борелевскими функциями на Ω и удовлетворяют соотношению коцикла:
где τ представляет собой автоморфизм , индуцированный Т . Число совпадений N t ( x ) для потока S t на X определяется как целое число N такое, что t лежит в [ r N ( x ), r N +1 ( x )). Это целочисленная борелевская функция на R × X, удовлетворяющая тождеству коцикла
Функция h = r 1 является строго положительной функцией Бореля на Ω, поэтому формально поток может быть восстановлен из преобразования T, используя h функцию потолка. Недостающий T -инвариантный класс меры на Ω будет восстанавливаться с помощью второго коцикла N t . В самом деле, дискретная мера на Z определяет класс меры на произведении Z × X, а поток S t на втором множителе продолжается до потока на произведении, заданном формулой
Точно так же базовое преобразование T индуцирует преобразование R на R × Ω, определяемое формулой
Эти преобразования связаны обратимым борелевским изоморфизмом Φ из R × Ω на Z × X, определяемым равенством
Его обратный Ψ из Z × X на R × Ω определяется равенством
Под эти карты поток Р т осуществляется на переводе т на первый коэффициент R × Q , и, в другом направлении, обратимый R осуществляется на перевод на -1 на Z × X . Достаточно проверить, что класс меры на Z × X переносится на тот же класс меры, что и некоторая производящая мера m × ν на R × Ω, где m - мера Лебега, а ν - вероятностная мера на Ω с классом меры, инвариантным относительно T . Класс меры на Z × X инвариантен относительно R , поэтому определяет класс меры на R × Ω, инвариантный относительно сдвига на первый фактор. С другой стороны, единственный класс меры на R, инвариантный относительно сдвига, - это мера Лебега, поэтому класс меры на R × Ω эквивалентен классу меры m × ν для некоторой вероятностной меры на Ω. По построению v , квазиинвариантна при T . Распутывая эту конструкцию, следует, что исходный поток изоморфен потоку, построенному под функцией потолка h для базового преобразования T на (Ω, ν). [5] [6] [7]
Выше рассуждение было сделано с предположением , что B = A . В общем случае A заменяется замкнутой по норме отделимой унитальной * -подалгеброй A 0, содержащей B 0 , инвариантной относительно σ t и такой, что σ t ( f ) является непрерывной по норме функцией t для любого f в A 0 . Чтобы построить A 0 , сначала возьмем набор порождающих алгебры фон Неймана A, состоящий из счетного числа проекторов, инвариантных относительно σ t с t рациональным. Заменим каждую из этого счетного набора проекций на средние по интервалам [0, N −1 ] относительно σ t . Нормальная замкнутая унитальная * -алгебра, которую они порождают, дает A 0 . По определению он содержит B 0 = C ( Y ). По теореме Гельфанда-Наймарка A 0 имеет вид C ( X ). Конструкция с в г выше в равной степени относится также здесь: на самом деле , так как B 0 является подалгеброй A 0 , Y представляет собой непрерывный фактор X , поэтому такая функция , как в г одинаково хорошо функция на X . Таким образом, строительство переносится с соответствующими изменениями к А , через факторизации.
Таким образом, существует пространство с мерой ( Y , λ) и эргодическое действие Z × R на M = L ∞ ( Y , λ), заданное коммутацией действий τ n и σ t, такое что существует τ-инвариантная подалгебра в M изоморфен( Z ) и σ-инвариантная подалгебра в M, изоморфная L ∞ ( R ). Исходный эргодический поток задается ограничением σ на M τ и соответствующим базовым преобразованием, заданным ограничением τ на M σ . [8] [9]
Учитывая поток, можно описать, как связаны два разных отдельных базовых преобразования, которые могут использоваться для построения потока. [10] преобразуется обратно в действие Z на Y , т.е. в обратимой трансформации Т Y на Y . Набор-теоретически Т У ( х ) определяется как Т м ( х ) , где т ≥ 1 представляет собой наименьшее целое число такое , что Т м ( х ) лежит в X . Несложно видеть , что применяя тот же процесс обратной Т дает обратную T Y . Конструкцию меры теоретически можно описать следующим образом. Пусть e = χ Y в B = L ∞ ( X , ν) с ν ( e ) ≠ 0. Тогда e является ортогональной суммой проекций e n, определенной следующим образом:
Тогда, если f лежит в e n B , соответствующий автоморфизм равен τ e ( f ) = τ n ( f ).
С этими определениями два эргодических преобразования τ 1 , τ 2 для B 1 и B 2 возникают из одного и того же потока при условии, что существуют ненулевые проекции e 1 и e 2 в B 1 и B 2, такие что системы (τ 1 ) e 1 , e 1 B 1 и (τ 2 ) e 2 , e 2 B 2 изоморфны.
Смотрите также
Заметки
- ^ Циммер 1984
- ↑ Амвросий, 1931 г.
- ^ Применяя те же аргументы к 1 - f N и 1 - p , показывает, что если g N стремится к 1 - p в L 1 ( X ) с 0 ≤ g N ≤ 1, то χ [1 – ε, 1] ( g N ) стремится к p в L 1 ( X ).
- ^ Такесаки 2003 , стр. 386-388
- ^ Если ν - вероятностная мера на R такая, что нулевые множества инвариантны относительно сдвигов, достаточно показать, что ν квазиэквивалентно мере Лебега, т. Е. Что борелевское множество имеет нулевую меру для ν тогда и только тогда, когда оно имеет меру Лебега нуль. Но достаточно проверить это для подмножеств [0,1); и, pasing to переводится по Z , которые по предположению являются нулевыми наборами, в Z -инвариантные нулевые множества. С другой стороны, отображение суммирования Пуассона F ( x ) = ∑ f ( x + n ) переводит ограниченные борелевские функции на [0,1) в периодические ограниченные борелевские функции на R , так что ν можно использовать для определения меры вероятности ν 1 на T = R / Z с теми же свойствами инвариантности. Простое усреднение рассуждение показываетчто v , 1 квази-эквивалентно Хаара на окружности. Всамом деле, если α θ обозначает вращение посредством θ, ν 1 ∘ α θ квазиэквивалентно ν 1 и, следовательно, является средним из этих мер по 2 π . С другой стороны, эта усредненная мера инвариантна относительно вращения, поэтому единственность меры Хаара равна мере Лебега.
- ^ Варадараджан 1985 , стр. 166−167
- ^ Такесаки 2003 , стр. 388
- ^ Это прототип отношения эквивалентности меры, определенного Громовым . В этом случае Z и R заменяются двумя дискретными счетными группами, а инвариантные подалгебры - на функции на двух группах.
- ^ Такесаки 2003 , стр. 388
- ^ Такесаки 2003 , стр. 394
Рекомендации
- фон Нейман, Джон (1932), "Zur Operatorenmethode В Der Klassischen Механики", Анналы математики (на немецком языке ), 33 (3): 587-642, DOI : 10,2307 / 1968537 , JSTOR 1968537
- Морс, Марстон (1966), Лекции по символической динамике, 1937–1938 , мимеографические записи Руфуса Ольденбургера, Институт перспективных исследований
- Хопф, Эберхард (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Лейпциг, Бер. Verhandl. Sächs. Акад. Wiss. , 91 : 261–304
- Амброуз, Уоррен (1941), "Представление эргодических потоков", Ann. математики. , 42 : 723–739, JSTOR 1969259
- Амвросий, Уоррен; Какутани, Шизуо (1942), "Структура и непрерывность измеримых потоков", Duke Math. J. , 9 : 25-42, DOI : 10,1215 / s0012-7094-42-00904-9
- Рохлин В.А. (1966), "Избранные темы из метрической теории динамических систем" , Десять статей по функциональному анализу и теории меры , Переводы Американского математического общества. Серия 2, 49 , Американское математическое общество , стр. 171–240.
- Фомин, Сергей В .; Гельфанд И. М. Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны // УМН. Наук , 7 (1): 118-137
- Маутнер, FI (1957), "Геодезические потоки на симметрических римановых пространствах", Ann. Математика. , 65 (3): 416-431, DOI : 10,2307 / 1970054 , JSTOR 1970054
- Рис, Фриджес; С.-Надь, Бела (1955), Функциональный анализ , перевод Лео Ф. Борон, Фредерик Унгар
- Мур, CC (1966), "Эргодичность потоков на однородных пространствах", Amer. J. Math. , 88 (1): 154-178, DOI : 10,2307 / 2373052 , JSTOR 2373052
- Макки, Джордж У. (1966), "Эргодическая теория и виртуальные группы", Math. Аня. , 166 : 187-207, DOI : 10.1007 / BF01361167
- Макки, Джордж У. (1978), «Эргодическая теория», Представления унитарных групп в физике, вероятности и теории чисел , Серия лекций по математике, 55 , Benjamin / Cummings Publishing Co, стр. 133–142, ISBN 0805367020
- Макки, Джордж У. (1990), «Фон Нейман и первые дни эргодической теории», в Glimm, J .; Impagliazzo, J .; Сингер И. (ред.), Наследие Джона фон Неймана , Труды симпозиумов по чистой математике , 50 , Американское математическое общество , стр. 34 ~ 47, ISBN 9780821814871
- Кренгель, Ульрих (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Math. Annalen (на немецком языке ), 176 (3): 181-190, DOI : 10.1007 / bf02052824 , S2CID 124603266
- Кубо, Идзуми (1969), «Квазипотоки», Nagoya Math. J. , 35 : 1-30, DOI : 10,1017 / s002776300001299x
- Хау, Роджер Э .; Мур, Кальвин К. (1979), "Асимптотические свойства унитарных представлений", J. Funct. Анальный. , 32 : 72-96, DOI : 10,1016 / 0022-1236 (79) 90078-8
- Корнфельд, ИП; Фомин С.В.; Синав, Я. G. (1982), Эргодическая теория , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 245 , перевод А.Б. Сосинского, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90580-4
- Циммер, Роберт Дж. (1984), Эргодическая теория и полупростые группы , Монографии по математике, 81 , Биркхойзер, ISBN 3-7643-3184-4
- Бедфорд, Тим; Кин, Майкл; Series, Кэролайн, ред. (1991), эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства , Oxford University Press, ISBN 019853390X
- Адамс, Скотт (2008), «Спад матричных коэффициентов до нуля на сопряженной бесконечности», представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу У. Макки , Contemp. Матем., 449 , амер. Математика. Soc., Стр. 43–50.
- Мур, CC (2008), «Виртуальные группы 45 лет спустя», представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу У. Макки , Contemp. Матем., 449 , амер. Математика. Soc., Стр. 267 ~ 300
- Педерсен, Герт К. (1979), C ∗ -алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, 14 , Academic Press, ISBN 0-12-549450-5
- Варадараджан, VS (1985), Геометрия квантовой теории (второе изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96124-0
- Такесаки М. (2003), Теория операторных алгебр, II , Энциклопедия математических наук, 125 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
- Такесаки М. (2003a), Теория операторных алгебр, III , Энциклопедия математических наук, 127 , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42913-1
- Моррис, Дэйв Витте (2005), теоремы Ратнера об унипотентных потоках , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , arXiv : math / 0310402 , Bibcode : 2003math ..... 10402W , ISBN 0-226-53983-0
- Надкарни, М.Г. (2013), Базовая эргодическая теория , Тексты и материалы по математике, 6 (Третье изд.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-43-4