В математике разложение Брюа (введенное Франсуа Брюа для классических групп и Клодом Шевалле в целом) G = BWB некоторых алгебраических групп G на ячейки можно рассматривать как общее выражение принципа исключения Гаусса – Жордана , который в общем виде записывает матрица как произведение верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц, но с исключительными случаями. Это связано с клеточным разложением грассманианов Шуберта : для этого см. Группу Вейля .
В более общем смысле, любая группа с парой ( B , N ) имеет разложение Брюа.
Определения
- G представляет собой связное , восстановительное алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем .
- B - борелевская подгруппа группы G
- W является группой Вейля из G , соответствующая максимальный тор B .
Разложение Брюо из G является разложением
из G в виде объединения непересекающихся двойных смежных классов из B параметризовано элементов группы Вейля W . (Заметим, что хотя W , вообще говоря, не является подгруппой в G , смежный класс wB по-прежнему корректно определен, поскольку максимальный тор содержится в B. )
Примеры
Пусть G - полная линейная группа GL n обратимыхматрицы с элементами некоторого алгебраически замкнутого поля, являющегося редуктивной группой . Тогда группа Вейля W изоморфна симметрической группе S n на n буквах с матрицами перестановок в качестве представителей. В этом случае мы можем взять B как подгруппу верхнетреугольных обратимых матриц, поэтому разложение Брюа говорит, что можно записать любую обратимую матрицу A как произведение U 1 PU 2, где U 1 и U 2 - верхнетреугольные, а P - матрица перестановок. Записывая это как P = U 1 −1 AU 2 −1 , это означает, что любая обратимая матрица может быть преобразована в матрицу перестановок с помощью ряда операций со строками и столбцами, где нам разрешено добавлять только строку i (соответственно, столбец i ) в строку j (соотв. столбец j ), если i > j (соотв. i < j ). Операции со строками соответствуют U 1 -1 , а операции со столбцами соответствуют U 2 -1 .
Специальная линейная группа SL п обратимыхматрицы с определителем 1 - полупростая группа , а значит, редуктивная. В этом случае W по-прежнему изоморфна симметрической группе S n . Однако определитель матрицы перестановок является знаком перестановки, поэтому для представления нечетной перестановки в SL n мы можем взять один из ненулевых элементов равным −1 вместо 1. Здесь B - подгруппа верхнетреугольных матриц. с определителем 1, поэтому интерпретация разложения Брюа в этом случае аналогична случаю GL n .
Геометрия
Клетки в разложении Брюа соответствуют клеточному разложению грассманианов Шуберта . Размер ячеек соответствует длине слова w в группе Вейля. Двойственность Пуанкаре ограничивает топологию клеточного разложения и, следовательно, алгебру группы Вейля; например, ячейка верхнего измерения уникальна (она представляет фундаментальный класс ) и соответствует самому длинному элементу группы Кокстера .
Расчеты
Количество ячеек в данной размерности разложения Брюа является коэффициентами q -полинома [1] соответствующей диаграммы Дынкина .
Двойные клетки Брюа
С двумя противоположными борелями можно пересечь ячейки Брюа для каждой из них.
Смотрите также
- Разложения группы Ли
- Факторизация Биркгофа , частный случай разложения Брюа для аффинных групп.
- Кластерная алгебра
Заметки
Рекомендации
- Борель, Арман . Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97370-2 .
- Бурбаки, Николя , Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 (Элементы математики) , Springer-Verlag, 2008. ISBN 3-540-42650-7